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§10.7　概率、统计与其他知识的交汇问题
分值：30分
1.(15分)某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；(7分)
(2)已知每箱药材的利润如表：
等级 上等药材 中等药材 普通药材
利润(元/箱) 4 000 2 000 -1 200
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相应增加(1 000m-2 000ln m)元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.(8分)
2.(15分)(2024·福州质检)从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K，将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q和2张K放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中；若抽出K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为Q.
(1)在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X，求X的分布列及数学期望；(3分)
(2)记事件“在操作n+1(n∈N*)次后，恰好将袋中的K全部置换为Q”为An，记Pn=P(An).
①在第1次取到Q的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；(5分)
②试探究Pn+1与Pn的递推关系，并说明理由.(7分)
答案精析
1.解　(1)X的可能取值为0，1，2，
P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
X的分布列为
X 0 1 2
P
X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×=1.
(2)按原计划生产药材每箱平均利润为×4 000+×2 000+×(-1 200)=900(元)，
则增加m箱药材，利润增加为900m元，成本相应增加(1 000m-2 000ln m)元，
所以增加净利润为900m-1 000m+2 000ln m=2 000ln m-100m(m∈N*).
设f(x)=2 000ln x-100x(x∈N*)，
则f'(x)=-100，
令f'(x)=0，得x=20，
当1≤x<20时，f'(x)>0，
当x>20时，f'(x)<0，且f(20)>0，
所以函数f(x)在[1，20)上单调递增，在(20，+∞)上单调递减，
当x=20时，f(x)取得最大值，
所以需要增加产量，增加20箱最好.
2.解　(1)由题意可知，X的可能取值为0，1，2，
则P(X=0)==
P(X=1)=+=
P(X=2)==
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=.
(2)①记事件E表示“第1次取到Q”，事件F表示“总共4次操作恰好完成置换”，
则P(E)=.
依题意，若第一次取到Q，则剩余的3次操作，须将袋中K全部置换为Q，
若第二次也取出Q，则第三次和第四次均须取出K，
其概率为=；
若第二次取出K，则第三次取出Q，第四次取出K，其概率为=.
综上所述，P(EF)=+=
所以P(F|E)===
即在第1次取到Q的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为.
②Pn+1=+Pn，理由如下：
设事件B表示“n次操作后袋中还剩1张K”，
依题意，Pn为(n+1)次操作后，恰好将袋中的K全部置换为Q的概率，而发生这样的情况需n次操作后袋中还剩1张K，且第(n+1)次抽中K，
则Pn=P(B)，即P(B)=4Pn，
Pn+1为(n+2)次操作后，恰好将袋中的K全部置换为Q的概率，有2种情况：
n次操作后袋中还剩2张K，即前n次全取Q，概率为并且第(n+1)次和第(n+2)次全取K；
n次操作后袋中还剩1张K，
第(n+1)次取Q，第(n+2)次取K，
所以Pn+1=+P(B)×=+P(B)×
又因为P(B)=4Pn，
所以Pn+1=+Pn.§10.7　概率、统计与其他知识的交汇问题
重点解读　有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年将概率、统计问题与数列、函数、导数结合，成为创新问题.
题型一　概率、统计与数列的综合问题
例1　(2025·广州模拟)将4个面上分别写有数字1，2，3，4的一个正四面体在桌面上连续独立地抛n次(n为正整数)，设X为与桌面接触的数字为偶数的次数，p(0(1)当n=5时，若正四面体的质地是均匀的，求X的数学期望和方差；
(2)若正四面体有瑕疵，即p≠.
①设pn是抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：pn=p+(1-2p)pn-1(n≥2)；
②求抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率.
思维升华　概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：
(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式.
(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.
(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.
跟踪训练1　(2024·黄山质检)学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了米饭套餐，则第2天选择米饭套餐的概率为；若他前1天选择了面食套餐，则第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学开学第n(n∈N*)天中午选择米饭套餐的概率为Pn.证明：当n≥2时，Pn≤.
