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§4.6　函数y=Asin(ωx+φ)
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.用“五点法”作y=2cos x-1在[0，2π]上的图象时，应取的五点为(　　)
A.(0，1)，，(π，-1)，，(2π，1)
B.(0，1)，，(π，-3)，，(2π，1)
C.(0，1)，(π，-3)，(2π，1)，(3π，-3)，(4π，1)
D.(0，1)，
2.将函数f(x)=cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是(　　)
A. B.π C.2π D.4π
3.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
4.(2024·佛山模拟)若函数f(x)=sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)=cos 2x的图象重合，则m的值可以为(　　)
A. B. C. D.
5.(2025·广州模拟)如图，直线y=1与函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的三个相邻的交点分别为B，C，D，且BC=π，CD=2π，则f(x)等于(　　)
A.2sin B.2sin
C.sin D.sin
6.(2025·包头模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图象关于点对称，则f(x)在区间上的最小值为(　　)
A.- B.-1 C.-2 D.0
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·昆明模拟)为得到函数y=6sin的图象，只需要将函数y=6sin 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
8.(2024·曲靖模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A.f(0)=-1
B.函数f(x)的最小正周期是2π
C.函数f(x)的图象关于直线x=对称
D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.将函数f(x)=sin的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ=　　　　.
10.摩天轮的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面42 m(即OM长)，摩天轮的半径长为40 m，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈.摩天轮上悬挂吊舱，点M为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有AM=BP=2 m，则点P距离地面的高度h为　　　　　　　m.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是π，且当x=时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；(4分)(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(4分)
(3)函数f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到？(5分)
12.(14分)降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声(如图所示).已知某噪声的声波曲线是f(x)=Asin(A>0，0≤φ<π)，其中振幅为2，且经过点(1，-2).
(1)求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；(6分)
(2)先将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数h(x)的图象.若锐角θ满足h(θ)=-，求sin 2θ的值.(8分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)(2024·泉州模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)是偶函数，将f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象.若曲线y=g(x)的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则(　　)
A.ω=2 B.g(x)的图象关于直线x=-对称
C.g(x)的图象关于点对称 D.若f(π)=-2，则g(x)在区间[0，π]上的最大值为
14.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，圆C与f(x)图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为　　　　　　.
答案精析
1.B　[∵y=2cos x-1，∴最小正周期T=2π.由“五点法”作图可知，应描出的五个点的横坐标分别是0π2π.代入解析式可得点的坐标分别为(0，1)(π，-3)(2π，1)，故B正确.]
2.B　[方法一　由题意得g(x)
=cos=cos
所以T==π.
方法二　原函数f(x)=cos的最小正周期为将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后最小正周期变为×2=π.]
3.C　[因为函数y=sin x的最小正周期T=2π，
函数y=2sin的最小正周期T1=所以在[0，2π]上，函数y=2sin有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点.]
4.D　[由题可得f(x+m)=
sin的图象与函数g(x)=cos 2x的图象重合，
则f(m)=sin=g(0)=1，
即2m+=+2kπ，k∈Z，
解得m=+kπ，k∈Z，故m的值可以为.]
5.A　[方法一　因为BC=π，CD=2π，
所以相邻两对称轴间的距离为+π=
即最小正周期T=3π，
所以ω==
又因为点在f(x)的图象上，
所以Asin=0，
即sin=0，
结合图象可知φ-=2kπ，k∈Z，
所以φ=+2kπ，k∈Z，
又|φ|<所以φ=.
易知点C的横坐标为-++=
则C
所以Asin=1，则A=2，
所以f(x)=2sin.
方法二　因为BC=π，CD=2π，所以相邻两对称轴间的距离为+π=即最小正周期T=3π，所以ω==排除B，D；
当x=0时，代入f(x)=2sin可得f(0)=>1，满足题意，代入f(x)=sin可得f(0)=×=1，不符合题意，故A正确，C错误.]
6.B　[∵f(x)=Asin(ωx+φ)的最大值为2，∴A=2，
又f(x)的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为
∴==∴ω=2，
∴f(x)=2sin(2x+φ).
