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§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.把-1 125°化成α+2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A.-6π B.-6π
C.-8π D.-8π
2.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α+的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上
3.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α=x，则tan α等于(　　)
A.- B.- C.- D.-
4.已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为(　　)
A. B. C. D.
5.(2024·北京模拟)“sin 2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)
A. B. C.3- D.-2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下面说法正确的有(　　)
A.角与角-的终边相同
B.终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·360°-45°，k∈Z}
C.若角α的终边在直线y=-3x上，则cos α的取值为
D.67°30'化成弧度是 rad
8.(2025·深圳模拟)如图，质点A和B在单位圆O上逆时针做匀速圆周运动.若A和B同时出发，A的角速度为1 rad/s，起点位置坐标为，B的角速度为2 rad/s，起点位置坐标为(1，0)，则(　　)
A.在1 s末，点B的坐标为(sin 2，cos 2)
B.在1 s末，扇形AOB的弧长为-1
C.在 s末，点A，B在单位圆上第二次重合
D.△AOB面积的最大值为
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值集合为　　　　　　　　　　　　　　.
10.(2024·昆明模拟)已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，则tan θ的值可以是　　　　　　.(写出一个即可)
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知α=.
(1)写出与角α终边相同的角的集合，并求出在(-4π，-π)内与角α终边相同的角；(6分)
(2)若角β与角α的终边相同，判断角是第几象限角.(7分)
12.(14分)某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=2米，OB=x米(0(1)求θ关于x的函数解析式；(6分)
(2)记该宣传牌的面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.(8分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)已知角θ的终边经过点(-2，-)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　)
A.sin θ=- B.α为钝角
C.cos α=- D.点(tan θ，tan α)在第四象限
14.如图，在平面直角坐标系Oxy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)处，此时圆上一点P的位置在(0，0)处，圆在x轴上沿x轴正方向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，1)处时，的坐标为　　　　　　　　.
答案精析
1.D　2.A　3.D　4.B
5.C　[∵sin 2θ=2sin θ·cos θ>0 >0 tan θ>0，∴θ为第一或第三象限角.]
6.B　[设∠AOB=θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，
依题意，有=
即=
所以===
从而得=.]
7.AD　[角与角-相差2π，终边相同，故A正确；
终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·180°-45°，k∈Z}，故B错误；
若角α的终边在直线y=-3x上，则cos α的取值为±故C错误；
67°30'化成弧度是 rad，故D正确.]
8.BCD　[在1 s末，点B的坐标为(cos 2，sin 2)，故A错误；
在1 s末，∠AOB=-1，扇形AOB的弧长为-1，故B正确；
设在t s末，点A，B在单位圆上第二次重合，则2t-t=t=2π+=故在 s末，点A，B在单位圆上第二次重合，故C正确；
S△AOB=sin∠AOB，
又∠AOB∈(0，π)，∠AOB==则经过 s后，可得∠AOB=此时△AOB的面积可取得最大值故D正确.]
9.{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}
解析　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={β|β=30°+k·180°，k∈Z}，
终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={γ|γ=105°+k·180°，k∈Z}，
因此，终边在题图中阴影部分内的角α的集合为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}.
10.2(答案不唯一)
解析　点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，
则1+a2≤9，解得-2≤a≤2a∈Z，
则a的值可为-2，-1，0，1，2，
又tan θ==a，
故tan θ的值可以是0或±1或±2.
11.解　(1)与角α终边相同的角的集合为
令-4π<2kπ+<-π，
得-又k∈Z，所以k=-2，-1，
所以在(-4π，-π)内与角α终边相同的角是--.
(2)由(1)知，β=2kπ+(k∈Z)，
则=kπ+(k∈Z)，
则当k为偶数时，角是第一象限角；当k为奇数时，角是第三象限角，
所以角是第一或第三象限角.
12.解　(1)根据题意的长度为xθ米的长度为2θ米，
所以2(2-x)+xθ+2θ=6，
所以θ=(0(2)依据题意，可知y=-=θ×22-θx2
=-x2+x+2=-+0所以当x=时，y的值最大，最大值为.
13.ACD　[因为角θ的终边经过点(-2，-)，
所以sin θ=-A正确；
由θ与α的终边关于x轴对称，得α的终边经过点(-2)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α=-B错误，C正确；
因为tan θ=>0，tan α=-<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确.]
