资源简介

§4.8　正弦定理、余弦定理
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·海口模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，sin A=，则sin B等于(　　)
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，cos C=，AC=4，BC=3，则cos B等于(　　)
A. B.
C. D.
3.(2024·长沙模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边之比a∶b∶c=2∶3∶4，则等于(　　)
A. B.- C.2 D.-2
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2+=，则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
5.(2024·榆林模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足b2=(a+c)2-4，B=，则△ABC的面积为(　　)
A.2- B.4-2
C.2+ D.4+2
6.(2025·上海模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且c-2b+2cos C=0，则该三角形外接圆的半径为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是(　　)
A.A=，b=1，c=2
B.B=，b=1，c=2
C.A=，b=3，a=
D.B=，b=，a=2
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　)
A.若acos A=bcos B，则△ABC是等腰三角形
B.若bcos C+ccos B=b，则△ABC是等腰三角形
C.若==，则△ABC是等边三角形
D.若B=60°，b2=ac，则△ABC是直角三角形
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·开封模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C=，a=3b，则cos A=　　　　　　.
10.(2024·成都模拟)在△ABC中，AC=1，∠ACB=，延长BA到点D，使得AD=，∠ADC=，则AB的长为　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+cos A=2.
(1)求A；(5分)
(2)若a=2，bsin C=csin 2B，求△ABC的周长.(8分)
12.(14分)(2025·南昌模拟)如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10，∠BAC=，∠DAC=，BD交AC于点E.
(1)求BD2；(7分)(2)求AE.(7分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=，a2+b2-c2=absin C，acos B+bsin A=c，则下列结论正确的是(　　)
A.tan C=2 B.A= C.b= D.△ABC的面积为6
14.已知△ABC的面积S=(b2+c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为　　　　.
答案精析
1.A　2.A　3.C
4.A　[∵sin2+=
∴=-∴cos A=
∵cos A==
∴b2+c2-a2=2b2，∴b2+a2=c2，
∴△ABC为直角三角形，且C=90°.]
5.A　[因为b2=(a+c)2-4=a2+c2+2ac-4所以a2+c2-b2=4-2ac，
因为B=由余弦定理得，
cos B===
所以ac=4-4，
故△ABC的面积
S=acsin B=(4-4)×
=2-.]
6.A　[∵a=∴c-2b+2acos C=0，
∴sin C-2sin B+2sin Acos C=0，
∴sin C-2sin(A+C)+2sin Acos C=0，
∴sin C-2sin Acos C-2sin Ccos A+2sin Acos C=0，
∴sin C-2sin Ccos A=0，
∵sin C>0，∴cos A=
∵A∈(0，π)，∴A=
设该三角形外接圆的半径为r，由正弦定理得==2=2r，
∴r=1.]
7.CD　[对于A，因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件能确定1个三角形；
对于B，由正弦定理可知，sin C===>1，无解，
故B选项的条件不能确定三角形；
对于C，由正弦定理可知，sin B===<1，又b>a，即B∈所以B=或B=故C选项的条件能确定2个三角形；
对于D，由正弦定理可知，sin A====<1，
又a>b，即A∈
又易知sin A=>sin=则sin A=有两个解，
故D选项的条件能确定2个三角形.]
8.BC　[对于A，若acos A=bcos B，则由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B，
∴sin 2A=sin 2B，则2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若bcos C+ccos B=b，则由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A=sin B，即A=B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
对于C，若==则由正弦定理得==则tan A=tan B=tan C，即A=B=C，即△ABC是等边三角形，故C正确；
对于D，由于B=60°，b2=ac，由余弦定理可得b2=ac=a2+c2-ac，可得(a-c)2=0，解得a=c，故△ABC是等边三角形，故D错误.]
9.-
解析　在△ABC中，cos C=a=3b，
由余弦定理可得
cos C===
解得c=b，
再由余弦定理可得
cos A===-.
10.
解析　∵在△ABC中，AC=1，∠ACB=延长BA到点D，使得AD=∠ADC=
∴由正弦定理得
=
可得sin∠ACD==
可得∠ACD=∴∠BAC=∠ACD+∠ADC=+=∠ABC=π--=
∴在△ABC中，由正弦定理得
=
即=解得AB=.