题型二　概率、统计与导数的综合问题
例2　(2024·龙岩模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.997 3)
(2)①从样本的质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；
②该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m(1
思维升华　在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现.
跟踪训练2　为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产.
(1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；
(2)设每件新产品为次品的概率都为p(0答案精析
例1　(1)解　因为正四面体的质地是均匀的，p为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率，所以p==
进一步得，X~B
所以E(X)=np=5×=
D(X)=np(1-p)=5×=
所以X的数学期望和方差分别为和.
(2)①证明　因为pn是抛正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，
所以pn-1是抛正四面体(n-1)次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，
当n≥2时，当在前(n-1)次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现奇数次时，第n次抛掷的结果必须出现奇数，才可以保证前n次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次，所以pn=pn-1(1-p)，
当在前(n-1)次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现偶数次时，第n次抛掷的结果必须出现偶数，才可以保证前n次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次，
所以pn=(1-pn-1)p，
由互斥事件概率的加法公式得pn=pn-1(1-p)+(1-pn-1)p
=p+pn-1(1-2p)，
即pn=p+pn-1(1-2p)(n≥2).
②解　设pn-x=(1-2p)(pn-1-x)，
结合①所得关系，则x=
即pn-=(1-2p)且n≥2，
又p1-=p-
所以数列是首项为p-公比为1-2p的等比数列，
所以pn-=(1-2p)n-1，
所以pn=(n∈N*)，
所以抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率为1-pn=(n∈N*).
跟踪训练1　(1)解　设Ai=“第i天选择米饭套餐”(i=1，2)，则=“第i天选择面食套餐”，
根据题意P(A1)=P()=
P(A2|A1)=P(A2|)=
由全概率公式，
得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)
=+=.
(2)证明　设An=“第n天选择米饭套餐”(n=1，2，…)，
则Pn=P(An)，P()=1-Pn，
P(An+1|An)=P(An+1|)=
由全概率公式，得P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P()P(An+1|)=-Pn+
即Pn+1=-Pn+
所以Pn+1-=-
因为P1-=所以是以为首项，-为公比的等比数列，可得Pn=+(n∈N*)，
当n为大于1的奇数时，Pn=++=；
当n为正偶数时，Pn=-<<
综上所述，当n≥2时，Pn≤.
例2　解　(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件产品的质量指标值的平均数为
=10×(0.01×50+0.025×60+0.04×70+0.015×80+0.01×90)=69，
即μ≈=69，σ≈s≈11，
所以X~N(69，112)，
因为质量指标值X近似服从正态分布N(69，112)，
所以P(X≥80)
=
≈≈
=0.158 65≈0.16，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16.
(2)①(0.01+0.01)×10×100=20，所以质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片总件数为20，
质量指标值在[85，95]的芯片件数为10，故η的所有可能取值为0，1，2，3，
所以P(η=0)==
P(η=1)==
P(η=2)==
P(η=3)==
随机变量η的分布列为
η 0 1 2 3
P
所以η的数学期望E(η)=0×+1×+2×+3×=.
②设每箱产品中A等品有Y件，则每箱产品中B等品有(100-Y)件，每箱产品的利润为Z元，
由题意知Z=mY+(100-Y)ln(25-m)=[m-ln(25-m)]Y+100ln(25-m)，
由(1)知，每箱产品中A等品的概率为0.16，
所以Y~B(100，0.16)，
所以E(Y)=100×0.16=16，
E(Z)=E((m-ln(25-m))Y+100ln(25-m))
=[m-ln(25-m)]E(Y)+100ln(25-m)
=16[m-ln(25-m)]+100ln(25-m)
=16m+84ln(25-m)，
令f(x)=16x+84ln(25-x)(1由f'(x)=16-=0，
得x=∈(1，24)，
又当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x=时，f(x)取得最大值.
即当m=时，每箱产品利润最大.
