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§4.9　解三角形中的最值与范围问题
分值：70分
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，A=，则b的取值范围是(　　)
A.(0，6) B.(0，2)
C.(，2) D.(3，6)
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=c-1，b=c+1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为(　　)
A.(2，4) B.(1，3)
C.(0，3) D.(3，4)
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2=3(b+c)，A=，则△ABC周长的最大值为(　　)
A.6 B.12 C.18 D.24
4.(2025·泰州模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=60°，B>90°，则的取值范围为(　　)
A. B.(，+∞)
C.(2，+∞) D.(3，+∞)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=，b=4，则下列说法正确的是(　　)
A.若A=，则a=4
B.若a=1，则c=
C.△ABC周长的最大值为12
D.△ABC面积的最大值12
6.(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bcos C+3ccos B=a2，则下列说法正确的是(　　)
A.若B+C=2A，则△ABC的外接圆的面积为3π
B.若A=，且△ABC有两解，则b的取值范围为[3，3]
C.若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(3，3)
D.若A=2C，且sin B=2sin C，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·辽阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+4b2=6c2，则的最小值为　　　　　　.
8.(2024·绵阳模拟)如图所示，在△ABC中，已知A=，C=，AC=4，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且△DEF为等边三角形.则△DEF的面积的最小值是　　　　　　.
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2024·铜川模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan Atan B+tan Atan C=3tan Btan C.
(1)证明：3b2+3c2=5a2；(6分)
(2)若a=，当A取最大值时，求△ABC的面积.(7分)
10.(15分)(2025·郑州模拟)已知在△ABC中，sin(A+B)=1+2sin2.
(1)求角C的大小；(6分)
(2)如图，若∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值.(9分)
答案精析
1.D　2.A
3.C　[因为A=且a2=3(b+c)，
由余弦定理可得，a2=3(b+c)=b2+c2-bc，所以(b+c)2-3(b+c)=3bc≤(b+c)2，
当且仅当b=c时，等号成立，
所以b+c≤12，所以a=≤6，即△ABC周长的最大值为12+6=18.]
4.C　[因为C=60°，B>90°，
所以0°即得>
由正弦定理可得=
==
=+×>2.]
5.ACD　[由正弦定理=代入数据解得a=4故A正确；
由余弦定理，b2=a2+c2-2accos B=c2-c+1=48，解得c=或c=(舍去)，故B错误；
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=48，因为a2+c2-ac=(a+c)2-3ac
≥(a+c)2-3=
当且仅当a=c=4时，等号成立，所以a+c≤8故△ABC周长的最大值为12故C正确；
由C选项分析可知a2+c2-ac=48，因为a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，所以ac≤48，所以△ABC的面积S△ABC=acsin B=ac≤×48=12
当且仅当a=c=4时等号成立，故D正确.]
6.ACD　[因为3bcos C+3ccos B=a2，
所以由正弦定理，得3sin Bcos C+3sin Ccos B=asin A，
即3sin(B+C)=asin A，
因为A+B+C=π，
所以sin(B+C)=sin A，
且sin A≠0，所以a=3.
选项A，若B+C=2A，则A=
所以△ABC的外接圆的直径2R==2
所以R=
所以△ABC的外接圆的面积为π×()2=3π，A正确；
选项B，因为△ABC有两解，
则bsin A解得3选项C，由正弦定理=
得=
即c=2acos A=6cos A，
因为△ABC为锐角三角形，
所以所以所以c=6cos A∈(33)，C正确；
选项D，因为a=3，sin B=2sin C，A=2C，
可得B=π-3C，由正弦定理可得b=2c，
由sin(π-3C)=2sin C，
可得sin Ccos 2C+cos Csin 2C=2sin C，
由sin C≠0，可得4cos2C-1=2，
解得cos2C=
又B=π-3C∈(0，π)，则C∈
故cos C=sin C=
可得sin A=2sin Ccos C
=2××=
由正弦定理=a=3可得c=b=2则a+b+c=3+3
S△ABC=bcsin A=×2××=
设△ABC的内切圆半径为r，
则r===
S△AOB=cr=××=D正确.]
7.
解析　因为a2+4b2=6c2≥2=4ab，
当且仅当a=2b时，等号成立，
即≥.
由正弦定理可得=≥当且仅当a=2b时，等号成立，
所以的最小值为.
8.
解析　不妨设△DEF的边长为a，∠CDE=θ.
