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必刷大题20　概率与统计
分值：60分
1.(13分)(2024·安康模拟)某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1.
(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；(6分)
(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望.(7分)
2.(15分)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.该人机交互软件测试阶段，共测试了1 000个问题，测试结果如下表：
回答正确 回答错误
问题中存在语法错误 100 300
问题中没有语法错误 500 100
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题.
(1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；(7分)
(2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列.(8分)
3.(15分)某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次.若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”.若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手都参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲、乙两位同学组成一个小组参赛，且甲、乙同学的投篮命中率分别为.
(1)求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；(5分)
(2)若以“甲、乙同学组成的小组获得‘神投手组合’的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数n(n≥4)为多少时，对该小组更有利.(10分)
4.(17分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X和Y的分布列分别为：P(X＝xi)＝pi，P(Y＝xi)＝qi，其中i＝1，2，…，n.定义X的信息熵：H(X)＝－pilog2pi，X和Y的“距离”：KL(X||Y)＝pilog2.
(1)若X~B，求H(X)；(5分)
(2)已知发报台只发出信号0和1，接收台只收到信号0和1.现发报台发出信号0的概率为m，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号0的概率为n，发出信号1接收台收到信号1的概率也为n.
①若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；(5分)
②记X和Y分别为发出信号和收到信号，证明：KL(X||Y)≥0.(7分)
答案精析
1.解　(1)设事件M=“至少选到2箱A级苹果”，
由题意知选到1箱A级苹果的概率为=选到1箱非A级苹果的概率为=
所以P(M)=+==
故至少选到2箱A级苹果的概率为.
(2)因为用按比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，
所以A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)===
P(X=1)===
P(X=2)===
P(X=3)===
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
2.解　(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由测试结果知P(A)=
P(B|A)=
P()=P(B|)=
所以P(B)=P(B|)P()+P(B|A)P(A)
=+=.
记“测试的2个问题都回答正确”为事件M，“测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误”为事件N，则P(M)==
P(MN)=P(A)P(B|A)P()P(B|)×2=×2=
所以P(N|M)==.
(2)由(1)可得X~B则X的可能取值为0，1，2，3，
所以P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
3.解　(1)设“一局比赛中甲被称为‘好投手’”为事件A，
则P(A)=+=.
(2)设“一局比赛中乙被称为‘好投手’”为事件B，
则P(B)=+=
甲、乙同学都被称为“好投手”的概率为P==.
比赛设置n(n≥4)局，设甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X，
则X~B
且P(X=3)=
设f(n)=n≥4，
则
则
即解得
又n∈N*，则n=8，
所以本次投篮比赛设置的总局数为8时，对该小组更有利.
4.(1)解　因为X~B
所以P(X=k)==
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以H(X)=-
=-(log23-3)=-log23.
(2)①解　记发出信号0和1分别为事件Ai(i=0，1)，收到信号0和1分别为事件Bi(i=0，1)，
则P(A0)=m，P(A1)=1-m，
P(B0|A0)=P(B1|A1)=n，
P(B1|A0)=P(B0|A1)=1-n，
所以P(B0)=P(A0)P(B0|A0)+P(A1)P(B0|A1)=mn+(1-m)(1-n)
=1-m-n+2mn，
所以P(A0|B0)==.
②证明　由①知P(B0)=1-m-n+2mn，
则P(B1)=1-P(B0)=m+n-2mn，
则KL(X||Y)=mlog2+
(1-m)log2.
设f(x)=1--ln x，x>0，
则f'(x)=-=
所以当00，f(x)单调递增；
当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)≤f(1)=0，即ln x≥1-(当且仅当x=1时取等号)，
所以log2x=
所以KL(X||Y)=mlog2+(1-m)log2
≥+=0，
当且仅当==1，
即m=0所以KL(X||Y)≥0.(共36张PPT)
第十章
必刷大题20　概率与统计
数学
大
一
轮
复
习
答案
1
2
3
4
(1)设事件M＝“至少选到2箱A级苹果”，
由题意知选到1箱A级苹果的概率为，
选到1箱非A级苹果的概率为，
所以P(M)＝××
＝，
故至少选到2箱A级苹果的概率为.
1.
答案
1
2
3
4
(2)因为用按比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，
所以A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
1.
答案
1
2
3
4
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
所以X的分布列为
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×.
1.
X 0 1 2 3
P
答案
1
2
3
4
(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由测试结果知P(A)＝，P(B|A)＝，
P()＝，P(B|)＝，
所以P(B)＝P(B|)P()＋P(B|A)P(A)
＝××.
记“测试的2个问题都回答正确”为事件M，“测试的2个问题中恰有
1个问题存在语法错误”为事件N，则P(M)＝，
2.
答案
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4
P(MN)＝P(A)P(B|A)P()P(B|)×2＝××××2＝，
所以P(N|M)＝.
(2)由(1)可得X~B，则X的可能取值为0，1，2，3，
所以P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝××，
P(X＝2)＝××，
2.
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P(X＝3)＝，
所以X的分布列为
2.
X 0 1 2 3
P
答案
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(1)设“一局比赛中甲被称为‘好投手’”为事件A，
则P(A)＝×××.
(2)设“一局比赛中乙被称为‘好投手’”为事件B，
则P(B)＝×××，
甲、乙同学都被称为“好投手”的概率为P＝×.
比赛设置n(n≥4)局，设甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X，
3.
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则X~B，
且P(X＝3)＝，
设f(n)＝，n≥4，
则
则
3.