又f(x)的图象关于点对称，
∴2×+φ=kπ(k∈Z)，
∴φ=kπ+(k∈Z)，
又|φ|<∴φ=
∴f(x)=2sin
又x∈
∴2x+∈
∴f(x)=2sin的值域为[-1，2].∴f(x)在区间上的最小值为-1.]
7.ACD　[A中，向左平移个单位长度，可得y=6sin=6sin的图象，A正确；
B中，向左平移个单位长度，可得y=6sin=6sin的图象，B不正确；
C中，向右平移个单位长度，可得y=6sin=6sin=6sin=6sin的图象，C正确；
D中，向右平移个单位长度，可得y=6sin=6sin=6sin=6sin的图象，D正确.]
8.AC　[根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可得A=2×=+解得ω=2，又f=-2，可得2×+φ=-+2kπ，k∈Z，
又|φ|≤解得φ=-
所以f(x)=2sin可得f(0)=2sin=-1，故A正确；
可得f(x)的最小正周期为=π，故B不正确；
令x=则f =2sin=2，为最大值，可得函数f(x)的图象关于直线x=对称，故C正确；
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得y=2sin的图象，可得所得的函数图象不关于原点对称，故D错误.]
9.
解析　将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)
=sin的图象，
因为函数g(x)是奇函数，
所以g(0)=sin=0，
则2φ-=kπ，k∈Z，
则φ=+k∈Z，
因为0<φ<所以φ=.
10.20
解析　以M为坐标原点，MO所在直线为y轴，与MO垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示，
设点B的方程为y=Asin(ωt+φ)+k，
依题意得
解得
又因为T=12=
所以ω=
此时y=40sin+42，
又当t=0时，y=2，
所以40sin φ+42=2，
sin φ=-1，φ=-
所以y=40sin+42
=-40cos t+42，
所以当t=10时，
y=-40cos+42=22，
所以点P距离地面的高度h=22-2=20(m).
11.解　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω=2.
又因为当x=时，f(x)取得最大值2，所以A=2，
同时2×+φ=2kπ+k∈Z，
即φ=2kπ+k∈Z，
因为-<φ<所以φ=
所以f(x)=2sin.
(2)因为x∈[0，π]，
所以2x+∈.
列表如下：
2x+ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 -2 0 1
描点、连线得图象如图所示，
(3)将y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，再将y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象，再将y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)=2sin的图象.
12.解　(1)由已知可得A=2，
由f(1)=2sin=-2，
可得sin=-1，
所以+φ=+2kπ(k∈Z)，
得φ=+2kπ(k∈Z)，
因为0≤φ<π，则φ=
故f(x)=2sin
g(x)=-f(x)=-2sin.
(2)将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y=2sin的图象，再将所得函数图象向右平移个单位长度，可得函数h(x)的图象，则h(x)=2sin=2cos 2x，
因为h(θ)=2cos 2θ=-
则cos 2θ=-
因为0<θ<则0<2θ<π，
故sin 2θ==.
13.BCD　[函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)是偶函数，故φ=kπ+(k∈Z)，当k=0时，φ=当k=1时，φ=
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)=Asin的图象，
由于函数g(x)的两个相邻的对称中心的距离为2π，故T=4π=解得ω=1，故A错误；
所以函数f(x)=Asin(x+φ)=Acos x或f(x)=-Acos x，
g(x)=Asin
=Acos或
g(x)=-Acos
当x=-时，g=±A，故B正确；
当x=时，g=0，故函数g(x)的图象关于点对称，故C正确；
当f(π)=-2时，A=-2或A=2，
故f(x)=2cos x，
故g(x)=2cos当x∈[0，π]时x+∈函数在该区间上单调递减，故函数的最大值为g(0)=2×=
故g(x)在[0，π]上的最大值为故D正确.]
14.
解析　因为点M，N关于点C对称，
所以xC=×=
函数f(x)的最小正周期T满足=-解得T=π，
即=π，所以ω=2.
由图象可得f(x)的最大值点为
=
所以2×+φ=+2kπ，k∈Z，
结合0<φ<π，取k=0得φ=
则f(x)=sin.
