资源简介

§4.4　简单的三角恒等变换
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·大连模拟)设θ∈，若cos θ=，则sin 2θ等于(　　)
A. B. C. D.
2.的值等于(　　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
3.化简等于(　　)
A.1 B.-1 C.cos α D.-sin α
4.(2024·齐齐哈尔模拟)已知cos=，则sin等于(　　)
A.- B. C. D.-
5.(2024·福州模拟)若θ∈，tan 2θ=，则cos θ等于(　　)
A.- B.- C. D.
6.已知<θ<，若a=，b=-cos 2θ，c=-cos θ，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.c>a>b B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·中山模拟)下列选项中，与sin的值相等的是(　　)
A.2sin 15°cos 15°
B.cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°
C.2cos215°-1
D.
8.已知函数f(x)=sin2，若a=f(lg 5)，b=f，则(　　)
A.a+b=0 B.a-b=0
C.a+b=1 D.a-b=sin(2lg 5)
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知sin=，则sin 2α=　　　　　.
10.已知α，β均为锐角，cos α=，sin β=，则cos 2α=　　　　，2α-β=　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)化简：
(1)；(6分)
(2).(7分)
12.(15分)某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园.经过测量，扇形空地的半径为600 m，∠AOB=120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且OC=OD.
(1)求扇形空地的面积；(4分)
(2)求矩形场地CDEF的最大面积.(11分)
每小题5分，共10分
13.(2025·湖北名校联盟联考)已知函数f(x)=cos 2x+cos 3x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零点x1，x2(x1A.∈{x1，x2} B.x2=2x1
C.cos x1+cos x2= D.cos x1cos x2=
14.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α=sin(2α+α)可求得sin 3α=　　　　　　　　　　(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°=　　　　　　.
答案精析
1.D　2.B　3.A
4.B　[∵cos=
可得sin
=-cos
=-cos=1-2cos2
=1-2×=.]
5.B　[因为tan 2θ===θ∈
所以4sin θ-2sin2θ=3-6sin2θ，
即4sin2θ+4sin θ-3=0，
解得sin θ=或sin θ=-(舍去)，
又因为θ∈
所以cos θ=-=-.]
6.C　[a===sin θcos θ，
b=(1-cos 2θ)=sin2θ，
c=-cos θ==sin θtan θ，
又<θ<则sin θ∈
且tan θ>1>sin θ>>cos θ>
所以c=sin θtan θ>b=sin2θ>a=sin θcos θ.]
7.ABD　[根据题意，可得
sin=sin
=sin =.
因为2sin 15°cos 15°=sin 30°=故A项正确；
因为cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°=cos(18°+42°)=cos 60°=故B项正确；
因为2cos215°-1=cos 30°=故C项不正确；
因为=tan 45°=1，所以=故D项正确.]
8.CD　[由题意可得
f(x)=sin2
==.
因为a=f(lg 5)，
b=f =f(-lg 5)，
所以a+b
=+=1，
a-b=-
=sin(2lg 5).]
9.
解析　sin
=-sin=
所以sin=-
所以sin 2α=cos
=cos 2=1-2sin2
=1-2×=.
10.　
解析　因为cos α=
所以cos 2α=2cos2α-1=.
又因为α，β均为锐角，sin β=
所以sin α=cos β=
因此sin 2α=2sin αcos α=
所以sin(2α-β)
=sin 2αcos β-cos 2αsin β
=×-×=.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<
又β为锐角，所以-<2α-β<
又sin(2α-β)=所以2α-β=.
11.解　(1)原式=
=·
=·=.
(2)原式
=
=
=
==cos 2x.
12.解　(1)扇形空地面积S=×6002×=120 000π(m2).
(2)如图，记的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，
设∠FOG=α，
则EF=2OFsin α，
CF=MN=OM-ON
=OM-
=OFcos α-.
所以矩形面积S1=EF·CF
=2OFsin α·
=6002×
=6002×
=360 000
=360 000.
所以当α=30°时，矩形场地CDEF的面积取得最大值，
且最大值为120 000 m2.
