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§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.cos 50°cos 160°-cos 40°sin 160°等于(　　)
A. B. C.- D.-
2.已知α为锐角，且sin=sin，则tan α等于(　　)
A. B.2+
C. D.+
3.(2024·晋城模拟)若sin 18°=m，则sin 63°等于(　　)
A.-m) B.m+
C.(m+) D.m+
4.已知sin α+sin β=，cos α+cos β=，则cos(α-β)的值等于(　　)
A.- B.- C.- D.
5.已知tan(α+β)，tan(α-β)是方程x2+5x+6=0的两个根，则tan 2α等于(　　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
6.定义运算=ad-bc，若cos α==，0<β<α<，则β等于(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列等式成立的有(　　)
A.tan 15°=
B.sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=1
C.cos 105°cos 75°-sin 105°cos 15°=-1
D.sin 15°+cos 15°=1
8.下列结论正确的是(　　)
A.sin(α-β)sin(β-γ)-cos(α-β)cos(γ-β)=-cos(α-γ)
B.sin x+cos x=sin
C.f(x)=sin +cos 的最大值为2
D.tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知sin=，α∈，则cos的值为　　　　.
10.在△ABC中，已知tan A+tan B+tan Atan B=，则C=　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知sin(α-β)=，sin(α+β)=.
(1)证明：tan α+5tan β=0；(6分)
(2)计算的值.(7分)
12.(15分)如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM=，点B的横坐标是-.
(1)求cos(α-β)的值；(7分)
(2)求2α-β的值.(8分)
每小题5分，共10分
13.(2024·吕梁模拟)的值为(　　)
A. B. C.2 D.4
14.已知sin=sin β，sin α+cos α=，sin β+cos β=，则cos(α-β)=　　　　　　.
答案精析
1.D　2.B　3.C
4.C　[sin α+sin β= sin2α+sin2β+2sin αsin β=①
cos α+cos β= cos2α+cos2β+2cos αcos β=②
①+②得，2+2(sin αsin β+cos αcos β)
= cos(α-β)=×
=-.]
5.B　[由题意可得tan(α+β)+tan(α-β)
=-5，
且tan(α+β)tan(α-β)=6，
则tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]
===1.]
6.D　[由题意得，
sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)
=.
∵0<β<α<∴0<α-β<
∴cos(α-β)=.
又∵cos α=∴sin α=
sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×-×=
∴β=.]
7.BC　[对于A，tan 15°=tan(45°-30°)==2-故A错误；
对于B，sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1，故B正确；
对于C，cos 105°cos 75°-sin 105°cos 15°=cos(105°+75°)=cos 180°=-1，故C正确；
对于Dsin 15°+cos 15°=2sin(15°+30°)=2sin 45°=故D错误.]
8.AD　[对于A，左边=-[cos(α-β)·cos(β-γ)-sin(α-β)sin(β-γ)]=-cos[(α-β)+(β-γ)]=-cos(α-γ)，故A正确；
对于Bsin x+cos x
=2
=2sin故B错误；
对于C，f(x)=sin +cos =sin所以f(x)的最大值为故C错误；
对于D，tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=tan(12°+33°)(1-tan 12°tan 33°)+tan 12°tan 33°=1，故D正确.]
9.-
解析　由已知得cos α=sin α=-
所以cos=cos α+sin α=-.
10.120°
解析　由题意可知tan A+tan B
=(1-tan Atan B)，
所以tan(A+B)=
==
因为0°故C=180°-(A+B)=120°.
11.(1)证明　方法一　由条件sin(α-β)
=
sin(α+β)=
得2sin(α-β)=3sin(α+β)，
即2sin αcos β-2cos αsin β
=3sin αcos β+3cos αsin β，
整理得sin αcos β=-5cos αsin β，
也即tan α=-5tan β，tan α+5tan β=0得证.
方法二　由条件sin(α-β)=
sin(α+β)=
即sin αcos β-cos αsin β=
sin αcos β+cos αsin β=
得sin αcos β=cos αsin β=-
从而可得tan α=-5tan β，tan α+5tan β=0得证.