因此可得OM=f(0)=sin =所以圆C的半径r===.§4.6　函数y=Asin(ωx+φ)
课标要求　1.结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
1.简谐运动的有关概念
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T=　　　 f==
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点
ωx+φ 0 π 2π
x
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为-A.(　　)
(2)将函数y=3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin.(　　)
(3)把y=sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为y=sin.(　　)
(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　　)
2.y=2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A.2，4π， B.2，
C.2，，- D.2，4π，-
3.将函数f(x)=3sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)=　　　　　　.
4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则点(ω，A)的坐标是　　　　　　.
1.熟记下列常用结论
(1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为.
(2)若直线x=a为正(余)弦型曲线的对称轴，则该函数一定在x=a处取得最值.
(3)函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.谨防两个易误点
(1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平移距离为个单位长度.
(2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的关系.
题型一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1　(1)(多选)为了得到函数f(x)=sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　)
A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
(2)(2025·西安模拟)将函数f(x)=2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则m的值可以是(　　)
A. B.π C. D.
思维升华　函数图象的平移变换解题策略
(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数.
(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=cos，cos α=sin将不同名函数转换成同名函数.
(3)无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是自变量x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
跟踪训练1　(1)(多选)要得到y=sin x的图象，可以将函数y=sin的图象上所有的点(　　)
A.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍
C.横坐标缩短到原来的，再把所得各点向右平移个单位长度
D.横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平移个单位长度
(2)(2024·延边州模拟)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A. B. C. D.
题型二　由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2　(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的一部分图象如图所示，则(　　)
A.f(x)=3sin+1
B.f(x)=2sin+2
C.f(x)=2sin+2
D.f(x)=2sin+2
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　.
思维升华　确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A=，b=.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω=.
(3)求φ.常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
跟踪训练2　(1)(2025·长沙模拟)如图是函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　)
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，图象与x轴的交点M，与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足NM⊥NP.则f(x)=　　　　　　　　.
题型三　三角函数图象、性质的综合应用
例3　(1)如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位：分钟)为(　　)
A. B.3 C. D.
(2)(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
思维升华　(1)求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程的根)的个数或零点的和的问题，常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.
(2)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)=cos，x∈，若方程f(x)=m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.
月份x 1 2 3 4
收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间的函数关系为　　　　　　　.
答案精析
落实主干知识
1.　ωx+φ　φ
3.|φ|　　A　　　A
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.C　3.3sin　4.(4，2)
探究核心题型
例1　(1)AC　[正弦曲线y=sin x先向右平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数f(x)=sin的图象，故A正确，B错误；
先将正弦曲线y=sin x上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=sin 2x的图象，再向右平移个单位长度，得到函数f(x)=sin的图象，故C正确，D错误.]
(2)D　[将函数f(x)=2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数y=2sin的图象，因为所得图象关于原点对称，所以2m-=kπ，k∈Z，解得m=+，k∈Z，当k=3时，m=+=.]
跟踪训练1　(1)BD　[要想得到y=sin x的图象，y=sin的图象上所有点的横坐标需扩大到原来的2倍，故排除A，C；将y=sin的图象上所有点先向左平移个单位长度，得到y=sin=sin 2x的图象，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y=sin x的图象，B正确；将y=sin的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y=sin的图象，再把所得各点向左平移个单位长度，得到y=sin x的图象，D正确.]
(2)C　[记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)=sin=sin.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω+=kπ+(k∈Z)，得ω=2k+(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin=.]
例2　(1)D　[根据题中图象知
所以A=2，b=2，
T=4×=π，
所以ω==2，
又函数图象经过最高点，
代入函数f(x)=2sin(2x+φ)+2得sin=1，
因为|φ|<，所以φ=，
所以f(x)=2sin+2.]
(2)-
解析　设A，B，
由|AB|=可得x2-x1=，
由sin x=可知，
x=+2kπ，k∈Z或x=+2kπ，k∈Z，
由图可知，ωx2+φ-(ωx1+φ)
=-=，
即ω(x2-x1)=，所以ω=4.
因为f(x)=sin(4x+φ)，
又f(x)过点，
所以+φ=2kπ，k∈Z，
即φ=-+2kπ，k∈Z.
取φ=-，
所以f(x)=sin，
所以f(π)=sin=-.
跟踪训练2　(1)C　[根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，可得A=2，T=×=-，解得ω=2，再将点代入可得2×+φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ=，
故y=2sin.]