在Rt△CDE中，CD=acos θ.
因为∠ADF=π-θ-=-θ，
所以在△AFD中，
可得∠AFD=π--∠ADF=θ，
根据正弦定理可得=
所以AD=sin θ，
所以AC=CD+AD
=a=asin(θ+φ)=4，其中tan φ=
当sin(θ+φ)=1时，a取得最小值=
故△DEF面积的最小值为
S=a2=×=.
9.(1)证明　∵tan Atan B+tan Atan C=3tan Btan C，
∴
=3×
∴sin A(sin Bcos C+cos Bsin C)
=3sin Bsin Ccos A，
∴sin(B+C)sin A=3sin Bsin Ccos A，
又sin(B+C)=sin A，
∴sin2A=3sin Bsin Ccos A，
由正弦定理可得a2=3bccos A，
由余弦定理可得a2=3bccos A
=(b2+c2-a2)，
整理得3b2+3c2=5a2.
(2)解　由(1)得3b2+3c2=5a2，
即a2=(b2+c2)，
则cos A=
=
=≥
当且仅当=即b=c时，等号成立，A取最大值，
此时3b2+3c2=6b2=5a2=75，
则b2=
∵cos A=>0，则A∈
可得sin A==
故S△ABC=bcsin A=b2×=××=.
10.解　(1)∵sin(A+B)=1+2sin2且A+B+C=π，
∴sin C=1+1-cos C=2-cos C，
即sin C+cos C=2，
∴2sin=2.
∵C∈(0，π)，∴C+∈
∴C+=即C=.
(2)∵△ABC的外接圆半径为2，
∴由正弦定理知==2×2=4，
∴AB=2
∵∠ACB=∴∠ABC+∠BAC=
∵∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，
∴∠ABI+∠BAI=∴∠AIB=
设∠ABI=θ，
则∠BAI=-θ，且0<θ<
在△ABI中，由正弦定理得，
==
==4，
∴BI=4sinAI=4sin θ，
∴△ABI的周长为2+4sin+4sin θ=2+4+4sin θ=2+2cos θ+2sin θ
=4sin+2
∵0<θ<∴<θ+<
∴当θ+=即θ=时，△ABI的周长取得最大值，为4+2
故△ABI周长的最大值为4+2.§4.9　解三角形中的最值与范围问题
重点解读　解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
题型一　利用基本不等式求最值(范围)
例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=.
(1)求角A；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值.
思维升华　求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法
在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，即可得到“b2+c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积最值时，S=bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2+c2≥2bc，即可求得bc的最值.
(2)求周长a+b+c的最值时，即求b+c的最值，在等量关系中，把b2+c2换成(b+c)2-2bc，再利用基本不等式bc≤，即可求得b+c的最值.
跟踪训练1　已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin2A.
(1)求角A的大小；
(2)若a=，求△ABC周长的最大值.
题型二　转化为三角函数求最值(范围)
例2　(2024·广州模拟)如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，AB=3，BC=7，△ACD为正三角形.
(1)求AC的取值范围；
(2)设∠ABC=α，当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.
思维升华　利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
跟踪训练2　在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsin B-asin A=sin C.
(1)求角A的大小；
(2)求sin Ccos B的取值范围.
题型三　转化为其他函数求最值(范围)
例3　(2024·北京模拟)在△ABC中，AB=5，D在边AB上，且2BD=3AD，BC=2CD.
(1)若CD=2，求△ABC的周长；
(2)求△ACD周长的最大值.
思维升华　解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练3　已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=.
(1)若C=，求B；
(2)求的取值范围.
答案精析
例1　解　(1)由=，
结合正弦定理=，
得==，
所以tan A=，
又因为A∈(0，π)，所以A=.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，
得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，
即bc≤4，当且仅当b=c=2时等号成立，
所以S△ABC=bcsin A≤×4×=，
即当b=c=2时，△ABC面积的最大值为.
跟踪训练1　解　(1)由正弦定理==，
得b2+c2+bc=a2，
即b2+c2-a2=-bc，
由余弦定理得，
cos A==-，
又0(2)由a=和(1)可知b2+c2+bc=3，则3=(b+c)2-bc≥(b+c)2-=，
得4≥(b+c)2，即b+c≤2，
所以a+b+c≤2+，当且仅当b=c=1时取得等号，
所以△ABC周长的最大值为2+.