跟踪训练2　解　(1)根据题意可知X的可能取值为2，3，4，
则P(X=2)==
P(X=3)=+=
P(X=4)==
则X的分布列为
X 2 3 4
P
所以E(X)=2×+3×+4×=.
(2)由题意可得，
f(p)=p2(1-p)48(0f'(p)=[2p(1-p)48-48p2(1-p)47]
=2p(1-p)47(1-25p)，
令f'(p)=0，解得p=
因为当00，f(p)单调递增，
当所以当p=时，f(p)取得最大值.(共50张PPT)
第十章
§10.7　概率、统计与其他知识的交汇问题
数学
大
一
轮
复
习
有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年将概率、统计问题与数列、函数、导数结合，成为创新问题.
重点解读
例1　(2025·广州模拟)将4个面上分别写有数字1，2，3，4的一个正四面体在桌面上连续独立地抛n次(n为正整数)，设X为与桌面接触的数字为偶数的次数，p(0(1)当n＝5时，若正四面体的质地是均匀的，求X的数学期望和方差；
概率、统计与数列的综合问题
题型一
因为正四面体的质地是均匀的，
p为抛掷正四面体一次与桌面接触的数字为偶数的概率，所以p＝，
进一步得，X~B，
所以E(X)＝np＝5×，
D(X)＝np(1－p)＝5××，
所以X的数学期望和方差分别为和.
(2)若正四面体有瑕疵，即p≠.
①设pn是抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证：pn＝p＋(1－2p)pn－1(n≥2)；
因为pn是抛正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，
所以pn－1是抛正四面体(n－1)次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，
当n≥2时，当在前(n－1)次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现奇数次时，第n次抛掷的结果必须出现奇数，才可以保证前n次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次，所以pn＝pn－1(1－p)，
当在前(n－1)次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现偶数次时，第n次抛掷的结果必须出现偶数，才可以保证前n次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次，所以pn＝(1－pn－1)p，
由互斥事件概率的加法公式得pn＝pn－1(1－p)＋(1－pn－1)p＝p＋pn－1(1－2p)，
即pn＝p＋pn－1(1－2p)(n≥2).
②求抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率.
设pn－x＝(1－2p)(pn－1－x)，
结合①所得关系，则x＝，
即pn－＝(1－2p)且n≥2，
又p1－＝p－，
所以数列是首项为p－，公比为1－2p的等比数列，
所以pn－(1－2p)n－1，
所以pn＝(n∈N*)，
所以抛掷正四面体n次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率为
1－pn＝(n∈N*).
概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：
(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式.
(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.
(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.
思维升华
跟踪训练1　(2024·黄山质检)学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了米饭套餐，
则第2天选择米饭套餐的概率为；若他前1天选择了面食套餐，则第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
设Ai＝“第i天选择米饭套餐”(i＝1，2)，则＝“第i天选择面食套餐”，
根据题意P(A1)＝，P()＝，
P(A2|A1)＝，P(A2|)＝，
由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P()P(A2|)＝××.
(2)记该同学开学第n(n∈N*)天中午选择米饭套餐的概率为Pn.证明：当n≥2时，Pn≤.
设An＝“第n天选择米饭套餐”(n＝1，2，…)，
则Pn＝P(An)，P()＝1－Pn，
P(An＋1|An)＝，P(An＋1|)＝，
由全概率公式，得P(An＋1)＝P(An)P(An＋1|An)＋P()P(An＋1|)
＝－Pn＋，
即Pn＋1＝－Pn＋，
所以Pn＋1－＝－，
因为P1－，所以是以为首项，－为公比的等比数列，
可得Pn＝×(n∈N*)，
当n为大于1的奇数时，Pn＝×≤×；
当n为正偶数时，Pn＝×<<，
综上所述，当n≥2时，Pn≤.
