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§4.5　三角函数的图象与性质
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.函数f(x)=的定义域为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
2.已知函数f(x)=cos，则f(x)在[-2，0]上(　　)
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
3.已知函数f(x)=2cos，设a=f，b=f ，c=f ，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
4.(2025·永州模拟)已知函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<2π)在区间上单调递增，则φ等于(　　)
A. B. C. D.π
5.(2024·商丘模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称，则f(x)在上的最小值为(　　)
A.-2 B.- C.-1 D.-
6.(2024·铜川模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10，0<φ<π)图象的一个对称中心是A，点B在f(x)的图象上，下列说法错误的是(　　)
A.f(x)=cos
B.直线x=是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在上单调递减
D.f 是奇函数
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
8.(2025·岳阳模拟)若函数f(x)=sin
(ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x=对称，则下列说法正确的是(　　)
A.f(0)=
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在区间(0，π)上有2个极值点
D.f(x)在区间上单调递增
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数y=的定义域为　　　 　　　　　　　　　　　　　.
10.函数f(x)=-2cos2x+2sin x+3，x∈的值域为　　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知f(x)=sin.
(1)求函数y=的最小正周期；(6分)(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.(7分)
12.(14分)已知函数f(x)=asin-2cos2(a>0)，且满足　　　　.
从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π；③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面　　　　　　中并作答下列问题.
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；(6分)
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围.(8分)
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)已知函数f(x)=sin |x|-cos 2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)为偶函数 B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的最小值为- D.f(x)的最大值为2
14.已知函数满足：①f(3-x)=-f(x)；②f(x)=f(1-x)；③函数f(x)在上单调递减.
写出一个同时具有以上性质①②③的函数：　　　　　　　　　　　　　　　　.
答案精析
1.A　2.D
3.A　[a=f=2cos
b=f =2cos
c=f =2cos
因为y=cos x在[0，π]上单调递减，
又0<<<<π，
所以a>b>c.]
4.D　[根据题意，函数f(x)=sin(3x+φ)，其周期T=
又由f(x)在区间上单调递增，
而-=
必有3×+φ=2kπ-且3×+φ=2kπ+k∈Z，
变形可得φ=2kπ-π，k∈Z，
又由0<φ<2π，必有k=1，
此时φ=π.]
5.A　[因为函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称，
所以2×+φ=kπ+(k∈Z)，
解得φ=kπ+(k∈Z)，
又0<φ<所以当k=0时，φ=
所以f(x)=2sin
因为x∈
所以2x+∈
所以当2x+=即x=时，f(x)在上的最小值为-2.]
6.B　[因为点B在f(x)的图象上，
所以f(0)=cos φ=.
又0<φ<π，所以φ=因为f(x)图象的一个对称中心是A
所以+=+kπ，k∈Z，
则ω=2+8k，k∈Z.
又0<ω<10，所以ω=2，
则f(x)=cosA正确；
f =cos =0，
则直线x=不是f(x)图象的一条对称轴，B不正确；
当x∈时，2x+∈[2π，3π]，f(x)单调递减，C正确；
f =cos=-sin 2x，是奇函数，D正确.]
7.BC　[A选项，令f(x)=sin 2x=0，
解得x=k∈Z，即为f(x)的零点，
令g(x)=sin=0，
解得x=+k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误；
B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+k∈Z，
解得x=+k∈Z，
g(x)的对称轴满足2x-=kπ+k∈Z，
解得x=+k∈Z，
显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误.]
8.ABC　[因为函数f(x)=sin
(ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x=对称，
可得ω·+=+kπ，k∈Z，
解得ω=2+6k，k∈Z，
又ω∈N*，且ω≤6，所以ω=2，
即f(x)=sin.
A中，f(0)=sin =所以A正确；
B中，因为2×+=π，所以f(x)的图象关于点对称，所以B正确；
C中，因为x∈(0，π)，
所以2x+∈
令2x+=解得x=
令2x+=解得x=
所以极值点为所以C正确；
D中，因为x∈所以2x+∈则函数不单调，所以D不正确.]
9.
解析　要使函数有意义，
则
即
故函数的定义域为
.
10.