14.(2-sin 2，1-cos 2)
解析　如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA=2，即圆心角∠PCA=2，
则∠PCB=2-
所以PB=sin=-cos 2，
CB=cos=sin 2，
所以xP=2-CB=2-sin 2，yP=1+PB=1-cos 2，
所以=(2-sin 2，1-cos 2).§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念
课标要求　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念
定义 角可以看成一条射线绕着它的　　　　旋转所成的图形
分类 (1)按旋转方向分为　　　　、　　　　和　　　　； (2)按终边位置分为　　　　　和轴线角
相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α
终边相 同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β=α+k·360°，k∈Z}或　　　　　　　　　　　
2.弧度制的定义及公式
定义 长度等于　　　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad
弧度数公式 |α|=　　　　(弧长用l表示，半径用r表示)
角度与弧 度的换算 1°= rad；1 rad=　　　　≈57.3°
弧长公式 弧长l=　　　
扇形面积公式 S=　　　　=　　　　　
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y=sin α，x=cos α，=tan α(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α=　　　　，cos α=　　　　，tan α=　　　　(x≠0).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.(　　)
(2)第四象限的角一定是负角.(　　)
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.(　　)
(4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关.(　　)
2.角-863°的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为(　　)
A.20 cm B.14 cm C.10π cm D.8π cm
4.已知角α的终边上有一点P(1，-2)，则sin α-cos α的值为　　　　　　.
1.熟记以下常用结论
(1)轴线角
(2)若角α∈，则sin α<α(3)α所在象限与所在象限的关系
α所在象限 一 二 三 四
所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四
2.谨防三个易误点
(1)角度与弧度换算的关键是π rad=180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；
(2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
题型一　角及其表示
例1　(1)(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　)
A.-α是第一象限角
B.是第三象限角
C.+α是第二象限角
D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上
(2)如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为　　　　　　　　.
思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法是先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
跟踪训练1　(1)(多选)下列四个命题中正确的是(　　)
A.-是第二象限角
B.是第三象限角
C.-400°是第四象限角
D.-315°是第一象限角
(2)已知α为第三象限角，则是第　　　　　象限角，2α是　　　　　　　　　　　　　　的角.
题型二　弧度制及其应用
例2　(1)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)(　　)
A.1.612米 B.1.768米
C.1.868米 D.2.045米
(2)已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
①若α=，R=10 cm，求扇形的弧长l；
②若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
③若α=，R=2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
思维升华　应用弧度制解决问题的思路
(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
跟踪训练2　(1)(2024·杭州模拟)半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是(　　)
A.1 rad B.2 rad C.4 rad D.6 rad
(2)玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积为(　　)
A.1 600 cm2 B.3 200 cm2
C.3 350 cm2 D.4 800 cm2
题型三　三角函数的概念
例3　(1)若角α满足sin α·cos α<0，cos α-sin α<0，则α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)(2025·深圳模拟)若角α的终边过点(4，3)，则sin等于(　　)
A. B.- C. D.-
思维升华　(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出其终边与单位圆交点P的坐标.
(2)已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置.
跟踪训练3　(1)已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ的大小为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案精析
落实主干知识
1.端点　正角　负角　零角　象限角　{β|β=α+2kπ，k∈Z}
2.半径长　　°　|α|r
lr　|α|r2
3.(3)　　
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.C　3.C　4.-
探究核心题型
例1　(1)D　[因为α是第二象限角，可得+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，对于A，可得-π-2kπ<-α<--2kπ，k∈Z，此时-α的终边在第三象限，所以-α是第三象限角，A错误；对于B，可得+kπ<<+kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π+2kπ<+α<+2kπ，k∈Z，即2(k+1)π<+α<+2(k+1)π，k∈Z，所以+α的终边在第一象限，所以+α是第一象限角，C错误；对于D，可得π+4kπ<2α<2π+4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确.]
(2)
解析　方法一　由于终边在y=-x(x≤0)上的角的集合为，由于终边在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ=π+2kπ，k∈Z}，因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角α的集合为.
方法二　在[0，2π)内，终边落在阴影部分内的角α的集合为，所以所求角α的集合为
.
跟踪训练1　(1)BCD　[-是第三象限角，故A错误；=π+，所以是第三象限角，故B正确；-400°=-360°-40°，所以-400°是第四象限角，故C正确；-315°=-360°+45°，所以-315°是第一象限角，故D正确.]