(2)sin
解析　由题知，函数f(x)的最小正周期T满足=xM-xP=-1=，解得T=6，
所以ω==，
由图象与x轴的交点M，
得×+φ=π+2kπ(k∈Z)，
因为|φ|<，所以φ=，
即f(x)=Asin，
所以f(x)的图象与y轴的交点为N，
因为NM⊥NP，所以·=·=-=0，
解得A=-(舍去)或A=，
所以f(x)=sin.
例3　(1)C　[设f(t)=Asin(ωt+φ)+h，
依题意，A=20，h=25，T=10，
所以ω==，
又f(0)=5，所以φ=-.
所以f(t)=20sin+25
=25-20cos t.
依题意25-20cos t≥35，
所以cos t≤-，
又0≤t≤10，解得≤t≤，
则摩天轮转动一周内，有-=(分钟)会有最佳视觉效果.]
(2)C　[因为y=cos向左平移个单位长度所得函数为y=cos
=cos=-sin 2x，
所以f(x)=-sin 2x，而直线y=x-显然过与(1，0)两点，
作出y=f(x)与y=x-的大致图象如图所示，
考虑2x=-，2x=，2x=，
即x=-，x=，x=处f(x)与y=x-的大小关系，
当x=-时，
f =-sin=-1，
y=×-=-<-1；
当x=时，f=-sin=1，
y=×-=<1；
当x=时，f =-sin=1，
y=×-=>1.
所以由图可知，f(x)与y=x-的交点个数为3.]
跟踪训练3　(1)B　[因为x∈，
所以令t=2x-，
则t∈，
方程f(x)=m有两个不相等的实数根等价于函数y=cos t的图象与直线y=m有两个交点，函数y=cos t的图象与直线y=m的位置如图所示，
由图可得实数m的取值范围是≤m<1.]
(2)y=sin+6(答案不唯一)
解析　设y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)，
由题意得A=1，B=6，T=4，
因为T=，所以ω=，
所以y=sin+6.
因为当x=1时，y=6，
所以6=sin+6，
结合表中数据得+φ=2kπ，k∈Z，
可取φ=-，
所以y=sin+6.(共92张PPT)
第四章
§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
数学
大
一
轮
复
习
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝____ f＝ _______ ___
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
|φ|
A
A
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(2)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
(3)把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的所得图象的函数解析式为y＝sin.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称
中心之间的距离为.(　　)
×
×
×
√
2.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为
A.2，4π B.2
C.2－ D.2，4π，－
√
由题意知A＝2，f＝
初相为－.
3.将函数f(x)＝3sin个单位长度后得到函数g(x)
的图象，则g(x)＝　　　　 　　.
g(x)＝f ＝3sin＝3sin.
3sin
4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则点(ω，A)的坐标是　　　　.
由题图可知，A＝2，
T＝2所以ω＝4，点(ω，A)的坐标是(4，2).
(4，2)
1.熟记下列常用结论
(1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为.
(2)若直线x＝a为正(余)弦型曲线的对称轴，则该函数一定在x＝a处取得最值.
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.谨防两个易误点
(1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平
移距离为个单位长度.
(2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的关系.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点
A.先向右平移纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
√
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
题型一
√
正弦曲线y＝sin x先向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，故A正确，B错误；
先将正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝sin的图象，故C正确，D错误.
(2)(2025·西安模拟)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则m的值可以是
A. B.π C. D.
√
将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数y＝2sin的图象，因为所得图象关于原点对称，所以2m－＝kπ，k∈Z，解得m＝k∈Z，当k＝3时，m＝.
函数图象的平移变换解题策略
(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数.
(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α＝coscos α＝sin将不同名函数转换成同名函数.
(3)无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是自变量x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)要得到y＝sin x的图象，可以将函数y＝sin的图象上所有的点
A.向右平移
B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍
C.横坐标缩短到原来的再把所得各点向右平移个单位长度
D.横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平移个单位长度
√
√
要想得到y＝sin x的图象，y＝sin的图象上所有点的横坐标需扩大到原来的2倍，故排除A，C；
将y＝sin的图象上所有点先向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin 2x的图象，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y＝sin x的图象，B正确；
将y＝sin的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y＝sin的图象，再把所得各点向左平移个单位长度，得到y＝sin x的图象，D正确.