解析　f(x)=-2cos2x+2sin x+3
=-2(1-sin2x)+2sin x+3
=2sin2x+2sin x+1
=2+.
因为x∈所以≤sin x≤1.
当sin x=1时，f(x)max=5；
当sin x=时，f(x)min=.
所以函数f(x)的值域为.
11.解　(1)因为f(x)
=sin
所以f
=sin
=sin
=-sin 2x-cos 2x，
所以y=
=(-sin 2x-cos 2x)2=1+sin 4x，
所以函数y=的最小正周期T==.
(2)当x∈时，
≤2x+≤
所以-1≤sin≤
所以-≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为-.
12.解　(1)函数f(x)
=asin-2cos2
=asin-cos-1
=asin
-cos-1
=asin+sin-1
=(a+1)sin-1.
若选择条件①f(x)的最大值为1，
则a+1=2，解得a=1，
所以f(x)=2sin-1，
则函数f(x)的最小正周期T==π.
若选择条件②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π，
且f(x)的最小正周期T==π，
所以-(a+1)-1=-3，解得a=1，
所以f(x)=2sin-1.
若选择条件③f(x)的图象过点
则f =(a+1)sin-1=0，解得a=1.
所以f(x)=2sin-1，
则函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)令f(x)=1，得sin=1，
则2x-=+2kπ，k∈Z，
即x=+kπ，k∈Z.
若关于x的方程f(x)=1在区间[0，m]上有两个不同解，则x=或x=
所以实数m的取值范围是.
13.ACD　[因为f(-x)=sin |-x|-cos(-2x)=sin |x|-cos 2x=f(x)，所以f(x)是偶函数，则A正确；
若f(x)的最小正周期为π，则f(x+π)=f(x)恒成立，即sin |x+π|-cos 2(x+π)=sin |x|-cos 2x，即sin |x+π|=sin |x|恒成立，而当x=时，sin ≠sin 所以“f(x)的最小正周期为π”是错误的，则B错误；
由f(x)是偶函数，只需考虑x≥0时的最值即可，当x≥0时，f(x)=sin x-cos 2x=2sin2x+sin x-1=2-因为sin x的值域为[-1，1]，所以f(x)的值域为则C，D正确.]
14.f(x)=2sin(答案不唯一)
解析　对于①，若f(3-x)=-f(x)，则f(x)的图象关于点对称，
对于②，若f(x)=f(1-x)，则f(x)的图象关于直线x=对称，
设f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)，
则T=4×=4，ω=
又f(x)的图象关于直线x=对称，
且函数f(x)在上单调递减，
则+φ=+2kπ，k∈Z，
得φ=+2kπ，k∈Z.
所以可令f(x)=2sin(答案不唯一).§4.5　三角函数的图象与性质
课标要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质及正切函数在上的性质.
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，　　　　　　，　　　　　　　，(2π，0).
(2)在余弦函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，　　　　　　，　　　　　　　，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R
值域
最小正周期
奇偶性 奇函数
单调递增区间
单调递减区间
对称中心
对称轴方程
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=sin x，x∈[0，2π]，y=cos x，x∈[0，2π]的五个关键点是零点和极值点.(　　)
(2)函数y=cos x在第一、二象限内单调递减.(　　)
(3)函数y=sin x图象的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z).(　　)
(4)y=cos(-x)与y=cos |x|的图象相同.(　　)
2.(多选)已知函数f(x)=sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上单调递增
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
3.函数y=tan的单调区间为　　　　　　.
4.函数y=cos，x∈的值域是　　　　　　.
1.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论
(1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ+(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
(3)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ+(k∈Z).
2.谨防两个易误点
(1)要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆.
(2)对于y=tan x，是在每个区间(k∈Z)上单调递增，不能认为其在定义域上为增函数.
　　　　　 　　　　　　　　　　
题型一　三角函数的定义域和值域
例1　(1)函数y=的定义域为　　　　　　　　　　　　.
(2)函数f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+2的值域为　　　　　　.
思维升华　(1)三角函数有关定义域的求法：根据函数解析式的特征列出与三角函数有关的不等式，借助三角函数性质及图象求解，与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域.
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.