11.解　(1)方法一　常规方法(辅助角公式)
由sin A+cos A=2，
可得sin A+cos A=1，
即sin=1，
由于A∈(0，π) A+∈
故A+=
解得A=.
方法二　常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sin A+cos A=2，
又sin 2A+cos 2A=1，
消去sin A得到
4cos2A-4cos A+3=0
(2cos A-)2=0，
解得cos A=
又A∈(0，π)，故A=.
(2)由题设条件和正弦定理得，
bsin C=csin 2B sin Bsin C=2sin Csin Bcos B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，
进而cos B=得到B=
于是C=π-A-B=
sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B
=
由正弦定理可得，
==
即==
解得b=2c=+
故△ABC的周长为2++3.
12.解　(1)因为两块直角三角形斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10，∠BAC=∠DAC=BD交AC于点E，可得AB=AC·cos∠BAC=10×=5，AD=AC·cos∠DAC=10×=5因为∠BAD=∠BAC+∠DAC=+所以cos∠BAD=cos cos -sin sin
=×-×=
所以在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD
=25+50-2×5×5×
=50+25.
(2)因为sin∠BAD=sin
=
又因为S△ABD=S△ABE+S△ADE，
所以·AB·AD·sin∠BAD=·AB·AE·sin∠BAE+·AE·AD·sin∠EAD，
即×5×5×=×5×AE×+×AE×5×
解得AE=5-5.
13.ABD　[因为a2+b2-c2=absin C，
所以cos C=
==
所以tan C==2，故A正确；
因为acos B+bsin A=c，利用正弦定理可得
sin Acos B+sin Bsin A=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B，
即sin Bsin A=cos Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以tan A=1，又A∈(0，π)，所以A=故B正确；
因为tan C=2，C∈(0，π)，
所以sin C=cos C=
又A=所以sin A=cos A=
所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=
因为=所以b===3故C错误；
S△ABC=absin C=××3×=6，故D正确.]
14.等腰直角三角形
解析　依题意，△ABC的面积S=(b2+c2)，
则bcsin A=(b2+c2)，
即2bcsin A=b2+c2，
由于0所以0<2bcsin A≤2bc，
由基本不等式可知b2+c2≥2bc，
当且仅当b=c时等号成立，
所以sin A=1，A=△ABC是等腰直角三角形.§4.8　正弦定理、余弦定理
课标要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 =　　　　 =　　　　　=2R a2=　　　　　　； b2=　　　　　　； c2=　　　　　　
变形 (1)a=2Rsin A， b=　　　　　　， c=　　　　　　； (2)sin A=， sin B=　　　　　， sin C=　　　　　； (3)a∶b∶c=　　　　　　　 cos A=　　　　； cos B=　　　　； cos C=　　　　
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a=bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S=aha(ha表示边a上的高)；
(2)S=　　　　　　　　=　　　　　　　=　　　　　　　　；
(3)S=　　　　　　　　(r为三角形的内切圆半径).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2+c2-a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2+c2-a2=0时，△ABC为直角三角形；当b2+c2-a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=，a=1，B=，则c等于(　　)
A. B.2 C. D.3
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=80，b=100，A=45°，则符合条件的三角形有(　　)
A.一个 B.两个
C.0个 D.不能确定
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，b=5，c=6，则cos A=　　　　　　，△ABC的面积为　　　　　　.
1.熟记△ABC中的以下常用结论：
(1)A+B+C=π，=-.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)大边对大角，大角对大边，a>b A>B sin A>sin B，cos A(4)sin(A+B)=sin C；cos(A+B)=-cos C；tan(A+B)=-tan C；sin=cos；cos=sin.
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a=bcos C+ccos B；b=acos C+ccos A；c=bcos A+acos B.
(6)三角形的面积S=.
(7)在斜△ABC中，tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
2.谨防两个易误点
(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.
题型一　利用正弦、余弦定理解三角形
例1　(1)(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc=a2.若b=，a=3sin B，则C等于(　　)
A. B. C. D.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=8，c=3，A=60°，则此三角形外接圆的半径R等于(　　)
A. B. C. D.
思维升华　应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理求解.