(2)(2024·延边州模拟)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是
A. B. C. D.
√
记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝
sin.
因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin＝.
例2　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的一部分图象如图所示，则
A.f(x)＝3sin＋1
B.f(x)＝2sin＋2
C.f(x)＝2sin＋2
D.f(x)＝2sin＋2
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
题型二
√
根据题中图象知
所以A＝2，b＝2，T＝4×＝π，
所以ω＝＝2，
又函数图象经过最高点
代入函数f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2得sin＝1，
因为|φ|<所以φ＝
所以f(x)＝2sin＋2.
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝
与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝则f(π)＝　　　.
－
设AB
由|AB|＝可得x2－x1＝
由sin x＝可知，
x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z，
由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝
即ω(x2－x1)＝所以ω＝4.
因为f(x)＝sin(4x＋φ)，
又f(x)过点所以＋φ＝2kπ，k∈Z，
即φ＝－＋2kπ，k∈Z.
取φ＝－所以f(x)＝sin
所以f(π)＝sin＝－.
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·长沙模拟)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是
A.y＝2sin
B.y＝2sin
C.y＝2sin
D.y＝2sin
√
根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，
可得A＝2T＝×
解得ω＝2，
再将点代入可得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<所以φ＝
故y＝2sin.
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，图象与x轴的交点M与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，
且满足NM⊥NP.则f(x)＝　　　　　　　　.
sin
由题知，函数f(x)的最小正周期T满足＝xM－xP＝－1＝解得T＝6，
所以ω＝
由图象与x轴的交点M
得×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
因为|φ|<所以φ＝
即f(x)＝Asin
所以f(x)的图象与y轴的交点为N
因为NM⊥NP，
所以··＝0，
解得A＝－(舍去)或A＝
所以f(x)＝sin.
例3　(1)如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位：分钟)为
A. B.3
C. D.
√
三角函数图象、性质的综合应用
题型三
设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h，
依题意，A＝20，h＝25，T＝10，所以ω＝
又f(0)＝5，所以φ＝－.
所以f(t)＝20sin＋25＝25－20cos t.
依题意25－20cos t≥35，
所以cos t≤－
又0≤t≤10，解得≤t≤
则摩天轮转动一周内，有(分钟)会有最佳视觉效果.
(2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos
个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
因为y＝cos向左平移个单位长度所得函数为
y＝cos＝cos＝－sin 2x，
所以f(x)＝－sin 2x，
而直线y＝x－显然过与(1，0)两点，
作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示，
考虑2x＝－2x＝2x＝
即x＝－x＝x＝处f(x)与y＝x－的大小关系，
当x＝－时，f ＝－sin＝－1，
y＝×＝－<－1；
当x＝时，f ＝－sin＝1，
y＝×<1；
当x＝时，f ＝－sin＝1，
y＝×>1.
所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3.
(1)求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程的根)的个数或零点的和的问题，常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.
(2)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝cosx∈若方程f(x)＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
√
因为x∈
所以令t＝2x－则t∈
方程f(x)＝m有两个不相等的实数根等价于函数y＝
cos t的图象与直线y＝m有两个交点，函数y＝cos t
的图象与直线y＝m的位置如图所示，
由图可得实数m的取值范围是≤m<1.
(2)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.
月份x 1 2 3 4
收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间
的函数关系为　　　　　　　　　 　　.
y＝sin＋6(答案不唯一)
设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由题意得A＝1，B＝6，T＝4，
因为T＝所以ω＝所以y＝sin＋6.
因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，
结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，
可取φ＝－
所以y＝sin＋6.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D A B ACD AC
题号 9 10 13 　14
答案 　 20 BCD 　
答案
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(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω=2.
又因为当x=时，f(x)取得最大值2，所以A=2，
同时2×+φ=2kπ+k∈Z，
即φ=2kπ+k∈Z，
因为-<φ<所以φ=
所以f(x)=2sin.
11.
答案
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(2)因为x∈[0，π]，
所以2x+∈.
列表如下：
11.
2x+ 　 　 π 　 2π 　
x 0 　 　 π
f(x) 1 2 0 -2 0 1
答案
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描点、连线得图象如图所示，
11.