(2)解　由于tan(α-β)
= tan α-tan β
=tan(α-β)(1+tan αtan β)，
所以
=
=
=-=.
12.解　(1)由题意知，|OA|=|OM|=1，
点A(cos α，sin α)，
则有S△OAM=|OA|·|OM|·sin α
=解得sin α=
又α为锐角，则cos α==
因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是-
则cos β=-
sin β==
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=×+×
=-.
(2)由(1)知sin α=cos α=sin β=cos β=-
则sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×
=-
从而sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]
=sin αcos(α-β)+cos αsin(α-β)
=×+×
=-
因为α为锐角，sin α=>
则有α∈即2α∈
又β∈
因此2α-β∈
所以2α-β=-.
13.D　[=
=
==
==4.]
14.
解析　因为sin=sin β，
所以cos α=sin β，
所以sin α+sin β=cos α+cos β
=
所以
两式求和得2+2(cos αcos β+sin αsin β)
=2+2cos(α-β)=2+
所以cos(α-β)=.§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课标要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β)：cos(α-β)=　　　　.
(2)公式C(α+β)：cos(α+β)=　　　　.
(3)公式S(α-β)：sin(α-β)=　　　　.
(4)公式S(α+β)：sin(α+β)=　　　　.
(5)公式T(α-β)：tan(α-β)=　　　　.
(6)公式T(α+β)：tan(α+β)=　　　　.
2.辅助角公式
asin α+bcos α=　　　　　　　　　　　　，其中sin φ=，cos φ=.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(　　)
(3)公式tan(α+β)=对任意角α，β都成立.(　　)
(4)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a，b的值无关.(　　)
2.sin-cos的值为(　　)
A.0 B.- C.2 D.
3.若2cos α-sin α=0，则tan等于(　　)
A.- B. C.-3 D.3
4.若tan α=，tan(α+β)=，则tan β=　　　　　　.
1.熟记两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β.
(2)cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
(4)tan αtan β=1-=-1.
2.谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.
　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一　两角和与差的三角函数公式
例1　(1)若=3，则tan等于(　　)
A.-3 B.- C. D.3
(2)(2024·厦门模拟)若cos(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α)，则tan α等于(　　)
A. B.- C. D.-
思维升华　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
跟踪训练1　(1)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则sin(α+β)等于(　　)
A. B. C.- D.-
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
例2　(1)(2024·南充模拟)已知函数f(x)=3sin x+4cos x.若x=θ时，f(x)取得最大值，则cos等于(　　)
A. B.- C. D.-
(2)tan 10°+tan 20°+tan 30°+tan 10°·tan 20°·tan 30°=　　　　　　.
思维升华　(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α+tan β(或tan α-tan β)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
(3)对asin x+bcos x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值.
跟踪训练2　(1)若sin α+cos α=1，且α∈(0，π)，则α=　　　　　　.
(2)若α+β=-，则(1+tan α)(1+tan β)=　　　　　　.
题型三　角的变换问题
例3　(1)已知sin=，α∈，则cos α等于(　　)
A. B. C. D.
(2)(2024·杭州模拟)已知α∈，β∈，若sin(α+β)=，cos β=，则sin α等于(　　)
A. B. C. D.
思维升华　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角的变换：2α=(α+β)+(α-β)，α=++α=-，α=(α+β)-β=(α-β)+β，+=等.
跟踪训练3　(1)已知α，β∈，若sin=，cos=，则sin(α-β)的值为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知θ∈，且sin=，则tan θ等于(　　)
A.7 B. C. D.
答案精析
落实主干知识
1.(1)cos αcos β+sin αsin β
(2)cos αcos β-sin αsin β
(3)sin αcos β-cos αsin β
(4)sin αcos β+cos αsin β
(5)
(6)
2.sin(α+φ)
自主诊断
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.B　3.B　4.
探究核心题型
例1　(1)C　[由题意，
得==3，
所以tan α=-，
则tan=
==.]