(2)求角：利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理的推论求解.
(3)利用式子的特点转化：如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
跟踪训练1　(1)(2025·八省联考)在△ABC中，BC=8，AC=10，cos∠BAC=，则△ABC的面积为(　　)
A.6 B.8
C.24 D.48
(2)(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a+b=10，c=5，sin 2B+sin B=0，则下列结论正确的是(　　)
A.a=3 B.b=7
C.B=60° D.sin C=
题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1　三角形的形状判断
例2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c-acos B=(2a-b)cos A，则△ABC的形状为(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
命题点2　三角形的面积
例3　(2024·武汉模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，b=6，a2+c2=2ac，则△ABC的面积为　　　　.
命题点3　与平面几何有关的问题
例4　已知D是Rt△ABC斜边BC上一点，AC=DC.
(1)若∠DAC=30°，则∠ADC=　　　　　　；
(2)若BD=2DC，且DC=1，则AD的长为　　　　　　.
思维升华　(1)判断三角形形状的两种思路
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.
(2)三角形面积公式的应用原则
①对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
跟踪训练2　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，(b+c+a)·(b+c-a)=3bc，则△ABC的形状为　　　　.
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab.
①求B；
②若△ABC的面积为3+，求c.
相关定理在解三角形中的综合应用
1.角平分线定理
在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，则.
进而得到(1)AD2＝AB·AC－BD·CD(斯库顿定理).
(2).
2.张角定理
在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD＝α，∠CAD＝β，
则.
3.中线长定理
在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2).
典例　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝8，c＝9，则AC边上的中线长为　　　　.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC＝，AD＝2，则2b＋c的最小值为　　　　　　　.
答案精析
落实主干知识
1.　　b2+c2-2bccos A
c2+a2-2cacos B　a2+b2-2abcos C
2Rsin B　2Rsin C　　
sin A∶sin B∶sin C
　　
3.(2)absin C　acsin B　bcsin A
(3)r(a+b+c)
自主诊断
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.B　3.B　4.　
探究核心题型
例1　(1)D　[在△ABC中，由b2+c2+bc=a2及余弦定理，可得cos A==-，
由0又b=，a=3sin B，
由正弦定理得sin B====，
又sin B>0，解得sin B=，
又0所以C=π-A-B=.]
(2)D　[因为b=8，c=3，A=60°，
所以a2=b2+c2-2bccos A=64+9-2×8×3×=49，所以a=7，
所以此三角形外接圆的直径2R===，所以R=.]
跟踪训练1　(1)C　[由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos∠BAC,即64=100+AB2-2AB×10×,
∴AB2-12AB+36=0,
∴AB=6,∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,
S△ABC=AB·BC=×6×8=24.]
(2)ABD　[由sin 2B+sin B=0，得
2sin Bcos B+sin B=0，
因为在△ABC中，sin B≠0，
得cos B=-，
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，
得b2=a2+52-2×a×5×，
因为b=10-a，所以(10-a)2=a2+52-2×a×5×，解得a=3，所以b=7.
由cos B=-，得B=120°，
则sin B=.
由正弦定理得sin C=sin B=×=.]
例2　D　[方法一　因为c-acos B=(2a-b)cos A，
C=π-(A+B)，
所以由正弦定理得sin C-sin Acos B
=2sin Acos A-sin Bcos A，
所以sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B
=2sin Acos A-sin Bcos A，
所以cos A(sin B-sin A)=0，
所以cos A=0或sin B=sin A，
所以A=或B=A或B=π-A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形.
方法二　因为c-acos B
=(2a-b)cos A，
由余弦定理得c-a·
=(2a-b)·，
化简得(a-b)(b2+c2-a2)=0，
所以a-b=0或b2+c2-a2=0，
所以a=b或b2+c2=a2，
故△ABC为等腰或直角三角形.]
例3　3
解析　由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，
即36=a2+c2+ac
=2ac+ac=3ac，
所以ac=6，
所以△ABC的面积
S=acsin B=×6×=3.
例4　(1)120°　(2)
解析　(1)在△ADC中，由正弦定理得=，
所以sin∠ADC=
=×=，
又∠ADC=B+∠BAD
=B+(90°-∠DAC)
=B+60°>60°，
所以∠ADC=120°.