答案
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(3)将y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y= sin的图象，再将y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象，再将y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)=2sin
的图象.
11.
答案
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(1)由已知可得A=2，
由f(1)=2sin=-2，可得sin=-1，
所以+φ=+2kπ(k∈Z)，得φ=+2kπ(k∈Z)，
因为0≤φ<π，则φ=
故f(x)=2sing(x)=-f(x)=-2sin.
12.
答案
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(2)将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y=2sin的图象，再将所得函数图象向右平移个单位长度，可得函数h(x)的图象，则h(x)=2sin=2cos 2x，
因为h(θ)=2cos 2θ=-则cos 2θ=-
因为0<θ<则0<2θ<π，故sin 2θ==.
12.
一、单项选择题
1.用“五点法”作y＝2cos x－1在[0，2π]上的图象时，应取的五点为
A.(0，1)(π，－1)(2π，1)
B.(0，1)(π，－3)(2π，1)
C.(0，1)，(π，－3)，(2π，1)，(3π，－3)，(4π，1)
D.(0，1)
√
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知识过关
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答案
∵y＝2cos x－1，∴最小正周期T＝2π.由“五点法”作图可知，应描出的五个点的横坐标分别是0π2π.代入解析式可得点的坐标分别为(0，1)(π，－3)(2π，1)，故B正确.
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答案
2.将函数f(x)＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是
A. B.π C.2π D.4π
√
方法一　由题意得g(x)＝cos＝cos所以T＝＝π.
方法二　原函数f(x)＝cos的最小正周期为将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后最小正周期变为×2＝π.
3.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为
A.3 B.4 C.6 D.8
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答案
因为函数y＝sin x的最小正周期
T＝2π，
函数y＝2sin的最小正周期T1＝
所以在[0，2π]上，函数y＝2sin有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，
如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点.
4.(2024·佛山模拟)若函数f(x)＝sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，则m的值可以为
A. B. C. D.
√
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由题可得f(x＋m)＝sin的图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，
则f(m)＝sin＝g(0)＝1，
即2m＋＋2kπ，k∈Z，
解得m＝＋kπ，k∈Z，故m的值可以为.
答案
5.(2025·广州模拟)如图，直线y＝1与函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的三个相邻的交点分别为B，C，D，且BC＝π，CD＝2π，则f(x)等于
A.2sin B.2sin
C.sin D.sin
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答案
方法一　因为BC＝π，CD＝2π，
所以相邻两对称轴间的距离为＋π＝
即最小正周期T＝3π，
所以ω＝
又因为点在f(x)的图象上，
所以Asin＝0，
即sin＝0，
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答案
结合图象可知φ－＝2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<所以φ＝.
易知点C的横坐标为－则C
所以Asin＝1，则A＝2，
所以f(x)＝2sin.
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答案
当x＝0时，代入f(x)＝2sin可得f(0)＝>1，满足题意，代入f(x)＝sin可得f(0)＝×＝1，不符合题意，故A正确，C错误.
方法二　因为BC＝π，CD＝2π，所以相邻两对称轴间的距离为＋π＝即最小正周期T＝3π，所以ω＝排除B，D；
6.(2025·包头模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为且f(x)的图象关于点对称，则f(x)在区间上的最小值为
A.－ B.－1 C.－2 D.0
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∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，∴A＝2，
又f(x)的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为
∴∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin(2x＋φ).
又f(x)的图象关于点对称，
∴2×＋φ＝kπ(k∈Z)，
答案
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∴φ＝kπ＋(k∈Z)，
又|φ|<∴φ＝
∴f(x)＝2sin
又x∈∴2x＋∈
∴f(x)＝2sin的值域为[－1，2].
∴f(x)在区间上的最小值为－1.
答案
二、多项选择题
7.(2024·昆明模拟)为得到函数y＝6sin的图象，只需要将函数y＝6sin 2x的图象
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
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√
√
A中，向左平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin的图象，A正确；
B中，向左平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin的图象，B不正确；
C中，向右平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin＝6sin＝6sin的图象，C正确；
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D中，向右平移个单位长度，可得y＝6sin＝6sin
＝6sin＝6sin的图象，D正确.
