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§4.7　三角函数中有关ω的范围问题
分值：52分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知函数f(x)=Asin(A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是(　　)
A. B. C. D.8
2.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3.为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)
A.98π B. C. D.100π
4.(2025·内江模拟)设函数f(x)=2sin(ω>0)，若存在x1，x2∈，且x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)=1，则ω的取值范围是(　　)
A.[4，+∞) B.(4，6]
C.[6，+∞) D.(6，10]
5.(2024·广州模拟)设函数f(x)=sin(ω>0)，已知方程|f(x)|=1在[0，2π]上有且仅有2个不相等的实数根，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
6.(2024·银川模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)，若x=为f(x)的零点，直线x=-是f(x)图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则当实数ω取得最大值时，φ等于(　　)
A. B.- C. D.-
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·北京模拟)已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增，那么常数ω的一个取值可以为(　　)
A. B. C. D.1
8.(2025·江门模拟)已知函数f(x)=sin+sin+2cos2ωx-(ω>0)，则下列结论正确的是(　　)
A.若f(x)相邻两条对称轴的距离为，则ω=2
B.当ω=1，x∈时，f(x)的值域为[-，2]
C.当ω=1时，f(x)的图象向左平移个单位长度得到图象的函数解析式为y=2cos
D.若f(x)在区间内有且仅有两个零点，则5≤ω<8
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·上海模拟)已知函数f(x)=2sin-1(ω>0)在(0，π)内恰有两个零点，则实数ω的取值范围为　　　　　　　　.
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0≤φ≤π)是偶函数，且在上单调递减，则φ=　　　　　　，ω的最大值是　　　　　　.
答案精析
1.B　2.A　3.B
4.A　[∵f(x)=2sin(ω>0)，
∴当x∈时，
ωx+∈
易知0∈f(0)=1，
又2sin=1，
∴若存在x1，x2∈
且x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)=1，
则-+≤-解得ω≥4.]
5.C　[∵f(x)=sin(ω>0)，
∴当x∈[0，2π]时，
ωx-∈
∵方程|f(x)|=1在[0，2π]上有且仅有2个不相等的实数根，
∴≤2πω-<
解得≤ω<.]
6.B　[因为f(x)的最小正周期T=且f(x)在区间上单调，所以=≥-=
又ω>0，故0<ω≤11，①
又因为x=为f(x)的零点，直线x=-是f(x)图象的对称轴，
所以-=+k·=·=(k∈Z)，整理得ω=2k+1(k∈Z).②
由①②得0<ω≤11且ω为奇数，
当ω=11时，将x=-代入ωx+φ，
令11×+φ=k'π(k'∈Z)，
得φ=k'π+(k'∈Z)，
又|φ|≤故取k'=-2，得φ=-
此时f(x)=Acos(A>0).
验证当满足f(x)在区间上单调递减，故实数ω的最大值为11，此时φ=-.]
7.ABC　[f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增，则ω·≤ω·≥-∴0<ω≤∴选项ABC符合题意.]
8.BCD　[f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx+sin 2ωx-cos 2ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin
A项，若f(x)相邻两条对称轴的距离为则T=π=∴ω=1，A项错误；
B项，f(x)=2sin当x∈时，2x+∈则值域为[-2]，B项正确；
C项，当ω=1时，f(x)的图象向左平移个单位长度得到图象的函数解析式为y=2sin=2sin=2cosC项正确；
D项，f(x)=2sin当x∈时，ω>0，
则2ωx+∈
若f(x)在区间内有且仅有两个零点，则2π≤+<3π，
∴5≤ω<8，D项正确.]
9.
解析　令f(x)=0，
∴sin=
∵x∈(0，π)，ω>0，
∴ωx+∈
∵f(x)在(0，π)内恰有两个零点，
故<ωπ+≤∴2<ω≤
即实数ω的取值范围为.
10.　2
解析　由题意知φ=+kπ，k∈Z，
又0≤φ≤π，所以φ=
故函数f(x)=cos ωx(ω>0).