(2)二或四　终边落在第一或第二象限或y轴非负半轴上
解析　∵α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+，k∈Z，∴kπ+<例2　(1)B　[由题意得，“弓”所在的弧长l=++=(米)，所在圆的半径R=1.25=(米)，所以其所对的圆心角α===，所以双手之间的距离d==×1.25≈1.768(米).]
(2)解　①因为α=，R=10 cm，
所以l=|α|R=×10=(cm).
②由已知，得l+2R=20，
所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25.
所以当R=5 cm时，S取得最大值，
此时l=10 cm，α==2 rad.
③设弓形面积为S弓形，
方法一　由题意知l= cm，
所以S弓形=××2-×22×sin =-(cm2).
方法二　S弓形=××22-×22×sin =-(cm2).
跟踪训练2　(1)B　[半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是=2 rad.]
(2)D　[由题意知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形所得，
设大、小扇形所在圆的半径分别为r1，r2，相同的圆心角为θ，
则θ==，得r1=2r2，
又因为r1-r2=40，
所以r1=80，r2=40，
该扇形玉雕壁画的扇面面积
S=×160×r1-×80×r2
=×160×80-×80×40
=4 800(cm2).]
例3　(1)B　[因为sin α·cos α<0，所以α是第二或第四象限角；
当α是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α-sin α<0；
当α是第四象限角时，cos α>0，sin α<0，则cos α-sin α>0，不符合题意，
综上所述，α是第二象限角.]
(2)A　[∵角α的终边过点(4，3)，
∴cos α==，
∴sin=cos α=.]
跟踪训练3　(1)B　[由题意，得θ为第二象限角，又θ∈[0，2π)，则<θ<π，易知tan θ=-，所以θ=.]
(2)B　[因为点P(sin α，tan α)在第四象限，所以sin α>0，tan α<0，所以角α的终边在第二象限.](共68张PPT)
第四章
§4.1　任意角和弧度制、
三角函数的概念
数学
大
一
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复
习
1.了解任意角的概念和弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.角的概念
定义 角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形
分类 (1)按旋转方向分为 、 和 ；
(2)按终边位置分为 和轴线角
相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为－α
终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或___________________
端点
正角
负角
零角
象限角
{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
2.弧度制的定义及公式
定义 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的
角，记作1 rad
弧度数公式 |α|＝ (弧长用l表示，半径用r表示)
角度与弧度的换算
弧长公式 弧长l＝____
扇形面积公式 S＝ ＝______
半径长
°
|α|r
|α|r2
lr
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α＝tan α(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那
么sin α＝ cos α＝ tan α＝ (x≠0).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角. (　　)
(2)第四象限的角一定是负角. (　　)
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.(　　)
(4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关.(　　)
×
×
√
×
2.角－863°的终边所在的象限是
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
－863°＝－2×360°－143°，则－863°和－143°的终边相同，故角－863°的终边在第三象限.
3.一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为
A.20 cm B.14 cm
C.10π cm D.8π cm
√
秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为×2π＝因此，秒针的端点所走的路线长为×12＝10π(cm).
4.已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sin α－cos α的值为　　　 .
因为sin α＝＝－
cos α＝
所以sin α－cos α＝－＝－.
－
1.熟记以下常用结论
(1)轴线角
返回
微点提醒
(2)若角α∈则sin α<α(3)α所在象限与所在象限的关系
返回
微点提醒
2.谨防三个易误点
(1)角度与弧度换算的关键是π rad＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；
(2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
α所在象限 一 二 三 四
一、三 一、三 二、四 二、四
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则
A.－α是第一象限角
B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上
√
角及其表示
题型一
因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；
对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时的终边在第一象限；当k为奇数时的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；
对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋
2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；
对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确.
(2)如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值
集合为　　　　　 　　　.
方法二　在[0，2π)内，终边落在阴影部分内的角α的集合为所以所求角α的集合为.
因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角α的集合为.
方法一　由于终边在y＝－x(x≤0)上的角的集合为由于终边在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ＝π＋2kπ，k∈Z}，
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα(k∈N*)的终边位置的方法是先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)下列四个命题中正确的是
A.－是第二象限角
B.是第三象限角
C.－400°是第四象限角
D.－315°是第一象限角
√
√
√
－是第三象限角，故A错误；
＝π＋所以是第三象限角，故B正确；
－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故C正确；
－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故D正确.