例2　解　(1)因为四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，
所以∠BAC+∠CAD<π，
又因为△ACD为正三角形，
∠CAD=，
所以0<∠BAC<，
在△ABC中，由余弦定理得
=cos∠BAC，
又因为-将AB=3，BC=7代入并整理得AC2+3AC-40>0，且AC2-6AC-40<0，解得5所以AC的取值范围是(5，10).
(2)在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos α=9+49-2×3×7cos α=58-42cos α，
由(1)知5则cos α=∈，
又因为△ACD为正三角形，
所以S△ACD=AC2=-cos α，
又S△ABC=AB·BC·sin α=sin α，
所以=S△ACD+S△ABC
=-cos α+sin α
=21×+
=21sin+，
所以当α-=，即α=时，
cos =-∈成立，
此时四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为21+.
跟踪训练2　解　(1)bsin B-asin A
=sin C=
sin C，
由正弦定理得b2-a2=
2bcsin Acos +2bccos Asin -c2，
所以bcsin A+bccos A=b2+c2-a2=2bccos A，
则sin A=cos A，cos A≠0，
所以tan A=，
又A∈，所以A=.
(2)因为△ABC为锐角三角形，
所以A+B=+B>，B>，
即sin Ccos B=sincos B
=cos B
=cos2B+sin Bcos B
=+sin 2B
=+
=sin+，
又则<2B+<，
-所以0即sin Ccos B的取值范围是.
例3　解　(1)若CD=2，则BC=2CD=4，
又AB=5，2BD=3AD，所以BD=3，AD=2，
在△BCD中，由余弦定理得
cos B=
==，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=25+16-2×5×4×=6，
故AC=，
故△ABC的周长为5+4+=9+.
(2)由(1)知，BD=3，AD=2，
设CD=x，则BC=2x，
由三边关系可得
解得1在△BCD中，由余弦定理得
cos B=
==，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=25+4x2-2×5×2x×=10-x2，
故AC=，所以△ACD的周长为+x+2，
令f(x)=+x+2，1则f'(x)=+1
=，x∈(1，3)，
当10，f(x)单调递增；
当故f(x)在x=处取得极大值，也是最大值，
故△ACD周长的最大值为f()=++2=2+2.
跟踪训练3　解　(1)由=及正弦定理可得，
=，即c2=b2+ab，
∵C=，∴c2=a2+b2，
∴b2+ab=a2+b2，
则a=b，即A=B，
又C=，∴B=.
(2)由(1)知，c2=b2+ab，
∴a=，c>b，
由三角形三边关系可得
代入化简可得b∴==+-1，
令x=，则x∈(1，2)，
令f(x)=x2+x-1，1∴f(x)=-∈(1，5)，
∴+-1∈(1，5)，
∴的取值范围是(1，5).(共70张PPT)
第四章
§4.9　解三角形中的最值
与范围问题
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解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
重点解读
例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角A；
利用基本不等式求最值(范围)
题型一
由
结合正弦定理得
所以tan A＝
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
所以S△ABC＝bcsin A≤×4×
即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为.
求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法
在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积最值时，S＝bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等
式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值.
(2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2
换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤即可求得b＋c的最值.
思维升华
跟踪训练1　已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A.
(1)求角A的大小；
由正弦定理
得b2＋c2＋bc＝a2，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得，cos A＝＝－
又0(2)若a＝求△ABC周长的最大值.
由a＝和(1)可知b2＋c2＋bc＝3，
则3＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－
得4≥(b＋c)2，即b＋c≤2，
所以a＋b＋c≤2＋当且仅当b＝c＝1时取得等号，
所以△ABC周长的最大值为2＋.
例2　(2024·广州模拟)如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，AB＝3，BC＝7，△ACD为正三角形.
(1)求AC的取值范围；
转化为三角函数求最值(范围)
题型二
因为四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，所以∠BAC＋∠CAD<π，
又因为△ACD为正三角形，∠CAD＝
所以0<∠BAC<
在△ABC中，由余弦定理得＝cos∠BAC，
又因为－将AB＝3，BC＝7代入并整理得AC2＋3AC－40>0，且AC2－6AC－40<0，解得5所以AC的取值范围是(5，10).