令2mπ≤ωx≤π+2mπ，m∈Z，
得≤x≤+m∈Z，
令m=0，得0≤x≤
所以≥解得0<ω≤2，
所以ω的最大值是2.§4.7　三角函数中有关ω的范围问题
重点解读　在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.
题型一　三角函数的单调性与ω的关系
例1　已知函数f(x)=2sin(ω>0)在上存在最值，且在上单调，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
思维升华　确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围.
跟踪训练1　已知函数y=sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是　　　　.
题型二　三角函数的对称性与ω的关系
例2　(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)=sin在上有三条对称轴和两个极小值，则(　　)
A.<ω≤ B.<ω≤
C.-≤ω<- D.-≤ω<-
思维升华　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.
跟踪训练2　(2024·铜川模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)满足f=f，则ω的最小值为(　　)
A. B. C.1 D.2
题型三　三角函数的最值与ω的关系
例3　已知函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2，则实数ω的取值范围是　　　　.
思维升华　利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
跟踪训练3　已知函数f(x)=sin(ω>0)，若f =f ，且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则ω=　　　　.
题型四　三角函数的零点与ω的关系
例4　(2025·福州模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在[0，2]内有且仅有5个零点，则f(x)在[0，2]内的极值点个数为(　　)
A.4 B.4或5 C.5 D.5或6
思维升华　三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值.
跟踪训练4　(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
答案精析
例1　C　[当00，则-<ωx-<-，
因为函数f(x)在上存在最值，则->，解得ω>2，
当-<ωx-<πω-，
因为函数f(x)在上单调，
则
(k∈Z)，
所以其中k∈Z，
解得k-≤ω≤k+(k∈Z)，
所以k-≤k+(k∈Z)，
解得k≤且k∈Z，
又因为ω>0，则k∈{0，1，2}.
当k=0时，0<ω≤；
当k=1时，1≤ω≤；
当k=2时，≤ω≤.
又因为ω>2，因此ω的取值范围是.]
跟踪训练1　
解析　函数y=sin(ω>0)在区间上单调递增，
当-因此
而ω>0，解得0<ω≤，
所以ω的取值范围是.
例2　C　[∵x∈，
①当ω>0时，ωx+∈，
若f(x)在上有两个极小值，则f(x)至少有4条对称轴，不满足题意；
②当ω<0时，ωx+∈，
又函数f(x)=sin在上有三条对称轴和两个极小值，
∴-≤+<-，
解得-≤ω<-，
综上，-≤ω<-.]
跟踪训练2　A　[由已知可得函数f(x)=2sin(ω>0)满足f =f ，
即f =f ，
所以f(x)的图象关于直线x=对称，
所以+=+kπ(k∈Z)，
所以ω=4k+(k∈Z)，
又ω>0，所以当k=0时，ω取得最小值为.]
例3　(-∞，-2]∪
解析　显然ω≠0.
若ω>0，当x∈时，
-ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2，
所以-ω≤-，解得ω≥；
若ω<0，当x∈时，
ω≤ωx≤-ω，
因为函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2，
所以ω≤-，解得ω≤-2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(-∞，-2]∪.
跟踪训练3　
解析　由题意知当x=时，f(x)取得最大值，
即ω+=2kπ+(k∈Z)，
解得ω=6k+(k∈Z)，
又-=，
所以ω<6，
又ω>0，所以ω=.
例4　D　[因为ω>0，当x∈[0，2]时，
≤ωx+≤2ω+，
由函数f(x)在[0，2]内有且仅有5个零点，得5π≤2ω+<6π，
当5π≤2ω+<π时，函数f(x)在[0，2]内有5个极值点，当π≤2ω+<6π时，函数f(x)在[0，2]内有6个极值点，
所以f(x)在[0，2]内的极值点个数为5或6.]