②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
跟踪训练1　(1)函数y=tan的值域为(　　)
A.[-1，1] B.(-∞，-1]∪[1，+∞)
C.(-∞，1] D.[-1，+∞)
(2)若函数f(x)=4sin x-2cos 2x+m在R上的最大值是3，则实数m等于(　　)
A.-6 B.-5
C.-3 D.-2
题型二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性
例2　(1)(多选)(2024·淄博模拟)已知函数f(x)=sin+1，则下列结论中正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期T=π
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数f(x)的图象关于直线x=对称
D.函数f(x)在区间[0，2π]上有4个零点
(2)(2025·西安模拟)已知函数f(x)=cos(x+φ)，则“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
思维升华　(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.
(2)周期的计算方法：利用函数y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的周期为，函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期为求解.
(3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数，令ωx+φ=+kπ或ωx+φ=kπ(k∈Z).
跟踪训练2　(1)(多选)(2024·黄山模拟)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则(　　)
A.ω=2
B.函数f(x)为奇函数
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
(2)(2025·广州模拟)若函数f(x)=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于(　　)
A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(2k+1)π(k∈Z)
题型三　三角函数的单调性
命题点1　求三角函数的单调区间
例3　函数f(x)=sin的单调递减区间为　　　　　　，在[0，π]上的单调递减区间为　　　　　　.
命题点2　根据单调性求参数
例4　(2025·广州模拟)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间[a，b]上单调递减，且f(a)=1，f(b)=-1，b-a=，则ω等于(　　)
A. B.1 C. D.2
思维升华　(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
跟踪训练3　(1)下列区间中，函数f(x)=-2sin单调递增的是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若f(x)在(-m，m)上单调递增，则正数m的取值范围是　　　　　　.
答案精析
落实主干知识
1.(1)(π，0)　
(2)(π，-1)　
2.　[-1，1]　[-1，1]　R
2π　2π　π　奇函数　偶函数
　[2kπ-π，2kπ]
　[2kπ，2kπ+π]
(kπ，0)　
x=kπ+　x=kπ
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.ABC　3.(k∈Z)
4.
探究核心题型
例1　(1)(k∈Z)
解析　方法一　要使函数有意义，必须使sin x-cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y=sin x和y=cos x的图象，如图所示.
在[0，2π]内，满足sin x=cos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z).
方法二　要使函数y=有意义，
则sin x-cos x≥0，
即sin≥0，
即2kπ≤x-≤2kπ+π(k∈Z)，
解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z)，
即原函数的定义域为
(k∈Z).
(2)
解析　设sin x+cos x
=sin=t，t∈[-]，
则2sin xcos x=t2-1，
则由函数f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+2，可知y=t2+t+1=+，t∈[-]，
当t=-时，ymin=；当t=时，ymax=3+.
因此函数的值域为.
跟踪训练1　(1)B　[因为-≤x≤且x≠0，
所以≤-x≤且-x≠，
所以函数y=tan的值域为(-∞，-1]∪[1，+∞).]
(2)C　[因为f(x)=4sin x-2(1-2sin2x)+m=4sin2x+4sin x+m-2=(2sin x+1)2+m-3，
当sin x=1时，函数取到最大值，即(2+1)2+m-3=3，解得m=-3.]
例2　(1)AC　[∵f(x)=sin+1，
∴f(x)的最小正周期T==π，A正确；
∵sin=0，∴函数f(x)的图象关于点对称，B错误；
又sin=1，∴函数f(x)的图象关于直线x=对称，C正确；
令f(x)=0得sin=-1，
∴2x-=-+2kπ，k∈Z，
∴x=-+kπ，k∈Z，
又x∈[0，2π]，∴x=，
∴f(x)在[0，2π]内有2个零点，D错误.]
(2)C　[由题意可知，f(x)的定义域为R，
若f(0)=cos φ=0，
可得φ=+kπ，k∈Z，
若k为偶数，则
f(x)=cos
=cos=-sin x为奇函数；
若k为奇数，
则f(x)=cos
=-cos=sin x为奇函数，
即充分性成立；
若f(x)为奇函数，则f(0)=0，即必要性成立.
综上所述，“f(0)=0”是“f(x)为奇函数”的充要条件.]