(2)已知α为第三象限角，则是第　　 象限角，2α是______________
___________________________的角.
二或四
终边落在第一
或第二象限或y轴非负半轴上
∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋k∈Z，∴kπ＋<k∈Z，4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.当k为偶数时为第二象限角；当k为奇数时为第四象限角，而2α的终边落在第一或第二象限或y轴非负半轴上.
例2　(1)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为
米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414≈1.732)
A.1.612米 B.1.768米
C.1.868米 D.2.045米
弧度制及其应用
题型二
√
由题意得，“弓”所在的弧长l＝(米)，所在圆的半径R＝1.25＝(米)，所以其所对的圆心角α＝所以双手之间的距离
d＝×1.25≈1.768(米).
(2)已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
①若α＝R＝10 cm，求扇形的弧长l；
因为α＝R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝×10＝(cm).
②若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
由已知，得l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5 cm时，S取得最大值，
此时l＝10 cm，α＝＝2 rad.
③若α＝R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
设弓形面积为S弓形，
方法一　由题意知l＝ cm，
所以S弓形＝××2－×22×sin (cm2).
方法二　S弓形＝××22－×22×sin (cm2).
应用弧度制解决问题的思路
(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2024·杭州模拟)半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是
A.1 rad B.2 rad C.4 rad D.6 rad
√
半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是＝2 rad.
(2)玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积为
A.1 600 cm2 B.3 200 cm2
C.3 350 cm2 D.4 800 cm2
√
由题意知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形所得，
设大、小扇形所在圆的半径分别为r1，r2，相同的圆心角为θ，
则θ＝得r1＝2r2，
又因为r1－r2＝40，所以r1＝80，r2＝40，
该扇形玉雕壁画的扇面面积
S＝×160×r1－×80×r2＝×160×80－×80×40＝4 800(cm2).
例3　(1)若角α满足sin α·cos α<0，cos α－sin α<0，则α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
√
三角函数的概念
题型三
因为sin α·cos α<0，所以α是第二或第四象限角；
当α是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α－sin α<0；
当α是第四象限角时，cos α>0，sin α<0，则cos α－sin α>0，不符合题意，
综上所述，α是第二象限角.
(2)(2025·深圳模拟)若角α的终边过点(4，3)，则sin等于
A. B.－ C. D.－
√
∵角α的终边过点(4，3)，
∴cos α＝
∴sin＝cos α＝.
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出其终边与单位圆交点P的坐标.
(2)已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ的大小为
A. B. C. D.
√
由题意，得θ为第二象限角，又θ∈[0，2π)，则<θ<π，
易知tan θ＝－所以θ＝.
(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sin α，tan α)在第四象限，则角α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
因为点P(sin α，tan α)在第四象限，所以sin α>0，tan α<0，所以角α的终边在第二象限.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D B C B AD BCD
题号 9 10 13 14 答案 {α|30°+k·180°≤α< 105°+k·180°，k∈Z} 2(答案不 唯一) ACD (2-sin 2， 1-cos 2) 答案
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(1)与角α终边相同的角的集合为
令-4π<2kπ+<-π，
得-又k∈Z，所以k=-2，-1，
所以在(-4π，-π)内与角α终边相同的角是--.
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(2)由(1)知，β=2kπ+(k∈Z)，
则=kπ+(k∈Z)，
则当k为偶数时，角是第一象限角；当k为奇数时，角是第三象限角，
所以角是第一或第三象限角.
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(1)根据题意的长度为xθ米的长度为2θ米，
所以2(2-x)+xθ+2θ=6，所以θ=(0(2)依据题意，可知y=S扇形OAD-S扇形OBC=θ×22-θx2
=-x2+x+2=-+0所以当x=时，y的值最大，最大值为.
12.
一、单项选择题
1.把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是
A.－6π B.－6π
C.－8π D.－8π
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知识过关
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－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋.
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答案
2.若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α＋的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.y轴的非负半轴上 D.x轴的非正半轴上
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答案
由角α的终边在y轴的非正半轴上可知α＝＋2kπ，k∈Z，
故α＋＋2kπ＋＋2kπ，k∈Z，
而角＝2π＋的终边在第一象限，
故角α＋的终边在第一象限.
3.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α
等于
A.－ B.－ C.－ D.－
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因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.
又cos α＝x＝解得x＝－3(x＝3舍去)，
所以tan α＝＝－.