跟踪训练4　[2，3)
解析　因为0≤x≤2π，
所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=cos ωx-1=0，
则cos ωx=1有3个根，
令t=ωx，则cos t=1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，
故2≤ω<3.(共46张PPT)
第四章
§4.7　三角函数中有关ω
的范围问题
数学
大
一
轮
复
习
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.
重点解读
例1　已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在上单调，则ω的取值范围是
A. B.
C. D.
√
三角函数的单调性与ω的关系
题型一
当00，则－<ωx－<
因为函数f(x)在上存在最值，则>解得ω>2，
当因为函数f(x)在上单调，
则 (k∈Z)，
所以其中k∈Z，解得k－≤ω≤k＋(k∈Z)，
所以k－≤k＋(k∈Z)，解得k≤且k∈Z，
又因为ω>0，则k∈{0，1，2}.
当k＝0时，0<ω≤；
当k＝1时，1≤ω≤；
当k＝2时≤ω≤.
又因为ω>2，因此ω的取值范围是.
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围.
思维升华
跟踪训练1　已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，
则ω的取值范围是　　　 　.
函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，
当－因此
而ω>0，解得0<ω≤
所以ω的取值范围是.
例2　(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)＝sin上有三条对称轴和两个极小值，则
A.<ω≤ B.<ω≤
C.－≤ω<－ D.－≤ω<－
三角函数的对称性与ω的关系
题型二
√
∵x∈
①当ω>0时，ωx＋∈
若f(x)在上有两个极小值，则f(x)至少有4条对称轴，不满足题意；
②当ω<0时，ωx＋∈
又函数f(x)＝sin在上有三条对称轴和两个极小值，
∴－≤<－解得－≤ω<－
综上，－≤ω<－.
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.
思维升华
跟踪训练2　(2024·铜川模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)满足f ＝f 则ω的最小值为
A. B. C.1 D.2
√
由已知可得函数f(x)＝2sin(ω>0)满足f ＝f
即f ＝f
所以f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以＋kπ(k∈Z)，
所以ω＝4k＋(k∈Z)，
又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值为.
例3　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则实数ω
的取值范围是　　　　　　 .
三角函数的最值与ω的关系
题型三
(－∞，－2]∪
显然ω≠0.
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，
所以－ω≤－解得ω≥；
若ω<0，当x∈时ω≤ωx≤－ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－
解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
思维升华
跟踪训练3　已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f ＝f 且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则ω＝　　　.
由题意知当x＝时，f(x)取得最大值，
即ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝6k＋(k∈Z)，
又所以ω<6，
又ω>0，所以ω＝.
例4　(2025·福州模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，2]内有且仅有5个零点，则f(x)在[0，2]内的极值点个数为
A.4 B.4或5
C.5 D.5或6
三角函数的零点与ω的关系
题型四
√
因为ω>0，当x∈[0，2]时，
≤ωx＋≤2ω＋
由函数f(x)在[0，2]内有且仅有5个零点，得5π≤2ω＋<6π，
当5π≤2ω＋<π时，函数f(x)在[0，2]内有5个极值点，当π≤2ω＋< 6π时，函数f(x)在[0，2]内有6个极值点，
所以f(x)在[0，2]内的极值点个数为5或6.
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值.
思维升华
跟踪训练4　(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
[2，3)
因为0≤x≤2π，
所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)＝cos ωx－1＝0，
则cos ωx＝1有3个根，
令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得
4π≤2ωπ<6π，
故2≤ω<3.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B A C B ABC BCD
题号 9 　10
答案 　2
一、单项选择题
1.已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是
A. B. C. D.8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
知识过关
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由题可知是该函数周期的整数倍，
即×k，k∈Z，解得ω＝k∈Z，
又ω>0，故其最小值为.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
x∈[0，π]，ω>0，
则ωx－∈
函数f(x)＝sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，
则≤ωπ－<故ω的取值范围是.
3.为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为
A.98π B. C. D.100π
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由题意，在[0，1]上至少出现50次最大值即在[0，1]上至少有49个周期，即个周期，所以T＝·≤1，
所以ω≥ω的最小值为.