跟踪训练2　(1)AC　[f(x)=sin ωx-cos ωx=2
=2sin，
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
所以T=，则T=π，
所以T==π，解得ω=2，
所以f(x)=2sin，故A正确；
显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；
对于C选项，
f =2sin
=2sin(-π)=0，
所以函数f(x)的图象关于点对称，故C正确；
对于D选项，
f =2sin
=2sin=-1，
所以函数f(x)的图象不关于直线x=对称，故D错误.]
(2)C　[若0在定义域内，由x=0时，y=0，得φ=kπ(k∈Z)；
若0不在定义域内，由x=0时，tan φ无意义，得φ=kπ+(k∈Z).
综上，φ=(k∈Z).]
例3　，k∈Z
和
解析　f(x)=sin的单调递减区间是g(x)=sin的单调递增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为，k∈Z.
令A=，k∈Z，
B=[0，π]，
∴A∩B=∪，
∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
例4　C　[由函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin，
因为f(a)=1，f(b)=-1，
所以sin=，
sin=-，
又f(x)在区间[a，b]上单调递减，ω>0，
所以ωa+=+2kπ，k∈Z，
ωb+=+2kπ，k∈Z，
两式相减，可得ω(b-a)=，
因为b-a=，
所以ω=.]
跟踪训练3　(1)B　[当x∈时，x-∈，函数f(x)单调递减，故A不满足题意；
当x∈时，x-∈，函数f(x)单调递增，故B满足题意；
当x∈时，x-∈，函数f(x)在上不单调，故C不满足题意；
当x∈时，x-∈，函数f(x)在上不单调，故D不满足题意.]
(2)
解析　因为函数f(x)=sin
(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以×=，解得ω=2，
即f(x)=sin，
因为f(x)在(-m，m)上单调递增，且m>0，
所以函数f(x)=sin的单调递增区间包含0，
令-≤2x-≤，
得-≤x≤，
所以(-m，m) ，
所以
故m的取值范围为.(共84张PPT)
第四章
§4.5　三角函数的图象与性质
数学
大
一
轮
复
习
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质及正切函数在上的性质.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0) ， ，(2π，0).
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)
， ，(2π，1).
(π，0)
(π，－1)
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
______________
值域 ________ ________ ____
最小正周期 ____ ____ ___
[－1，1]
[－1，1]
R
2π
2π
π
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
奇偶性 _______ _______ 奇函数
单调递增区间 ___________________ ____________
_________________
单调递减区间 ___________________ _____________
对称中心 ________ ____________
对称轴方程 __________ _______
奇函数
偶函数
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
(kπ，0)
x＝kπ＋
x＝kπ
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点是零点和极值点.(　　)
(2)函数y＝cos x在第一、二象限内单调递减. (　　)
(3)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z).(　　)
(4)y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同. (　　)
×
×
×
√
2.(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上单调递增
C.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D.函数f(x)是奇函数
√
√
√
由题意得f(x)＝－cos x，
对于A，T＝＝2π，故A正确；
对于B，因为y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在上单调
递增，故B正确；
对于C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C正确，D错误.
3.函数y＝tan的单调区间为　　　　　　 .
由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，得所以y＝tan的单调区间为(k∈Z).
(k∈Z)
4.函数y＝cosx∈的值域是　　　　　　.
由x∈得x＋∈
所以y＝cos的值域为.
1.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论
(1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期.
(2)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z).
(3)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z).
微点提醒
2.谨防两个易误点
(1)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆.
(2)对于y＝tan x，是在每个区间(k∈Z)上单调递增，不能认为其在定义域上为增函数.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)函数y＝的定义域为　　　　　　　　　 　　.
三角函数的定义域和值域
题型一
(k∈Z)
方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z).
方法二　要使函数y＝有意义，
则sin x－cos x≥0，即sin≥0，
即2kπ≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
即原函数的定义域为(k∈Z).
(2)函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的值域为　　　 　　　.
设sin x＋cos x＝sin＝t，t∈[－]，则2sin xcos x＝t2－1，
则由函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2，可知y＝t2＋t＋1＝t∈[－]，
当t＝－时，ymin＝；当t＝时，ymax＝3＋.
因此函数的值域为.