13.C　[A，B选项，令f(x)=0得cos 2x=-cos 3x，故cos 2x=cos(π-3x)或cos 2x=cos(π+3x)，所以2x=π-3x+2k1π，k1∈Z或2x=π+3x+2k2π，k2∈Z，解得x=+k1∈Z或x=-π-2k2π，k2∈Z，由x∈(0，π)，故当k1=0，1时，解得x1=x2=A，B错误；
C选项，cos x1+cos x2=cos +cos =2cos cos =
===C正确；
D选项，因为cos>0，cos <0，所以cos x1cos x2=cos cos <0，D错误.]
14.3sin α-4sin3α　
解析　sin 3α=sin(2α+α)
=sin 2αcos α+cos 2αsin α
=2sin αcos2α+(1-2sin2α)sin α
=2sin α(1-sin2α)+(1-2sin2α)sin α
=3sin α-4sin3α，
因为sin 72°=sin 108°，
从而2sin 36°cos 36°
=3sin 36°-4sin336°，
即2cos 36°=3-4sin236°
=3-4(1-cos236°)，
令cos 36°=x>0，则4x2-2x-1=0，
解得x=或x=(舍去).§4.4　简单的三角恒等变换
课标要求　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α=　　　　.
(2)公式C2α：cos 2α=　　　　　　　　　　=　　　　　　　　=　　　　.
(3)公式T2α：tan 2α=　　　　.
2.半角公式(不要求记忆)
sin=±；cos=±；tan=±.符号由所在象限决定.
3.积化和差公式
(1)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]；
(2)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]；
(3)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]；
(4)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
4.和差化积公式
(1)sin θ+sin φ=2sincos；
(2)sin θ-sin φ=2cossin；
(3)cos θ+cos φ=2coscos；
(4)cos θ-cos φ=-2sinsin.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　)
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k+1)π(k∈Z).(　　)
(3)任意角α，sin 2α=2sin α都不成立.(　　)
(4)cos2=(1+cos α)，cos 3α=1-2sin2.(　　)
2.cos2-cos2等于(　　)
A. B. C. D.
3.若α为第二象限角，sin α=，则sin 2α=　　　　.
4.已知tan 2α=-，α∈，则tan α=　　　　.
1.熟记常用的部分三角公式
(1)1-cos α=2sin2 ，1+cos α=2cos2 .(升幂公式)
(2)1±sin α=.(升幂公式)
(3)sin2α=，cos2α=，
tan2α=.(降幂公式)
(4)半角正切公式的有理化
tan==.
(5)万能公式
sin α=，cos α=，tan α=.
(6)三角平方差公式
sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)；
cos2α-sin2β=cos(α+β)cos(α-β).
2.运用倍角公式时谨记四个注意点
(1)要注意公式成立的条件；
(2)要注意和、差、倍角的相对性；
(3)要注意升幂、降幂的灵活运用；
(4)要注意“1”的各种变形.
　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一　三角函数式的化简
例1　(1)sin2+sin2-sin2α等于(　　)
A.- B.- C. D.
(2)化简：=　　　　.
思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
跟踪训练1　(1)化简的结果是(　　)
A. B.tan 2α
C. D.tan α
(2)若<α<2π，化简：=　　　　　　.
题型二　三角函数式的求值
命题点1　给角求值
例2　(2024·宜昌模拟)古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin 18°，则=　　　　　　.
命题点2　给值求值
例3　(2024·石家庄模拟)已知cos=，则sin等于(　　)
A.- B. C.- D.
命题点3　给值求角
例4　已知sin α=，cos β=，且α，β为锐角，则α+2β=　　　　　　.
思维升华　(1)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
(2)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
②若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
跟踪训练2　(1)(2025·成都模拟)已知α是第一象限角，满足cos=-，则cos 2α等于(　　)
A. B.- C. D.-
(2)已知α为锐角，1+=，则α=　　　　　.
题型三　三角恒等变换的综合应用
例5　已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+.若f =，则sin 2α的值为　　　　.
思维升华　(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
(2)形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
跟踪训练3　已知f(x)=sin xsin-，则f(x)的值域为　　　　　　.