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答案
8.(2024·曲靖模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则
A.f(0)＝－1
B.函数f(x)的最小正周期是2π
C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点
对称
√
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答案
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答案
根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象可得A＝2×解得ω＝2，
又f ＝－2，可得2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|≤解得φ＝－
所以f(x)＝2sin可得f(0)＝2sin＝－1，故A正确；
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答案
可得f(x)的最小正周期为＝π，故B不正确；
令x＝则f ＝2sin＝2，为最大值，
可得函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得y＝2sin的图象，可得所得的函数图象不关于原点对称，故D错误.
三、填空题
9.将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得
到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝　　.
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答案
将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度，
得到函数g(x)＝sin的图象，
因为函数g(x)是奇函数，
所以g(0)＝sin＝0，
则2φ－＝kπ，k∈Z，则φ＝k∈Z，
因为0<φ<所以φ＝.
10.摩天轮的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面42 m(即OM长)，摩天轮的半径长为40 m，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈.摩天轮上悬挂吊舱，点M为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有AM＝BP＝2 m，则点P距离地面的高度h为　　　m.
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答案
以M为坐标原点，MO所在直线为y轴，与MO垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示，
设点B的方程为y＝Asin(ωt＋φ)＋k，
依题意得解得
又因为T＝12＝
所以ω＝此时y＝40sin＋42，
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答案
又当t＝0时，y＝2，
所以40sin φ＋42＝2，sin φ＝－1，φ＝－
所以y＝40sin＋42＝－40cos t＋42，
所以当t＝10时，y＝－40cos＋42＝22，
所以点P距离地面的高度h＝22－2＝20(m).
四、解答题
11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
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答案
因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋k∈Z，
即φ＝2kπ＋k∈Z，
因为－<φ<所以φ＝
所以f(x)＝2sin.
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
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答案
因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
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描点、连线得图象如图所示，
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答案
(3)函数f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象.
12.降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声(如图所示).已知某噪声的声波曲线是f(x)＝Asin(A>0，0≤φ<π)，其中振幅为2，且经过点(1，－2).
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(1)求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；
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答案
由已知可得A＝2，
由f(1)＝2sin＝－2，
可得sin＝－1，
所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
因为0≤φ<π，则φ＝故f(x)＝2sin
g(x)＝－f(x)＝－2sin.
(2)先将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数h(x)的图象.若锐角θ满足h(θ)＝－求sin 2θ的值.
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答案
将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2sin的图象，再将所得函数图象向右平移个单位长度，
可得函数h(x)的图象，则
h(x)＝2sin＝2cos 2x，
因为h(θ)＝2cos 2θ＝－则cos 2θ＝－
因为0<θ<则0<2θ<π，
故sin 2θ＝.
13.(多选)(2024·泉州模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)是偶函数，将
f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2
倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象.若曲线y＝g(x)的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则
A.ω＝2
B.g(x)的图象关于直线x＝－对称
C.g(x)的图象关于点对称
D.若f(π)＝－2，则g(x)在区间[0，π]上的最大值为
√
能力拓展
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答案
√
√
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)是偶函数，故φ＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，φ＝当k＝1时，φ＝
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝Asin的图象，
由于函数g(x)的两个相邻的对称中心的距离为2π，故T＝4π＝解得ω＝1，故A错误；
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答案
所以函数f(x)＝Asin(x＋φ)＝Acos x或f(x)＝－Acos x，
g(x)＝Asin＝Acos或g(x)＝－Acos
当x＝－时，g＝±A，故B正确；
当x＝时，g＝0，故函数g(x)的图象关于点对称，故C正确；
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答案
当f(π)＝－2时，A＝－2或A＝2，
故f(x)＝2cos x，
故g(x)＝2cos当x∈[0，π]时x＋∈函数在该区间上单调递减，故函数的最大值为g(0)＝2×
故g(x)在[0，π]上的最大值为故D正确.
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答案
14.(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，圆C与f(x)图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半
径为　　　.
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答案
因为点M，N关于点C对称，所以xC＝×
函数f(x)的最小正周期T满足解得T＝π，
即＝π，所以ω＝2.由图象可得f(x)的最大值点为
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
结合0<φ<π，取k＝0得φ＝
则f(x)＝sin.
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答案
因此可得OM＝f(0)＝sin 所以圆C的半径r＝.
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