(1)三角函数有关定义域的求法：根据函数解析式的特征列出与三角函数有关的不等式，借助三角函数性质及图象求解，与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域.
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.
②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
思维升华
跟踪训练1　(1)函数y＝tan的值域为
A.[－1，1] B.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C.(－∞，1] D.[－1，＋∞)
√
因为－≤x≤且x≠0，
所以≤－x≤且－x≠
所以函数y＝tan的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(2)若函数f(x)＝4sin x－2cos 2x＋m在R上的最大值是3，则实数m等于
A.－6 B.－5 C.－3 D.－2
√
因为f(x)＝4sin x－2(1－2sin2x)＋m＝4sin2x＋4sin x＋m－2＝(2sin x＋1)2＋m－3，
当sin x＝1时，函数取到最大值，即(2＋1)2＋m－3＝3，解得m＝－3.
例2　(1)(多选)(2024·淄博模拟)已知函数f(x)＝sin＋1，则下列结论中正确的是
A.函数f(x)的最小正周期T＝π
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D.函数f(x)在区间[0，2π]上有4个零点
三角函数的周期性、对称性与奇偶性
题型二
√
√
∵f(x)＝sin＋1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，A正确；
∵sin＝0，∴函数f(x)的图象关于点对称，B错误；
又sin＝1，∴函数f(x)的图象关于直线x＝对称，C正确；
令f(x)＝0得sin＝－1，
∴2x－＝－＋2kπ，k∈Z，
∴x＝－＋kπ，k∈Z，
又x∈[0，2π]，∴x＝
∴f(x)在[0，2π]内有2个零点，D错误.
(2)(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝cos(x＋φ)，则“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
由题意可知，f(x)的定义域为R，
若f(0)＝cos φ＝0，可得φ＝＋kπ，k∈Z，
若k为偶数，则f(x)＝cos＝cos＝－sin x为奇函数；
若k为奇数，则f(x)＝cos＝－cos＝sin x为奇函数，
即充分性成立；
若f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即必要性成立.
综上所述，“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的充要条件.
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式.
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解.
(3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，令ωx＋φ＝＋kπ或ωx＋φ＝kπ(k∈Z).
思维升华
跟踪训练2　(1)(多选)(2024·黄山模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx (ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为则
A.ω＝2
B.函数f(x)为奇函数
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
√
√
f(x)＝sin ωx－cos ωx
＝2＝2sin
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为
所以T＝则T＝π，
所以T＝＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝2sin故A正确；
显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；
对于C选项，f ＝2sin
＝2sin(－π)＝0，
所以函数f(x)的图象关于点对称，故C正确；
对于D选项，f ＝2sin＝2sin＝－1，
所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故D错误.
(2)(2025·广州模拟)若函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于
A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈Z)
若0在定义域内，由x＝0时，y＝0，得φ＝kπ(k∈Z)；
若0不在定义域内，由x＝0时，tan φ无意义，得φ＝kπ＋(k∈Z).
综上，φ＝(k∈Z).
√
例3　函数f(x)＝sin的单调递减区间为　　　　 　　，
在[0，π]上的单调递减区间为　　　 　　　.
命题点1　求三角函数的单调区间
三角函数的单调性
题型三
k∈Z
f(x)＝sin的单调递减区间是g(x)＝sin的单调递增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为k∈Z.
令A＝k∈Z，B＝[0，π]，
∴A∩B＝∪
∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
例4　(2025·广州模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间[a，b]上单调递减，且f(a)＝1，f(b)＝－1，b－a＝则ω等于
A. B.1 C. D.2
命题点2　根据单调性求参数
√
由函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin
因为f(a)＝1，f(b)＝－1，所以sinsin＝－
又f(x)在区间[a，b]上单调递减，ω>0，
所以ωa＋＋2kπ，k∈Z，ωb＋＋2kπ，k∈Z，
两式相减，可得ω(b－a)＝因为b－a＝
所以ω＝.
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
思维升华
跟踪训练3　(1)下列区间中，函数f(x)＝－2sin单调递增的是
A. B.
C. D.
√
当x∈时，x－∈函数f(x)单调递减，故A不满足题意；
当x∈时，x－∈函数f(x)单调递增，故B满足题意；
当x∈时，x－∈函数f(x)在上不单调，故C不满足题意；
当x∈时，x－∈函数f(x)在上不单调，故D不满足题意.