(2)D　[因为cos(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α)，
所以-sin(50°-α)+cos(20°+α)=sin(50°+α)，
即-sin 50°cos α+cos 50°sin α+cos(20°+α)=sin 50°cos α+cos 50°sin α，
所以cos 20°cos α-sin 20°sin α
=2sin 50°cos α，
即(cos 20°-2sin 50°)cos α
=sin 20°sin α，
所以tan α=
=
=
=-.]
跟踪训练1　(1)A　[因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=，
而cos αsin β=，
因此sin αcos β=，
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.]
(2)A　[由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m.①
由tan αtan β=2得=2，②
由①②得
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=-3m.]
例2　(1)C　[f(x)=3sin x+4cos x=5sin(x+φ)，其中tan φ=，sin φ=，cos φ=，
∵当x=θ时，f(x)取得最大值，
∴θ+φ=+2kπ，k∈Z，
即θ=+2kπ-φ，k∈Z，
∴cos=cos
=cos
=cos cos φ+sin sin φ
=-×+×=.]
(2)
解析　因为tan 30°=tan(10°+20°)=，
故tan 10°+tan 20°
=tan 30°-tan 30°tan 10°tan 20°，
所以tan 10°+tan 20°+tan 30°+tan 10°tan 20°tan 30°
=tan 30°-tan 30°tan 10°tan 20°+tan 30°+tan 10°tan 20°tan 30°
=2tan 30°=.
跟踪训练2　(1)
解析　因为sin α+cos α
=2sin=1，
所以sin=，
又α∈(0，π)，
所以α+∈，
所以α+=，所以α=.
(2)2
解析　tan=tan(α+β)==1，
所以1-tan αtan β=tan α+tan β，
则1+tan α+tan β+tan αtan β=2，
即(1+tan α)(1+tan β)=2.
例3　(1)A　[由α∈，
得α+∈，
则cos
=-=-，
cos α=cos=
coscos +sinsin
=-×+×=.]
(2)C　[因为α∈，β∈，sin(α+β)=>0，cos β=，
所以α+β∈，
则sin β==，
cos(α+β)=-
=-，
所以sin α=sin[(α+β)-β]
=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β
=×-×=.]
跟踪训练3　(1)A　[由题意可得α+∈，
β-∈，
所以cos=-，
sin=-，
所以sin(α-β)
=-sin
=-×+×
=.]
(2)A　[因为θ∈，
所以θ+∈，
又sin=，
所以cos=-，
则tan=-，
所以tan θ=tan
===7.](共68张PPT)
第四章
§4.3　两角和与差的正弦、
余弦和正切公式
数学
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一
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复
习
1.会推导两角差的余弦公式.
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝ .
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝ .
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ .
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ .
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ .
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β－cos αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝cos φ＝.
sin(α＋φ)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的. (　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立. (　　)
(3)公式tan(α＋β)＝对任意角α，β都成立.(　　)
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关.(　　)
√
√
×
×
2.sincos的值为
A.0 B.－ C.2 D.
√
sincos＝2
＝2sin＝2sin＝－.
3.若2cos α－sin α＝0，则tan等于
A.－ B. C.－3 D.3
√
因为2cos α－sin α＝0，
则sin α＝2cos α，故tan α＝2，
因此，tan.
4.若tan α＝tan(α＋β)＝则tan β＝　　　.
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝.
1.熟记两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β).
(4)tan αtan β＝1－－1.
2.谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)若＝3，则tan等于
A.－3 B.－ C. D.3
√
两角和与差的三角函数公式
题型一
由题意，得＝3，所以tan α＝－
则tan.
(2)(2024·厦门模拟)若cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α等于
A. B.－ C. D.－
√
因为cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，
所以－sin(50°－α)＋cos(20°＋α)＝sin(50°＋α)，
即－sin 50°cos α＋cos 50°sin α＋cos(20°＋α)
＝sin 50°cos α＋cos 50°sin α，
所以cos 20°cos α－sin 20°sin α＝2sin 50°cos α，
即(cos 20°－2sin 50°)cos α＝sin 20°sin α，
所以tan α＝
＝＝－.