答案
4.(2025·内江模拟)设函数f(x)＝2sin(ω>0)，若存在x1，x2∈
且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)＝1，则ω的取值范围是
A.[4，＋∞) B.(4，6]
C.[6，＋∞) D.(6，10]
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∵f(x)＝2sin(ω>0)，
∴当x∈时，ωx＋∈
易知0∈f(0)＝1，
又2sin＝1，∴若存在x1，x2∈
且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)＝1，
则－≤－解得ω≥4.
答案
5.(2024·广州模拟)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知方程|f(x)|＝1在
[0，2π]上有且仅有2个不相等的实数根，则ω的取值范围是
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∵f(x)＝sin(ω>0)，
∴当x∈[0，2π]时，ωx－∈
∵方程|f(x)|＝1在[0，2π]上有且仅有2个不相等的实数根，
∴≤2πω－<解得≤ω<.
答案
6.(2024·银川模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)若x＝为f(x)的零点，直线x＝－是f(x)图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则当实数ω取得最大值时，φ等于
A. B.－ C. D.－
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为f(x)的最小正周期T＝且f(x)在区间上单调，所以≥
又ω>0，故0<ω≤11， ①
又因为x＝为f(x)的零点，直线x＝－是f(x)图象的对称轴，
所以＋k··(k∈Z)，整理得ω＝2k＋1(k∈Z).
②
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由①②得0<ω≤11且ω为奇数，
当ω＝11时，将x＝－代入ωx＋φ，
令11×＋φ＝k'π(k'∈Z)，
得φ＝k'π＋(k'∈Z)，
又|φ|≤故取k'＝－2，得φ＝－
此时f(x)＝Acos(A>0).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
验证当满足f(x)在区间上单调递减，
故实数ω的最大值为11，此时φ＝－.
答案
二、多项选择题
7.(2024·北京模拟)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，那么常数ω的一个取值可以为
A. B. C. D.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
√
√
f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，则ω·≤ω·≥－
∴0<ω≤∴选项ABC符合题意.
8.(2025·江门模拟)已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2ωx
－(ω>0)，则下列结论正确的是
A.若f(x)相邻两条对称轴的距离为则ω＝2
B.当ω＝1，x∈时，f(x)的值域为[－2]
C.当ω＝1时，f(x)的图象向左平移个单位长度得到图象的函数解析式为y
＝2cos
D.若f(x)在区间内有且仅有两个零点，则5≤ω<8
√
1
2
3
4
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6
7
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10
答案
√
√
1
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f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋sin 2ωx－cos 2ωx＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin
A项，若f(x)相邻两条对称轴的距离为则T＝π＝∴ω＝1，A项错误；
B项，f(x)＝2sin当x∈时，2x＋∈则值域为[－2]，B项正确；
答案
1
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5
6
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10
C项，当ω＝1时，f(x)的图象向左平移个单位长度得到图象的函数解析式为y＝2sin＝2sin＝2cosC项正确；
D项，f(x)＝2sin当x∈时，ω>0，则2ωx＋∈
若f(x)在区间内有且仅有两个零点，则2π≤<3π，∴5≤ω<8，D项正确.
答案
三、填空题
9.(2024·上海模拟)已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)在(0，π)内恰有
两个零点，则实数ω的取值范围为　　　　.
1
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答案
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答案
令f(x)＝0，∴sin
∵x∈(0，π)，ω>0，∴ωx＋∈
∵f(x)在(0，π)内恰有两个零点，
故<ωπ＋≤∴2<ω≤
即实数ω的取值范围为.
10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是偶函数，且在上单调递减，则φ＝　　　，ω的最大值是　　　.
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答案
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由题意知φ＝＋kπ，k∈Z，又0≤φ≤π，所以φ＝
故函数f(x)＝cos ωx(ω>0).
令2mπ≤ωx≤π＋2mπ，m∈Z，
得≤x≤m∈Z，
令m＝0，得0≤x≤所以≥解得0<ω≤2，
所以ω的最大值是2.
答案

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