答案
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即解得
又n∈N*，则n＝8，
所以本次投篮比赛设置的总局数为8时，对该小组更有利.
3.
答案
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(1)因为X~B，
所以P(X＝k)＝，
所以X的分布列为
所以H(X)＝－
＝(log23－3)＝log23.
4.
X 0 1 2 3 4
P
答案
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(2)①记发出信号0和1分别为事件Ai(i＝0，1)，收到信号0和1分别为事件Bi(i＝0，1)，则P(A0)＝m，P(A1)＝1－m，
P(B0|A0)＝P(B1|A1)＝n，
P(B1|A0)＝P(B0|A1)＝1－n，
所以P(B0)＝P(A0)P(B0|A0)＋P(A1)P(B0|A1)
＝mn＋(1－m)(1－n)＝1－m－n＋2mn，
所以P(A0|B0)＝＝.
4.
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②由①知P(B0)＝1－m－n＋2mn，
则P(B1)＝1－P(B0)＝m＋n－2mn，
则KL(X||Y)＝mlog2＋(1－m)log2.
设f(x)＝1－－ln x，x>0，
则f'(x)＝，
所以当00，f(x)单调递增；
当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
4.
答案
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所以f(x)≤f(1)＝0，即ln x≥1－(当且仅当x＝1时取等号)，
所以log2x＝≥，
所以KL(X||Y)＝mlog2＋(1－m)log2
≥＝0，
当且仅当＝1，
即m＝，0所以KL(X||Y)≥0.
4.
1.(2024·安康模拟)某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1.
(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；
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答案
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答案
设事件M＝“至少选到2箱A级苹果”，
由题意知选到1箱A级苹果的概率为，
选到1箱非A级苹果的概率为，
所以P(M)＝××
＝，
故至少选到2箱A级苹果的概率为.
(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望.
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答案
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答案
因为用按比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，
所以A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
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答案
P(X＝3)＝，
所以X的分布列为
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×.
X 0 1 2 3
P
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2.随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.该人机交互软件测试阶段，共测试了1 000个问题，测试结果如下表：
回答正确 回答错误
问题中存在语法错误 100 300
问题中没有语法错误 500 100
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题.
(1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；
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答案
记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由测试结果知P(A)＝，P(B|A)＝，
P()＝，P(B|)＝，
所以P(B)＝P(B|)P()＋P(B|A)P(A)
＝××.
记“测试的2个问题都回答正确”为事件M，“测试的2个问题中恰有
1个问题存在语法错误”为事件N，则P(M)＝，
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P(MN)＝P(A)P(B|A)P()P(B|)×2＝××××2＝，
所以P(N|M)＝.
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回答正确 回答错误
问题中存在语法错误 100 300
问题中没有语法错误 500 100
(2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列.
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答案
由(1)可得X~B，则X的可能取值为0，1，2，3，
所以P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝××，
P(X＝2)＝××，
P(X＝3)＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
3.某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次.若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”.若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手都参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲、乙两位同学组成一个小组参赛，且甲、乙同学的投篮命中率分别为，.
(1)求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；
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设“一局比赛中甲被称为‘好投手’”为事件A，
则P(A)＝×××.
(2)若以“甲、乙同学组成的小组获得‘神投手组合’的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮比赛设置的总局数n(n≥4)为多少时，对该小组更有利.
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设“一局比赛中乙被称为‘好投手’”为事件B，
则P(B)＝×××，
甲、乙同学都被称为“好投手”的概率为P＝×.
比赛设置n(n≥4)局，设甲、乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X，
则X~B，
且P(X＝3)＝，
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设f(n)＝，n≥4，
则
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即解得
又n∈N*，则n＝8，
所以本次投篮比赛设置的总局数为8时，对该小组更有利.
4.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X和Y的分布列分别为：P(X＝xi)＝pi，P(Y＝xi)＝qi，其中i＝1，2，…，n.定义X的信息熵：H(X)
＝－pilog2pi，X和Y的“距离”：KL(X||Y)＝pilog2.
(1)若X~B，求H(X)；
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所以H(X)＝－
＝(log23－3)＝log23.
因为X~B，
所以P(X＝k)＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(2)已知发报台只发出信号0和1，接收台只收到信号0和1.现发报台发出信号0的概率为m，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号0的概率为n，发出信号1接收台收到信号1的概率也为n.
①若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；
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答案
记发出信号0和1分别为事件Ai(i＝0，1)，
收到信号0和1分别为事件Bi(i＝0，1)，
则P(A0)＝m，P(A1)＝1－m，
P(B0|A0)＝P(B1|A1)＝n，
P(B1|A0)＝P(B0|A1)＝1－n，
所以P(B0)＝P(A0)P(B0|A0)＋P(A1)P(B0|A1)
＝mn＋(1－m)(1－n)＝1－m－n＋2mn，
所以P(A0|B0)＝＝.
②记X和Y分别为发出信号和收到信号，证明：KL(X||Y)≥0.
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由①知P(B0)＝1－m－n＋2mn，
则P(B1)＝1－P(B0)＝m＋n－2mn，
则KL(X||Y)＝mlog2＋(1－m)log2.
设f(x)＝1－－ln x，x>0，
则f'(x)＝，
所以当00，f(x)单调递增；
当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
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答案
所以f(x)≤f(1)＝0，即ln x≥1－(当且仅当x＝1时取等号)，
所以log2x＝≥，
所以KL(X||Y)＝mlog2＋(1－m)log2
≥＝0，
当且仅当＝1，
即m＝，0所以KL(X||Y)≥0.

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