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知sin(α－β)＝cos αsin β＝则sin(α＋β)等于
A. B. C.－ D.－
√
因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝
而cos αsin β＝
因此sin αcos β＝
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝.
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)
等于
A.－3m B.－ C. D.3m
√
由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m. ①
由tan αtan β＝2得＝2， ②
由①②得
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.
例2　(1)(2024·南充模拟)已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x.若x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos等于
A. B.－ C. D.－
两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
题型二
√
f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝sin φ＝cos φ＝
∵当x＝θ时，f(x)取得最大值，∴θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ－φ，k∈Z，
∴cos＝cos
＝cos＝cos cos φ＋sin sin φ
＝－××.
(2)tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝　　　.
因为tan 30°＝tan(10°＋20°)＝
故tan 10°＋tan 20°＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°，
所以tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°
＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°
＝2tan 30°＝.
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
(3)对asin x＋bcos x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值.
思维升华
跟踪训练2　(1)若sin α＋cos α＝1，且α∈(0，π)，则α＝　　　.
因为sin α＋cos α＝2sin＝1，
所以sin
又α∈(0，π)，所以α＋∈
所以α＋所以α＝.
(2)若α＋β＝－则(1＋tan α)(1＋tan β)＝　　　.
tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
则1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.
2
例3　(1)已知sinα∈则cos α等于
A. B. C. D.
√
角的变换问题
题型三
由α∈得α＋∈
则cos＝－＝－
cos α＝cos＝coscos ＋sinsin
＝－××.
(2)(2024·杭州模拟)已知α∈β∈若sin(α＋β)＝cos β＝则sin α等于
A. B. C. D.
√
因为α∈β∈sin(α＋β)＝>0，cos β＝所以α＋β∈
则sin β＝
cos(α＋β)＝－＝－
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝××.
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋α＝α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知α，β∈若sincos则sin(α－β)的值为
A. B. C. D.
√
由题意可得α＋∈β－∈
所以cos＝－sin＝－
所以sin(α－β)＝－sin
＝－××.
(2)已知θ∈且sin则tan θ等于
A.7 B. C. D.
√
因为θ∈所以θ＋∈
又sin
所以cos＝－则tan＝－
所以tan θ＝tan
＝＝7.
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课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C C B D BC AD
题号 9 10 13 　14　
答案 - 120° D 　
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)方法一　由条件sin(α-β)=sin(α+β)=
得2sin(α-β)=3sin(α+β)，
即2sin αcos β-2cos αsin β
=3sin αcos β+3cos αsin β，
整理得sin αcos β=-5cos αsin β，
也即tan α=-5tan β，tan α+5tan β=0得证.
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
方法二　由条件sin(α-β)=sin(α+β)=
即sin αcos β-cos αsin β=
sin αcos β+cos αsin β=
得sin αcos β=cos αsin β=-
从而可得tan α=-5tan β，tan α+5tan β=0得证.
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)由于tan(α-β)= tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，
所以==
=-=.
11.
答案
1
2
3
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(1)由题意知，|OA|=|OM|=1，
点A(cos α，sin α)，
则有S△OAM=|OA|·|OM|·sin α=解得sin α=
又α为锐角，则cos α==
因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是-则cos β=-
12.
答案
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sin β==
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.
(2)由(1)知sin α=cos α=sin β=cos β=-
则sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-
12.
答案
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从而sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]=sin αcos(α-β)+cos αsin(α-β)
=×+×=-
因为α为锐角，sin α=>
则有α∈即2α∈
又β∈
12.
答案
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因此2α-β∈
所以2α-β=-.
12.
一、单项选择题
1.cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°等于
A. B. C.－ D.－
√
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知识过关
答案
原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos(50°＋160°)
＝cos 210°＝－cos 30°＝－.
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答案
2.已知α为锐角，且sin＝sin则tan α等于
A. B.2＋
C. D.
√
因为sin＝sin所以sin α＋cos α＝sin α－cos α，
所以(＋1)cos α＝(－1)sin α，所以tan α＝＝2＋.