答案精析
落实主干知识
1.(1)2sin αcos α　(2)cos2α-sin2α　2cos2α-1　1-2sin2α　(3)
自主诊断
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.D　3.-　4.2
探究核心题型
例1　(1)C　[原式=
+-sin2α
=1-
-sin2α
=1-cos 2αcos -sin2α
=1--=.]
(2)sin 4α
解析　
=2cos2α(-cos 2α)
=cos2αcos 2αtan α=sin αcos αcos 2α
=sin 2αcos 2α=sin 4α.
跟踪训练1　(1)B　[原式=
==tan 2α.]
(2)-cos
解析　因为<α<2π，所以<<π，所以cos α>0，cos <0.
=
==
==
=-cos .
例2　
解析　
=
=
=
==.
例3　C　[方法一　因为cos
=，
所以sin
=sin
=cos=2cos2-1
=2×-1=-.
方法二　(换元法)
令t=+α，则α=t-，cos t=，
所以sin
=sin
=sin=cos 2t=2cos2t-1=-.]
例4　
解析　因为sin α=，且α为锐角，
所以cos α=
==，
因为cos β=，且β为锐角，
所以sin β=
==，
则sin 2β=2sin βcos β
=2××=，
cos 2β=1-2sin2β
=1-2×=，
所以cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=×-×=，
因为α∈，β∈，
所以2β∈(0，π).
所以α+2β∈，故α+2β=.
跟踪训练2　(1)B　[因为α是第一象限角，且cos=-<0，则+α为第二象限角，
所以sin
==，
由题意可得，
cos 2α=cos
=sin 2
=2sincos=-.]
(2)50°
解析　因为1+
=
==
===
=，
所以sin α=sin 50°，
又因为α为锐角，所以α=50°.
例5　-
解析　f(x)=sin 2x-·+=sin 2x-cos 2x=sin.
因为f =，
所以sin=，
所以sin=，
sin 2α=sin
=cos 2
=1-2sin2=1-2×=-.
跟踪训练3　
解析　因为f(x)
=sin xsin-
=sin x-
=sin2x+sin xcos x-
=×+sin 2x-
=sin 2x-cos 2x
=sin，
所以-≤f(x)≤.(共72张PPT)
第四章
§4.4　简单的三角恒等变换
数学
大
一
轮
复
习
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ .
(2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式T2α：tan 2α＝ .
2.半角公式(不要求记忆)
sin＝±；cos＝±；tan＝±.符号由所在象限决定.
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
3.积化和差公式
(1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
(3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)].
4.和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sincos；
(2)sin θ－sin φ＝2cossin；
(3)cos θ＋cos φ＝2coscos；
(4)cos θ－cos φ＝－2sinsin.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　)
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).(　　)
(3)任意角α，sin 2α＝2sin α都不成立. (　　)
(4)cos2(1＋cos α)，cos 3α＝1－2sin2. (　　)
√
×
×
√
2.cos2－cos2等于
A. B. C. D.
√
因为cos ＝sin＝sin
所以cos2－cos2＝cos2－sin2
＝cos .
3.若α为第二象限角，sin α＝则sin 2α＝　　　 .
因为α为第二象限角，sin α＝
所以cos α＝－＝－＝－
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
－
4.已知tan 2α＝－α∈则tan α＝　　　.
由tan 2α＝＝－
得2tan2α－3tan α－2＝0，
解得tan α＝2或tan α＝－(舍去).
2
1.熟记常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2 1＋cos α＝2cos2 .(升幂公式)
(2)1±sin α＝.(升幂公式)
(3)sin2α＝cos2α＝
tan2α＝.(降幂公式)
(4)半角正切公式的有理化
tan.
微点提醒
(5)万能公式
sin α＝cos α＝tan α＝.
(6)三角平方差公式
sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；cos2α－sin2β＝cos(α＋β)cos(α－β).
2.运用倍角公式时谨记四个注意点
(1)要注意公式成立的条件；(2)要注意和、差、倍角的相对性；
(3)要注意升幂、降幂的灵活运用；(4)要注意“1”的各种变形.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)sin2＋sin2－sin2α等于
A.－ B.－ C. D.