(2)(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为若f(x)在(－m，m)上单调递增，则正数m的取值
范围是　　　　　.
因为函数f(x)＝sin(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为
所以×解得ω＝2，
即f(x)＝sin
因为f(x)在(－m，m)上单调递增，且m>0，
所以函数f(x)＝sin的单调递增区间包含0，
令－≤2x－≤得－≤x≤
所以(－m，m)
所以故m的取值范围为.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A D A B BC ABC
题号 9 10 13 14
答案 ACD f(x)=2sin (答案不唯一)
答案
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(1)因为f(x)=sin
所以f=sin=sin=-sin 2x-cos 2x，
所以y==(-sin 2x-cos 2x)2=1+sin 4x，
所以函数y=的最小正周期T==.
11.
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(2)当x∈时，
≤2x+≤
所以-1≤sin≤
所以-≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为-.
11.
答案
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(1)函数f(x)=asin-2cos2=asin-cos-1
=asin-cos-1=asin+sin-1
=(a+1)sin-1.
若选择条件①f(x)的最大值为1，
则a+1=2，解得a=1，
所以f(x)=2sin-1，
12.
答案
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则函数f(x)的最小正周期T==π.
若选择条件②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π，
且f(x)的最小正周期T==π，
所以-(a+1)-1=-3，解得a=1，
所以f(x)=2sin-1.
若选择条件③f(x)的图象过点
12.
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则f =(a+1)sin-1=0，解得a=1.
所以f(x)=2sin-1，
则函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)令f(x)=1，得sin=1，
则2x-=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z.
12.
答案
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若关于x的方程f(x)=1在区间[0，m]上有两个不同解，则x=或x=
所以实数m的取值范围是.
12.
一、单项选择题
1.函数f(x)＝的定义域为
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
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知识过关
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答案
由题意，函数f(x)＝有意义，
则满足－2cos x－1≥0，
即cos x≤－
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为(k∈Z).
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答案
2.已知函数f(x)＝cos则f(x)在[－2，0]上
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
√
∵x∈[－2，0]，∴2x－∈
∵－<－4－<－π<－<0，
∴函数f(x)＝cos在[－2，0]上先减后增.
3.已知函数f(x)＝2cos设a＝f b＝f c＝f 则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
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答案
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14
a＝f ＝2cos
b＝f ＝2cos
c＝f ＝2cos
因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，
又0<<<<π，
所以a>b>c.
答案
4.(2025·永州模拟)已知函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0<φ<2π)在区间上单调递增，则φ等于
A. B. C. D.π
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根据题意，函数f(x)＝sin(3x＋φ)，其周期T＝
又由f(x)在区间上单调递增，
而
必有3×＋φ＝2kπ－且3×＋φ＝2kπ＋k∈Z，
变形可得φ＝2kπ－π，k∈Z，
又由0<φ<2π，必有k＝1，此时φ＝π.
答案
5.(2024·商丘模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则f(x)在上的最小值为
A.－2 B.－ C.－1 D.－
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因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋(k∈Z)，
又0<φ<所以当k＝0时，φ＝
所以f(x)＝2sin
因为x∈所以2x＋∈
所以当2x＋即x＝时，f(x)在上的最小值为－2.
答案
6.(2024·铜川模拟)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(0<ω<10，0<φ<π)图象的一个对称中心是A点B在f(x)的图象上，下列说法错误的是
A.f(x)＝cos
B.直线x＝是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在上单调递减
D.f 是奇函数
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因为点B在f(x)的图象上，所以f(0)＝cos φ＝.
又0<φ<π，所以φ＝
因为f(x)图象的一个对称中心是A
所以＋kπ，k∈Z，
则ω＝2＋8k，k∈Z.
又0<ω<10，所以ω＝2，
则f(x)＝cosA正确；
答案
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f ＝cos ＝0，
则直线x＝不是f(x)图象的一条对称轴，B不正确；
当x∈时，2x＋∈[2π，3π]，f(x)单调递减，C正确；
f ＝cos＝－sin 2x，是奇函数，D正确.