例2　(2024·龙岩模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如图五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从
概率、统计与导数的综合问题
题型二
正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，
σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ<
μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.997 3)
由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取
100件产品的质量指标值的平均数为
＝10×(0.01×50＋0.025×60＋0.04×70＋0.015
×80＋0.01×90)＝69，
即μ≈＝69，σ≈s≈11，所以X~N(69，112)，
因为质量指标值X近似服从正态分布N(69，112)，
所以P(X≥80)＝≈≈
＝0.158 65≈0.16，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16.
(2)①从样本的质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；
(0.01＋0.01)×10×100＝20，所以质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片总件数为20，
质量指标值在[85，95]的芯片件数为10，故η的所有可能取值为0，1，2，3，
所以P(η＝0)＝，
P(η＝1)＝，
P(η＝2)＝，
P(η＝3)＝，
随机变量η的分布列为
所以η的数学期望E(η)
＝0×＋1×＋2×＋3×.
η 0 1 2 3
P
②该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m(1设每箱产品中A等品有Y件，则每箱产品中B等品有(100－Y)件，每箱产品的利润为Z元，
由题意知Z＝mY＋(100－Y)ln(25－m)
＝[m－ln(25－m)]Y＋100ln(25－m)，
由(1)知，每箱产品中A等品的概率为0.16，
所以Y~B(100，0.16)，
所以E(Y)＝100×0.16＝16，
E(Z)＝E((m－ln(25－m))Y＋100ln(25－m))
＝[m－ln(25－m)]E(Y)＋100ln(25－m)
＝16[m－ln(25－m)]＋100ln(25－m)
＝16m＋84ln(25－m)，
令f(x)＝16x＋84ln(25－x)(1由f'(x)＝16－＝0，得x＝∈(1，24)，
又当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x＝时，f(x)取得最大值.
即当m＝时，每箱产品利润最大.
在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现.
思维升华
跟踪训练2　为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产.
(1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；
根据题意可知X的可能取值为2，3，4，
则P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝×，
P(X＝4)＝，
则X的分布列为
所以E(X)＝2×＋3×＋4×.
X 2 3 4
P
(2)设每件新产品为次品的概率都为p(0由题意可得，f(p)＝p2(1－p)48(0f'(p)＝[2p(1－p)48－48p2(1－p)47]
＝2p(1－p)47(1－25p)，
令f'(p)＝0，解得p＝，
因为当00，f(p)单调递增，
当所以当p＝时，f(p)取得最大值.
课时精练
答案
1
2
(1)X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
X的分布列为
X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
1.
X 0 1 2
P
答案
1
2
(2)按原计划生产药材每箱平均利润为
×4 000＋×2 000＋×(－1 200)＝900(元)，
则增加m箱药材，利润增加为900m元，
成本相应增加(1 000m－2 000ln m)元，
所以增加净利润为900m－1 000m＋2 000ln m＝2 000ln m－100m(m∈N*).
设f(x)＝2 000ln x－100x(x∈N*)，
则f'(x)＝－100，
1.
答案
1
2
令f'(x)＝0，得x＝20，
当1≤x<20时，f'(x)>0，
当x>20时，f'(x)<0，且f(20)>0，
所以函数f(x)在[1，20)上单调递增，在(20，＋∞)上单调递减，
当x＝20时，f(x)取得最大值，
所以需要增加产量，增加20箱最好.
1.
答案
1
2
(1)由题意可知，X的可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝×，P(X＝1)＝××，P(X＝2)＝×，
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×＋1×＋2×.
2.
X 0 1 2
P
答案
1
2
(2)①记事件E表示“第1次取到Q”，事件F表示“总共4次操作恰好完
成置换”，则P(E)＝.
依题意，若第一次取到Q，则剩余的3次操作，须将袋中K全部置换为Q，
若第二次也取出Q，则第三次和第四次均须取出K，其概率为×××；
若第二次取出K，则第三次取出Q，第四次取出K，
其概率为×××.
2.
答案
1
2
综上所述，P(EF)＝，
所以P(F|E)＝，
即在第1次取到Q的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为.