√
三角函数式的化简
题型一
原式＝－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－cos 2αcos －sin2α
＝1－.
(2)化简：＝　　　　.
sin 4α
＝2cos2α(－cos 2α)
＝cos2αcos 2αtan α＝sin αcos αcos 2α
＝sin 2αcos 2α＝sin 4α.
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
思维升华
跟踪训练1　(1)化简的结果是
A. B.tan 2α C. D.tan α
√
原式＝＝tan 2α.
(2)若<α<2π，化简：＝　　　　.
－cos
因为<α<2π，所以<<π，所以cos α>0，cos <0.
＝
＝
＝＝－cos .
命题点1　给角求值
例2　(2024·宜昌模拟)古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，则＝　　　.
三角函数式的求值
题型二
＝
＝
＝.
命题点2　给值求值
例3　(2024·石家庄模拟)已知cos则sin等于
A.－ B. C.－ D.
√
方法一　因为cos
所以sin＝sin
＝cos＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
方法二　(换元法)
令t＝＋α，则α＝t－cos t＝
所以sin＝sin
＝sin＝cos 2t＝2cos2t－1＝－.
命题点3　给值求角
例4　已知sin α＝cos β＝且α，β为锐角，则α＋2β＝　　　.
因为sin α＝且α为锐角，
所以cos α＝
因为cos β＝且β为锐角，
所以sin β＝
则sin 2β＝2sin βcos β＝2××
cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝××
因为α∈β∈所以2β∈(0，π).
所以α＋2β∈故α＋2β＝.
(1)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
(2)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
思维升华
(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
②若角的范围是选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为选正弦较好.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·成都模拟)已知α是第一象限角，满足cos＝
－则cos 2α等于
A. B.－ C. D.－
√
因为α是第一象限角，且cos＝－<0，则＋α为第二象限角，
所以sin
由题意可得，
cos 2α＝cos
＝sin 2＝2sincos
＝－.
(2)已知α为锐角，1＋则α＝　　　.
因为1＋
＝
＝
所以sin α＝sin 50°，
又因为α为锐角，所以α＝50°.
50°
例5　已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋.若f 则sin 2α的值
为　　　　.
三角恒等变换的综合应用
题型三
－
f(x)＝sin 2x－·sin 2x－cos 2x＝sin.
因为f
所以sin所以sin
sin 2α＝sin＝cos 2
＝1－2sin2＝1－2×＝－.
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
思维升华
跟踪训练3　已知f(x)＝sin xsin则f(x)的值域为　　　　　.
因为f(x)＝sin xsin
＝sin x
＝sin2x＋sin xcos x－
＝×sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝sin
所以－≤f(x)≤.
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课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A B B C ABD CD
题号 9 10 13 14 答案 C 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)原式=
=·
=·=.
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)原式===
==cos 2x.
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)扇形空地面积S=×6002×=120 000π(m2).
(2)如图，记的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，
设∠FOG=α，则EF=2OFsin α，
CF=MN=OM-ON=OM-
=OFcos α-.
12.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
所以矩形面积S1=EF·CF=2OFsin α·
=6002×=6002×
=360 000
=360 000.
所以当α=30°时，矩形场地CDEF的面积取得最大值，
且最大值为120 000 m2.
12.
一、单项选择题
1.(2025·大连模拟)设θ∈若cos θ＝则sin 2θ等于
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
因为θ∈cos θ＝
所以sin θ＝
则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.的值等于
A.－2 B.2 C.－1 D.1
√
原式＝＝2.
3.化简等于
A.1 B.－1 C.cos α D.－sin α
√
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原式＝＝
＝＝1.
答案
4.(2024·齐齐哈尔模拟)已知cos则sin等于
A.－ B. C. D.－
√
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答案
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∵cos
可得sin＝－cos
＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×.
答案
5.(2024·福州模拟)若θ∈tan 2θ＝则cos θ等于
A.－ B.－ C. D.
√
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答案
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因为tan 2θ＝θ∈
所以4sin θ－2sin2θ＝3－6sin2θ，
即4sin2θ＋4sin θ－3＝0，
解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)，
又因为θ∈
所以cos θ＝－＝－.