(2)设∠ABC＝α，当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos α＝9＋49－2×3×7cos α＝58－42cos α，
由(1)知5则cos α＝∈
又因为△ACD为正三角形，
所以S△ACD＝AC2＝cos α，
又S△ABC＝AB·BC·sin α＝sin α，
所以S四边形ABCD ＝S△ACD＋S△ABC
＝cos α＋sin α
＝21×
＝21sin
所以当α－即α＝时，cos ＝－∈成立，
此时四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为21＋.
利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
思维升华
跟踪训练2　在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsin B－asin A＝sin C.
(1)求角A的大小；
bsin B－asin A＝sin C
＝sin C，
由正弦定理得
b2－a2＝2bcsin Acos ＋2bccos Asin －c2，
所以bcsin A＋bccos A＝b2＋c2－a2＝2bccos A，
则sin A＝cos A，cos A≠0，
所以tan A＝
又A∈所以A＝.
(2)求sin Ccos B的取值范围.
因为△ABC为锐角三角形，
所以A＋B＝＋B>B>即sin Ccos B＝sincos B＝cos B
＝cos2B＋sin Bcos B＝sin 2B＝
＝sin又则<2B＋<即sin Ccos B的取值范围是.
例3　(2024·北京模拟)在△ABC中，AB＝5，D在边AB上，且2BD＝3AD，BC＝2CD.
(1)若CD＝2，求△ABC的周长；
转化为其他函数求最值(范围)
题型三
若CD＝2，则BC＝2CD＝4，
又AB＝5，2BD＝3AD，所以BD＝3，AD＝2，
在△BCD中，由余弦定理得
cos B＝
在△ABC中，
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝25＋16－2×5×4×＝6，
故AC＝
故△ABC的周长为5＋4＋＝9＋.
(2)求△ACD周长的最大值.
由(1)知，BD＝3，AD＝2，
设CD＝x，则BC＝2x，
由三边关系可得解得1在△BCD中，由余弦定理得
cos B＝
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B
＝25＋4x2－2×5×2x×＝10－x2，
故AC＝
所以△ACD的周长为＋x＋2，
令f(x)＝＋x＋2，1则f'(x)＝＋1＝x∈(1，3)，
当10，f(x)单调递增；
当故f(x)在x＝处取得极大值，也是最大值，
故△ACD周长的最大值为f()＝＋2＝2＋2.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
思维升华
跟踪训练3　已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)若C＝求B；
由及正弦定理可得，
即c2＝b2＋ab，
∵C＝∴c2＝a2＋b2，
∴b2＋ab＝a2＋b2，则a＝b，即A＝B，
又C＝∴B＝.
(2)求的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab，
∴a＝c>b，
由三角形三边关系可得
代入化简可得b∴－1，
令x＝则x∈(1，2)，
令f(x)＝x2＋x－1，1∴f(x)＝∈(1，5)，
∴－1∈(1，5)，
∴的取值范围是(1，5).
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C ACD ACD
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)∵tan Atan B+tan Atan C=3tan Btan C，
∴=3×
∴sin A(sin Bcos C+cos Bsin C)=3sin Bsin Ccos A，
∴sin(B+C)sin A=3sin Bsin Ccos A，
又sin(B+C)=sin A，∴sin2A=3sin Bsin Ccos A，
由正弦定理可得a2=3bccos A，
由余弦定理可得a2=3bccos A=(b2+c2-a2)，整理得3b2+3c2=5a2.
9.
答案
1
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3
4
5
6
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(2)由(1)得3b2+3c2=5a2，
即a2=(b2+c2)，
则cos A===≥
当且仅当=即b=c时，等号成立，A取最大值，
此时3b2+3c2=6b2=5a2=75，
9.
答案
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则b2=
∵cos A=>0，则A∈
可得sin A==
故S△ABC=bcsin A=b2×=××=.
9.
答案
1
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9
10
(1)∵sin(A+B)=1+2sin2且A+B+C=π，
∴sin C=1+1-cos C=2-cos C，
即sin C+cos C=2，
∴2sin=2.
∵C∈(0，π)，∴C+∈
∴C+=即C=.
10.
答案
1
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4
5
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10
(2)∵△ABC的外接圆半径为2，
∴由正弦定理知==2×2=4，∴AB=2
∵∠ACB=∴∠ABC+∠BAC=
∵∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，
∴∠ABI+∠BAI=∴∠AIB=
设∠ABI=θ，
10.