②Pn＋1＝Pn，理由如下：
设事件B表示“n次操作后袋中还剩1张K”，
依题意，Pn为(n＋1)次操作后，恰好将袋中的K全部置换为Q的概率，而发生这样的情况需n次操作后袋中还剩1张K，且第(n＋1)次抽中K，
2.
答案
1
2
则Pn＝P(B)，即P(B)＝4Pn，
Pn＋1为(n＋2)次操作后，恰好将袋中的K全部置换为Q的概率，有2种情况：
n次操作后袋中还剩2张K，即前n次全取Q，概率为，并且第(n＋1)次和第(n＋2)次全取K；
n次操作后袋中还剩1张K，第(n＋1)次取Q，第(n＋2)次取K，
所以Pn＋1＝××＋P(B)××
＝＋P(B)×，
2.
答案
1
2
又因为P(B)＝4Pn，
所以Pn＋1＝Pn.
2.
1.某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；
1
2
答案
1
2
答案
X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
X的分布列为
X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
X 0 1 2
P
(2)已知每箱药材的利润如表：
1
2
答案
等级 上等药材 中等药材 普通药材
利润(元/箱) 4 000 2 000 －1 200
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相应增加(1 000m－2 000ln m)元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.
1
2
答案
按原计划生产药材每箱平均利润为
×4 000＋×2 000＋×(－1 200)＝900(元)，
则增加m箱药材，利润增加为900m元，
成本相应增加(1 000m－2 000ln m)元，
所以增加净利润为900m－1 000m＋2 000ln m＝2 000ln m－100m(m∈N*).
设f(x)＝2 000ln x－100x(x∈N*)，
则f'(x)＝－100，
令f'(x)＝0，得x＝20，
1
2
答案
当1≤x<20时，f'(x)>0，
当x>20时，f'(x)<0，且f(20)>0，
所以函数f(x)在[1，20)上单调递增，在(20，＋∞)上单调递减，
当x＝20时，f(x)取得最大值，
所以需要增加产量，增加20箱最好.
1
2
答案
2.(2024·福州质检)从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K，将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q和2张K放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中；若抽出K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为Q.
(1)在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
1
2
答案
由题意可知，X的可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝×，P(X＝1)＝××，
P(X＝2)＝×，
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×＋1×＋2×.
X 0 1 2
P
1
2
答案
(2)记事件“在操作n＋1(n∈N*)次后，恰好将袋中的K全部置换为Q”为An，记Pn＝P(An).
①在第1次取到Q的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；
1
2
答案
记事件E表示“第1次取到Q”，事件F表示“总共4次操作恰好完成置
换”，则P(E)＝.
依题意，若第一次取到Q，则剩余的3次操作，须将袋中K全部置换为Q，
若第二次也取出Q，则第三次和第四次均须取出K，
其概率为×××；
若第二次取出K，则第三次取出Q，第四次取出K，
其概率为×××.
1
2
答案
综上所述，P(EF)＝，
所以P(F|E)＝，
即在第1次取到Q的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为.
1
2
答案
②试探究Pn＋1与Pn的递推关系，并说明理由.
1
2
答案
Pn＋1＝Pn，理由如下：
设事件B表示“n次操作后袋中还剩1张K”，
依题意，Pn为(n＋1)次操作后，恰好将袋中的K全部置换为Q的概率，而发生这样的情况需n次操作后袋中还剩1张K，且第(n＋1)次抽中K，
则Pn＝P(B)，即P(B)＝4Pn，
Pn＋1为(n＋2)次操作后，恰好将袋中的K全部置换为Q的概率，有2种情况：
n次操作后袋中还剩2张K，即前n次全取Q，概率为，并且第(n＋1)次和第(n＋2)次全取K；
1
2
答案
n次操作后袋中还剩1张K，第(n＋1)次取Q，第(n＋2)次取K，
所以Pn＋1＝××＋P(B)××
＝＋P(B)×，
又因为P(B)＝4Pn，
所以Pn＋1＝Pn.

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