(2)由BD=2DC，且DC=1知BC=3，
又AC=DC，则AC=，
所以Rt△ABC中，cos C==，
在△ADC中，由余弦定理得
AD2=AC2+DC2-2AC·DC·cos C=()2+1-2×1×=2，
所以AD=.
跟踪训练2　(1)等边三角形
解析　因为=，
所以=，所以b=c.
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc，
所以b2+c2-a2=bc，
所以cos A===.
因为A∈(0，π)，所以A=，
所以△ABC是等边三角形.
(2)解　①由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C，
因为a2+b2-c2=ab，
所以cos C=，
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C=
==，
又因为sin C=cos B，
即cos B=，
又B∈(0，π)，所以B=.
②由①可得B=，cos C=，C∈(0，π)，
从而C=，sin A=sin(B+C)
=sin
=×+×=.
方法一　由正弦定理有=，
从而b=·c=c，
由三角形面积公式可知，
△ABC的面积可表示为
S△ABC=bc·sin A
=·c·c·=c2，
由已知△ABC的面积为3+，
可得c2=3+，所以c=2.
方法二　记R为△ABC外接圆的半径，
由正弦定理得
S△ABC=ab·sin C
=2R2sin Asin Bsin C
=2R2···
=·R2=3+.
所以R=2.
所以c=2R·sin C=2×2×=2.
微拓展
典例　(1)7
解析　方法一　在△ABC中，设BD是AC边上的中线，由中线长定理知，
AB2+BC2=2(BD2+DC2)，
即c2+a2=2，
则BD2=-=-=49，BD=7，
故AC边上的中线长为7.
方法二　因为a=7，b=8，c=9，由余弦定理得cos B=
==.
设D是AC的中点，
则=+)，
两边平方得||2=+2·+)
=×=49，
所以||=7，
即AC边上的中线长为7.
(2)6+4
解析　如图，∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD
=∠BAC=，
由张角定理得=+，
即=+，
∴+=，
∴2b+c=(2b+c)×2
=6++≥6+2
=6+4
.(共87张PPT)
第四章
§4.8　正弦定理、余弦定理
数学
大
一
轮
复
习
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 _____=_____＝2R a2＝ ；
b2＝ ；
c2＝________________
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ ； (2)sin A＝sin B＝ ，sin C＝ ； (3)a∶b∶c＝_________________
cos A＝ ；
cos B＝ ；
cos C＝__________
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r为三角形的内切圆半径).
absin C
acsin B
bcsin A
r(a＋b＋c)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. (　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
√
×
×
×
2.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝a＝1，B＝则c等于
A. B.2 C. D.3
√
由余弦定理得cos B＝即－整理得c2＋c－6＝0，
解得c＝2(负值舍去).
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有
A.一个 B.两个
C.0个 D.不能确定
√
由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得所以sin B＝.
因为aA，故B有两解，
即符合条件的三角形有两个.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，
则cos A＝　　，△ABC的面积为　　　.
依题意得cos A＝
所以sin A＝
所以△ABC的面积为bcsin A＝.
1.熟记△ABC中的以下常用结论：
(1)A＋B＋C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)大边对大角，大角对大边，a>b A>B sin A>sin B，cos A(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
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微点提醒
(6)三角形的面积S＝.
(7)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
2.谨防两个易误点
(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2.若b＝a＝3sin B，则C等于
A. B. C. D.
√
利用正弦、余弦定理解三角形
题型一
在△ABC中，由b2＋c2＋bc＝a2及余弦定理，可得cos A＝＝－
由0又b＝a＝3sin B，
由正弦定理得sin B＝
又sin B>0，解得sin B＝
又0所以C＝π－A－B＝.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R等于
A. B. C. D.
√
因为b＝8，c＝3，A＝60°，
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7，
所以此三角形外接圆的直径2R＝所以R＝.
应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理求解.
(2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理的推论求解.
(3)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为
A.6 B.8 C.24 D.48
√
由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos∠BAC,即64=100+AB2-2AB×10×,
∴AB2-12AB+36=0,
∴AB=6,∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,
S△ABC=AB·BC=×6×8=24.