答案
6.已知<θ<若a＝b＝cos 2θ，c＝－cos θ，则a，b，c的大小关系是
A.c>a>b B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
√
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答案
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a＝＝sin θcos θ，
b＝(1－cos 2θ)＝sin2θ，
c＝－cos θ＝＝sin θtan θ，
又<θ<则sin θ∈
且tan θ>1>sin θ>>cos θ>
所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sin θcos θ.
答案
二、多项选择题
7.(2025·中山模拟)下列选项中，与sin的值相等的是
A.2sin 15°cos 15°
B.cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°
C.2cos215°－1
D.
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√
答案
√
√
根据题意，可得
sin＝sin＝sin .
因为2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝故A项正确；
因为cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝故B项正确；
因为2cos215°－1＝cos 30°＝故C项不正确；
因为＝tan 45°＝1，所以故D项正确.
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答案
8.已知函数f(x)＝sin2若a＝f(lg 5)，b＝f 则
A.a＋b＝0 B.a－b＝0
C.a＋b＝1 D.a－b＝sin(2lg 5)
√
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答案
√
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由题意可得f(x)＝sin2＝.
因为a＝f(lg 5)，b＝f＝f(－lg 5)，
所以a＋b＝＝1，
a－b＝＝sin(2lg 5).
答案
三、填空题
9.已知sin则sin 2α＝　　　.
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答案
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答案
sin＝－sin
所以sin＝－
所以sin 2α＝cos
＝cos 2＝1－2sin2
＝1－2×.
10.已知α，β均为锐角，cos α＝sin β＝则cos 2α＝　　 ，2α－
β＝　　　.
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答案
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因为cos α＝
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝
所以sin α＝cos β＝
因此sin 2α＝2sin αcos α＝
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝××.
答案
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因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<
又β为锐角，所以－<2α－β<
又sin(2α－β)＝所以2α－β＝.
答案
四、解答题
11.化简：
(1)；
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答案
原式＝＝·
＝·.
(2).
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答案
原式＝＝
＝cos 2x.
12.某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园.经过测量，扇形空地的半径为600 m，∠AOB＝120°.在其中
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答案
扇形空地面积S＝×6002×＝120 000π(m2).
圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且OC＝OD.
(1)求扇形空地的面积；
(2)求矩形场地CDEF的最大面积.
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答案
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答案
如图，记的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，
设∠FOG＝α，
则EF＝2OFsin α，
CF＝MN＝OM－ON＝OM－
＝OFcos α－.
所以矩形面积S1＝EF·CF＝2OFsin α·
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答案
＝6002×
＝6002×
＝360 000
＝360 000.
所以当α＝30°时，矩形场地CDEF的面积取得最大值，
且最大值为120 000 m2.
13.(2025·湖北名校联盟联考)已知函数f(x)＝cos 2x＋cos 3x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零点x1，x2(x1A.∈{x1，x2} B.x2＝2x1
C.cos x1＋cos x2＝ D.cos x1cos x2＝
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答案
√
能力拓展
A，B选项，令f(x)＝0得cos 2x＝－cos 3x，故cos 2x＝cos(π－3x)或cos 2x＝cos(π
＋3x)，所以2x＝π－3x＋2k1π，k1∈Z或2x＝π＋3x＋2k2π，k2∈Z，解得x＝k1∈Z或x＝－π－2k2π，k2∈Z，由x∈(0，π)，故当k1＝0，1时，解得x1＝x2＝A，B错误；
C选项，cos x1＋cos x2＝cos＋cos＝2coscos
＝C正确；
D选项，因为cos>0，cos<0，所以cos x1cos x2＝coscos<0，D错误.
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答案
14.(2025·莆田模拟)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α＝sin(2α＋α)可求得sin 3α＝
______________(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°＝　　　　.
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答案
3sin α－4sin3α
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答案
sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α
＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin α
＝3sin α－4sin3α，
因为sin 72°＝sin 108°，
从而2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°，
即2cos 36°＝3－4sin236°＝3－4(1－cos236°)，
令cos 36°＝x>0，则4x2－2x－1＝0，
解得x＝或x＝(舍去).
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