3.(2024·晋城模拟)若sin 18°＝m，则sin 63°等于
A.－m) B.m＋
C.(m＋) D.m＋
√
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因为sin 18°＝m，所以cos 18°＝
所以sin 63°＝sin(18°＋45°)＝(sin 18°＋cos 18°)
＝(m＋).
答案
4.已知sin α＋sin β＝cos α＋cos β＝则cos(α－β)的值等于
A.－ B.－ C.－ D.
√
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sin α＋sin β＝ sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝ ①
cos α＋cos β＝ cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝ ②
①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝ cos(α－β)＝×＝－.
答案
5.已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α等于
A.－1 B.1 C.－2 D.2
√
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答案
由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)＝－5，
且tan(α＋β)tan(α－β)＝6，
则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝1.
6.定义运算＝ad－bc，若cos α＝0<β<α
<则β等于
A. B. C. D.
√
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答案
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由题意得，sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝.
∵0<β<α<∴0<α－β<
∴cos(α－β)＝.
又∵cos α＝∴sin α＝
sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝××
∴β＝.
答案
二、多项选择题
7.下列等式成立的有
A.tan 15°＝
B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D.sin 15°＋cos 15°＝1
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答案
√
对于A，tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－故A错误；
对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确；
对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确；
对于Dsin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝故D错误.
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答案
8.下列结论正确的是
A.sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)
B.sin x＋cos x＝sin
C.f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2
D.tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
√
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答案
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对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A正确；
对于Bsin x＋cos x＝2
＝2sin故B错误；
对于C，f(x)＝sin ＋cos sin所以f(x)的最大值为故C
错误；
对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)
(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确.
答案
三、填空题
9.已知sinα∈则cos的值为　　　.
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答案
－
由已知得cos α＝sin α＝－
所以coscos α＋sin α＝－.
10.在△ABC中，已知tan A＋tan B＋tan Atan B＝则C＝　　 　.
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答案
120°
由题意可知tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)，
所以tan(A＋B)＝＝
因为0°故C＝180°－(A＋B)＝120°.
四、解答题
11.已知sin(α－β)＝sin(α＋β)＝.
(1)证明：tan α＋5tan β＝0；
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答案
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答案
方法一　由条件sin(α－β)＝
sin(α＋β)＝
得2sin(α－β)＝3sin(α＋β)，
即2sin αcos β－2cos αsin β＝3sin αcos β＋3cos αsin β，
整理得sin αcos β＝－5cos αsin β，
也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
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答案
方法二　由条件sin(α－β)＝sin(α＋β)＝
即sin αcos β－cos αsin β＝
sin αcos β＋cos αsin β＝
得sin αcos β＝cos αsin β＝－
从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
(2)计算的值.
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答案
由于tan(α－β)＝ tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，
所以＝
＝
＝－.
12.如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，
已知S△OAM＝点B的横坐标是－.
(1)求cos(α－β)的值；
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答案
由题意知，|OA|＝|OM|＝1，点A(cos α，sin α)，则有
S△OAM＝|OA|·|OM|·sin α＝解得sin α＝
又α为锐角，则cos α＝
因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是－
则cos β＝－sin β＝
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝××＝－.
(2)求2α－β的值.
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答案
由(1)知sin α＝cos α＝sin β＝cos β＝－
则sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝××＝－
从而sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]
＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)
＝××＝－
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答案
因为α为锐角，sin α＝>
则有α∈即2α∈
又β∈因此2α－β∈
所以2α－β＝－.
13.(2024·吕梁模拟)的值为
A. B. C.2 D.4
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答案
√
能力拓展
＝4.
14.已知sin＝sin β，sin α＋cos α＝sin β＋cos β＝则
cos(α－β)＝　　　.
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答案
因为sin＝sin β，
所以cos α＝sin β，
所以sin α＋sin β＝cos α＋cos β＝
所以
两式求和得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2＋2cos(α－β)＝2＋
所以cos(α－β)＝.
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