(2)(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＋b＝10，c＝5，sin 2B＋sin B＝0，则下列结论正确的是
A.a＝3 B.b＝7
C.B＝60° D.sin C＝
√
√
√
由sin 2B＋sin B＝0，得2sin Bcos B＋sin B＝0，
因为在△ABC中，sin B≠0，得cos B＝－
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝a2＋52－2×a×5×
因为b＝10－a，所以(10－a)2＝a2＋52－2×a×5×解得a＝3，
所以b＝7.
由cos B＝－得B＝120°，则sin B＝.
由正弦定理得sin C＝sin B＝×.
命题点1　三角形的形状判断
例2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
正弦定理、余弦定理的简单应用
题型二
√
方法一　因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形.
方法二　因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
由余弦定理得
c－a·＝(2a－b)·
化简得(a－b)(b2＋c2－a2)＝0，
所以a－b＝0或b2＋c2－a2＝0，
所以a＝b或b2＋c2＝a2，
故△ABC为等腰或直角三角形.
命题点2　三角形的面积
例3　(2024·武汉模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝b＝6，a2＋c2＝2ac，则△ABC的面积为　　　.
3
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即36＝a2＋c2＋ac＝2ac＋ac＝3ac，
所以ac＝6
所以△ABC的面积S＝acsin B＝×6×＝3.
命题点3　与平面几何有关的问题
例4　已知D是Rt△ABC斜边BC上一点，AC＝DC.
(1)若∠DAC＝30°，则∠ADC＝　 　　；
120°
在△ADC中，由正弦定理得
所以sin∠ADC＝×
又∠ADC＝B＋∠BAD＝B＋(90°－∠DAC)＝B＋60°>60°，
所以∠ADC＝120°.
(2)若BD＝2DC，且DC＝1，则AD的长为　　　.
由BD＝2DC，且DC＝1知BC＝3，
又AC＝DC，则AC＝
所以Rt△ABC中，cos C＝
在△ADC中，由余弦定理得
AD2＝AC2＋DC2－2AC·DC·cos C＝()2＋1－2×1×＝2，
所以AD＝.
(1)判断三角形形状的两种思路
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.
(2)三角形面积公式的应用原则
①对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
思维升华
跟踪训练2　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为　　 　.
因为所以所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝
所以△ABC是等边三角形.
等边三角形
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
①求B；
由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，
因为a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C＝
又因为sin C＝cos B，
即cos B＝
又B∈(0，π)，所以B＝.
②若△ABC的面积为3＋求c.
由①可得B＝cos C＝C∈(0，π)，
从而C＝sin A＝sin(B＋C)＝sin＝××.
方法一　由正弦定理有
从而b＝·c＝c，
由三角形面积公式可知，
△ABC的面积可表示为S△ABC＝bc·sin A＝·c·c·c2，
由已知△ABC的面积为3＋
可得c2＝3＋所以c＝2.
方法二　记R为△ABC外接圆的半径，
由正弦定理得
S△ABC＝ab·sin C＝2R2sin Asin Bsin C＝2R2···＝·R2
＝3＋.
所以R＝2.
所以c＝2R·sin C＝2×2×＝2.
1.角平分线定理
在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，则.
进而得到(1)AD2＝AB·AC－BD·CD(斯库顿定理).
(2).
相关定理在解三角形中的综合应用
微拓展
2.张角定理
在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD＝α，∠CAD＝β，
则.
3.中线长定理
在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2).
典例　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝8，c＝9，则AC边上的中线长为　　　.
7
方法一　在△ABC中，设BD是AC边上的中线，由中线长定理知，
AB2＋BC2＝2(BD2＋DC2)，
即c2＋a2＝2，
则BD2＝＝49，BD＝7，
故AC边上的中线长为7.
方法二　因为a＝7，b＝8，c＝9，
由余弦定理得cos B＝.
设D是AC的中点，则)，
两边平方得||2＝＋2·)
＝×＝49，
所以||＝7，即AC边上的中线长为7.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC＝，AD＝2，则2b＋c的最小值为　　　　　.
6＋4
如图，∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝，
由张角定理得，
即，∴，
∴2b＋c＝(2b＋c)×2＝6＋≥6＋2＝6＋4
(当且仅当且，即c＝b＝2＋2时取等号).