答案
二、多项选择题
7.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin下列说法中正确的有
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
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A选项，令f(x)＝sin 2x＝0，
解得x＝k∈Z，即为f(x)的零点，
令g(x)＝sin＝0，
解得x＝k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误；
B选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确；
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答案
D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋k∈Z，
解得x＝k∈Z，
g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋k∈Z，
解得x＝k∈Z，
显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误.
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8.(2025·岳阳模拟)若函数f(x)＝sin(ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x＝对称，则下列说法正确的是
A.f(0)＝
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在区间(0，π)上有2个极值点
D.f(x)在区间上单调递增
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因为函数f(x)＝sin(ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x＝对称，
可得ω·＋kπ，k∈Z，
解得ω＝2＋6k，k∈Z，
又ω∈N*，且ω≤6，所以ω＝2，即f(x)＝sin.
A中，f(0)＝sin 所以A正确；
B中，因为2×＝π，所以f(x)的图象关于点对称，所以B正确；
答案
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C中，因为x∈(0，π)，所以2x＋∈
令2x＋解得x＝
令2x＋解得x＝
所以极值点为所以C正确；
D中，因为x∈所以2x＋∈则函数不单调，所以D不正确.
答案
三、填空题
9.函数y＝的定义域为　　　 　　　.
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答案
要使函数有意义，则
即
故函数的定义域为.
10.函数f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈的值域为　　　　　.
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f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3
＝2sin2x＋2sin x＋1＝2.
因为x∈所以≤sin x≤1.
当sin x＝1时，f(x)max＝5；
当sin x＝时，f(x)min＝.
所以函数f(x)的值域为.
答案
四、解答题
11.已知f(x)＝sin.
(1)求函数y＝的最小正周期；
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答案
因为f(x)＝sin
所以fsin
＝sin
＝－sin 2x－cos 2x，
所以y＝＝(－sin 2x－cos 2x)2＝1＋sin 4x，
所以函数y＝的最小正周期T＝.
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.
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答案
当x∈时≤2x＋≤
所以－1≤sin≤
所以－≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
12.已知函数f(x)＝asin－2cos2(a>0)，且满足　　　　.
从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面__________中并作答下列问题.
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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答案
函数f(x)＝asin－2cos2
＝asin－cos－1
＝asin－cos－1
＝asin＋sin－1
＝(a＋1)sin－1.
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答案
若选择条件①f(x)的最大值为1，
则a＋1＝2，解得a＝1，
所以f(x)＝2sin－1，
则函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π，
且f(x)的最小正周期T＝＝π，
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答案
所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1，
所以f(x)＝2sin－1.
若选择条件③f(x)的图象过点
则f ＝(a＋1)sin－1＝0，解得a＝1.
所以f(x)＝2sin－1，
则函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
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答案
(2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围.
令f(x)＝1，得sin＝1，
则2x－＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z.
若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或x＝
所以实数m的取值范围是.
13.(多选)已知函数f(x)＝sin |x|－cos 2x，则下列结论正确的是
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的最小值为－
D.f(x)的最大值为2
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答案
√
能力拓展
√
√
因为f(－x)＝sin |－x|－cos(－2x)＝sin |x|－cos 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，则A正确；
若f(x)的最小正周期为π，则f(x＋π)＝f(x)恒成立，即sin |x＋π|－cos 2(x＋π)
＝sin |x|－cos 2x，即sin |x＋π|＝sin |x|恒成立，而当x＝时，sin ≠
sin 所以“f(x)的最小正周期为π”是错误的，则B错误；
由f(x)是偶函数，只需考虑x≥0时的最值即可，当x≥0时，f(x)＝sin x－
cos 2x＝2sin2x＋sin x－1＝2因为sin x的值域为[－1，1]，所以f(x)的值域为则C，D正确.
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答案
14.已知函数满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在
上单调递减.
写出一个同时具有以上性质①②③的函数：_________________________
_________.
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f(x)＝2sin(答案
答案
不唯一)
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答案
对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点对称，
对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称，
设f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)，
则T＝4×＝4，ω＝
又f(x)的图象关于直线x＝对称，
且函数f(x)在上单调递减，
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答案
则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z.
所以可令f(x)＝2sin(答案不唯一).
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