答案
4.已知角x的终边上一点的坐标为则角x的最小正值为
A. B. C. D.
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因为sin >0，cos <0，
所以角x的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知sin x＝cos ＝－
故角x的最小正值为2π－.
答案
5.(2024·北京模拟)“sin 2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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答案
∵sin 2θ＝2sin θ·cos θ>0 >0 tan θ>0，∴θ为第一或第三象限角.
6.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为
A. B.
C.3－ D.－2
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答案
设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，
依题意，有
即
所以
从而得.
二、多项选择题
7.下面说法正确的有
A.角与角－的终边相同
B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，
k∈Z}
C.若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为
D.67°30'化成弧度是 rad
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角与角－相差2π，终边相同，故A正确；
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；
若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为±故C错误；
67°30'化成弧度是 rad，故D正确.
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8.(2025·深圳模拟)如图，质点A和B在单位圆O上逆时针做匀速圆周运动.若A和B同时出发，A的角速度为1 rad/s，起点位置坐标为B的角速度为2 rad/s，起点位置坐标为(1，0)，则
A.在1 s末，点B的坐标为(sin 2，cos 2)
B.在1 s末，扇形AOB的弧长为－1
C.在 s末，点A，B在单位圆上第二次重合
D.△AOB面积的最大值为
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在1 s末，点B的坐标为(cos 2，sin 2)，故A错误；
在1 s末，∠AOB＝－1，扇形AOB的弧长为－1，故B正确；
设在t s末，点A，B在单位圆上第二次重合，则2t－t＝t＝2π＋故在 s末，点A，B在单位圆上第二次重合，故C正确；
S△AOB＝sin∠AOB，又∠AOB∈(0，π)，∠AOB＝则经过 s后，可得∠AOB＝此时△AOB的面积可取得最大值故D正确.
答案
三、填空题
9.已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值集合为　　　　　　　　 　　　　.
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答案
{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}
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答案
终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝
{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}，
终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{γ|γ＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此，终边在题图中阴影部分内的角α的集合为{α|30°＋k·180°≤ α<105°＋k·180°，k∈Z}.
10.(2024·昆明模拟)已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，则tan θ的值可以是　　　 　　　 .(写出一个即可)
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答案
2(答案不唯一)
点A(1，a)(a∈Z)在角θ的终边上，且|OA|≤3，
则1＋a2≤9，解得－2≤a≤2a∈Z，
则a的值可为－2，－1，0，1，2，又tan θ＝＝a，
故tan θ的值可以是0或±1或±2.
四、解答题
11.已知α＝.
(1)写出与角α终边相同的角的集合，并求出在(－4π，－π)内与角α终边相同的角；
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答案
与角α终边相同的角的集合为
令－4π<2kπ＋<－π，
得－又k∈Z，所以k＝－2，－1，
所以在(－4π，－π)内与角α终边相同的角是－－.
(2)若角β与角α的终边相同，判断角是第几象限角.
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答案
由(1)知，β＝2kπ＋(k∈Z)，
则＝kπ＋(k∈Z)，
则当k为偶数时，角是第一象限角；当k为奇数时，角是第三象限角，
所以角是第一或第三象限角.
12.某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝2米，OB＝x米(01
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(1)求θ关于x的函数解析式；
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答案
根据题意的长度为xθ米的长度为2θ米，
所以2(2－x)＋xθ＋2θ＝6，
所以θ＝(0(2)记该宣传牌的面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
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答案
依据题意，可知
y＝S扇形OAD-S扇形OBCθ×22－θx2
＝－x2＋x＋2＝－0所以当x＝时，y的值最大，最大值为.
13.(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对
称，则
A.sin θ＝－
B.α为钝角
C.cos α＝－
D.点(tan θ，tan α)在第四象限
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答案
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能力拓展
√
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因为角θ的终边经过点(－2，－)，
所以sin θ＝－A正确；
由θ与α的终边关于x轴对称，得α的终边经过点(－2)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－B错误，C正确；
因为tan θ＝>0，tan α＝－<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确.
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答案
14.如图，在平面直角坐标系Oxy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)处，此时圆上一点P的位置在(0，0)处，圆在x轴上沿x轴正方向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，1)处时的坐标为　　　　　 .
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(2－sin 2，1－cos 2)
答案
如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA＝2，即圆心角∠PCA＝2，
则∠PCB＝2－
所以PB＝sin＝－cos 2，
CB＝cos＝sin 2，
所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2，
所以＝(2－sin 2，1－cos 2).
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