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C A A A CD BC
题号 9 10 13 　　　14
答案 - ABD 等腰直角三角形
答案
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14
(1)方法一　常规方法(辅助角公式)
由sin A+cos A=2，可得sin A+cos A=1，
即sin=1，
由于A∈(0，π) A+∈
故A+=解得A=.
11.
答案
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14
方法二　常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sin A+cos A=2，
又sin 2A+cos 2A=1，
消去sin A得到4cos2A-4cos A+3=0 (2cos A-)2=0，
解得cos A=
又A∈(0，π)，故A=.
11.
答案
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14
(2)由题设条件和正弦定理得，
bsin C=csin 2B sin Bsin C=2sin Csin Bcos B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，
进而cos B=得到B=
于是C=π-A-B=
sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=
11.
答案
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14
由正弦定理可得，
==
即==
解得b=2c=+
故△ABC的周长为2++3.
11.
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(1)因为两块直角三角形斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10，∠BAC=∠DAC=BD交AC于点E，可得AB=AC·cos∠BAC=10×=5，AD=AC·cos∠DAC=10×=5因为∠BAD=∠BAC+∠DAC=+所以cos∠BAD=cos cos -sin sin =×-×=
所以在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD
=25+50-2×5×5×=50+25.
12.
答案
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14
(2)因为sin∠BAD=sin=
又因为S△ABD=S△ABE+S△ADE，
所以·AB·AD·sin∠BAD=·AB·AE·sin∠BAE+·AE·AD·sin∠EAD，
即×5×5×=×5×AE×+×AE×5×
解得AE=5-5.
12.
一、单项选择题
1.(2025·海口模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，sin A＝则sin B等于
A. B. C. D.
√
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知识过关
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答案
若a＝2，b＝3，sin A＝
则由正弦定理得即
所以sin B＝.
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答案
2.在△ABC中，cos C＝AC＝4，BC＝3，则cos B等于
A. B. C. D.
√
依题意，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋32－2×
4×3×＝9，即AB＝3，所以cos B＝.
3.(2024·长沙模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则等于
A. B.－ C.2 D.－2
√
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14
因为在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4，
设a，b，c分别为2k，3k，4k，k>0，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
可得16k2＝4k2＋9k2－12k2cos C，
解得cos C＝－
可得＝2.
答案
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2则△ABC的形状为
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
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∵sin2
∴∴cos A＝
∵cos A＝
∴b2＋c2－a2＝2b2，∴b2＋a2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，且C＝90°.
答案
5.(2024·榆林模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足b2＝(a＋c)2－4B＝则△ABC的面积为
A.2－ B.4－2
C.2＋ D.4＋2
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因为b2＝(a＋c)2－4＝a2＋c2＋2ac－4所以a2＋c2－b2＝4－2ac，
因为B＝由余弦定理得，
cos B＝
所以ac＝4－4，
故△ABC的面积S＝acsin B＝(4－4)×＝2－.
答案
6.(2025·上海模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝且c－2b＋2cos C＝0，则该三角形外接圆的半径为
A.1 B. C.2 D.2
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∵a＝∴c－2b＋2acos C＝0，
∴sin C－2sin B＋2sin Acos C＝0，
∴sin C－2sin(A＋C)＋2sin Acos C＝0，
∴sin C－2sin Acos C－2sin Ccos A＋2sin Acos C＝0，
∴sin C－2sin Ccos A＝0，
∵sin C>0，∴cos A＝∵A∈(0，π)，∴A＝
设该三角形外接圆的半径为r，由正弦定理得＝2＝2r，
∴r＝1.
答案
二、多项选择题
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是
A.A＝b＝1，c＝2
B.B＝b＝1，c＝2
C.A＝b＝3，a＝
D.B＝b＝a＝2
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答案
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对于A，因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件能确定1个三角形；
对于B，由正弦定理可知，sin C＝>1，无解，
故B选项的条件不能确定三角形；
对于C，由正弦定理可知，sin B＝<1，
又b>a，即B∈
所以B＝或B＝故C选项的条件能确定2个三角形；
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答案
对于D，由正弦定理可知，sin A＝<1，
又a>b，即A∈
又易知sin A＝>sin则sin A＝有两个解，
故D选项的条件能确定2个三角形.
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答案
8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是
A.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
B.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
C.若则△ABC是等边三角形
D.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
√
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14
对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
对于C，若则由正弦定理得则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；
答案
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对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，故△ABC是等边三角形，故D错误.
答案
三、填空题
9.(2024·开封模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
cos C＝a＝3b，则cos A＝　　　 .
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答案
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答案
在△ABC中，cos C＝a＝3b，
由余弦定理可得
cos C＝
解得c＝b，
再由余弦定理可得
cos A＝＝－.
10.(2024·成都模拟)在△ABC中，AC＝1，∠ACB＝延长BA到点D，使
得AD＝∠ADC＝则AB的长为　　　.
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答案
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∵在△ABC中，AC＝1，∠ACB＝延长BA到点D，使得AD＝∠ADC＝
∴由正弦定理得
可得sin∠ACD＝
可得∠ACD＝
答案
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∴∠BAC＝∠ACD＋∠ADC＝∠ABC＝π－
∴在△ABC中，由正弦定理得
即解得AB＝.
答案
四、解答题
11.(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
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答案
方法一　常规方法(辅助角公式)
由sin A＋cos A＝2，
可得sin A＋cos A＝1，
即sin＝1，
由于A∈(0，π) A＋∈
故A＋
解得A＝.
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答案
方法二　常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sin A＋cos A＝2，
又sin 2A＋cos 2A＝1，
消去sin A得到
4cos2A－4cos A＋3＝0 (2cos A－)2＝0，
解得cos A＝
又A∈(0，π)，故A＝.
(2)若a＝2bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
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答案
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答案
由题设条件和正弦定理得，
bsin C＝csin 2B sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，
进而cos B＝得到B＝
于是C＝π－A－B＝
sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝
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答案
由正弦定理可得，
即
解得b＝2c＝
故△ABC的周长为2＋＋3.
12.(2025·南昌模拟)如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC＝10，∠BAC＝∠DAC＝BD交AC于点E.
(1)求BD2；
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答案
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答案
因为两块直角三角形斜边靠在一起，其中公共斜边AC＝10，∠BAC＝∠DAC＝BD交AC于点E，
可得AB＝AC·cos∠BAC＝10×＝5，
AD＝AC·cos∠DAC＝10×＝5
因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝
所以cos∠BAD＝cos cos －sin sin ＝××
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答案
所以在△ABD中，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD
＝25＋50－2×5×5×
＝50＋25.
(2)求AE.
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答案
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答案
因为sin∠BAD＝sin
又因为S△ABD＝S△ABE＋S△ADE，
所以·AB·AD·sin∠BAD
＝·AB·AE·sin∠BAE＋·AE·AD·sin∠EAD，
即×5×5××5×AE××AE×5×
解得AE＝5－5.
13.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝a2＋b2－c2＝absin C，acos B＋bsin A＝c，则下列结论正确的是
A.tan C＝2
B.A＝
C.b＝
D.△ABC的面积为6
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答案
√
能力拓展
√
√
因为a2＋b2－c2＝absin C，
所以cos C＝
所以tan C＝＝2，故A正确；
因为acos B＋bsin A＝c，利用正弦定理可得
sin Acos B＋sin Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Bsin A＝cos Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以tan A＝1，
又A∈(0，π)，所以A＝故B正确；
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答案
因为tan C＝2，C∈(0，π)，
所以sin C＝cos C＝
又A＝所以sin A＝cos A＝
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝××
因为所以b＝＝3故C错误；
S△ABC＝absin C＝××3×＝6，故D正确.
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答案
14.已知△ABC的面积S＝(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为　　　　 　　.
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等腰直角三角形
答案
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答案
依题意，△ABC的面积S＝(b2＋c2)，
则bcsin A＝(b2＋c2)，即2bcsin A＝b2＋c2，
由于0所以0<2bcsin A≤2bc，
由基本不等式可知b2＋c2≥2bc，
当且仅当b＝c时等号成立，
所以sin A＝1，A＝△ABC是等腰直角三角形.
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