答案
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则∠BAI=-θ，且0<θ<
在△ABI中，由正弦定理得，
====4，
∴BI=4sinAI=4sin θ，
∴△ABI的周长为2+4sin+4sin θ=2+4
+4sin θ=2+2cos θ+2sin θ=4sin+2
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答案
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∵0<θ<<θ+<
∴当θ+=即θ=时，△ABI的周长取得最大值，为4+2
故△ABI周长的最大值为4+2.
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一、单项选择题
1.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，A＝则b的取值范围是
A.(0，6) B.(0，2)
C.(2) D.(36)
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知识过关
答案
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答案
在锐角△ABC中，a＝3，A＝
由正弦定理可得＝6，
所以b＝6sin B，
又B＋C＝
所以解得所以1
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答案
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为
A.(2，4) B.(1，3)
C.(0，3) D.(3，4)
√
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答案
由a＝c－1，b＝c＋1，则b>c>a，
所以c＋c－1>c＋1，故c>2，
由△ABC为钝角三角形，则cos B<0，
即<0，得c2－4c<0，故0故c的取值范围为(2，4).
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝3(b＋c)，A＝则△ABC周长的最大值为
A.6 B.12 C.18 D.24
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答案
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因为A＝且a2＝3(b＋c)，
由余弦定理可得，a2＝3(b＋c)＝b2＋c2－bc，
所以(b＋c)2－3(b＋c)＝3bc≤(b＋c)2，
当且仅当b＝c时，等号成立，
所以b＋c≤12，所以a＝≤6，
即△ABC周长的最大值为12＋6＝18.
答案
4.(2025·泰州模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°，B>90°，则的取值范围为
A. B.(＋∞)
C.(2，＋∞) D.(3，＋∞)
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答案
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因为C＝60°，B>90°，
所以0°即得>
由正弦定理可得×>2.
答案
二、多项选择题
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝b＝4则下列说法正确的是
A.若A＝则a＝4
B.若a＝1，则c＝
C.△ABC周长的最大值为12
D.△ABC面积的最大值12
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答案
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由正弦定理代入数据解得a＝4故A正确；
由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝c2－c＋1＝48，解得c＝或c＝(舍去)，故B错误；
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝48，
因为a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3
当且仅当a＝c＝4时，等号成立，所以a＋c≤8故△ABC周长的最大值为12故C正确；
答案
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由C选项分析可知a2＋c2－ac＝48，因为a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤48，所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝ac≤×48＝12
当且仅当a＝c＝4时等号成立，故D正确.
答案
6.(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bcos C＋3ccos B＝a2，则下列说法正确的是
A.若B＋C＝2A，则△ABC的外接圆的面积为3π
B.若A＝且△ABC有两解，则b的取值范围为[3，3]
C.若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(33)
D.若A＝2C，且sin B＝2sin C，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
√
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答案
√
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因为3bcos C＋3ccos B＝a2，
所以由正弦定理，得3sin Bcos C＋3sin Ccos B＝asin A，
即3sin(B＋C)＝asin A，
因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin A，
且sin A≠0，所以a＝3.
选项A，若B＋C＝2A，则A＝
所以△ABC的外接圆的直径2R＝＝2
所以R＝
答案
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所以△ABC的外接圆的面积为π×()2＝3π，A正确；
选项B，因为△ABC有两解，
则bsin A解得3选项C，由正弦定理得
即c＝2acos A＝6cos A，
因为△ABC为锐角三角形，
答案
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所以所以所以c＝6cos A∈(33)，C正确；
选项D，因为a＝3，sin B＝2sin C，A＝2C，
可得B＝π－3C，由正弦定理可得b＝2c，
由sin(π－3C)＝2sin C，
可得sin Ccos 2C＋cos Csin 2C＝2sin C，
答案
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由sin C≠0，可得4cos2C－1＝2，
解得cos2C＝
又B＝π－3C∈(0，π)，则C∈
故cos C＝sin C＝
可得sin A＝2sin Ccos C＝2××
由正弦定理a＝3可得c＝b＝2则a＋b＋c＝3＋3
答案
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S△ABC＝bcsin A＝×2××
设△ABC的内切圆半径为r，
则r＝
S△AOB＝cr＝××D正确.
答案
三、填空题
7.(2024·辽阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝6c2，则的最小值为　　　.
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答案
因为a2＋4b2＝6c2≥2＝4ab，
当且仅当a＝2b时，等号成立，
即≥.
由正弦定理可得≥当且仅当a＝2b时，等号成立，
所以的最小值为.
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答案
8.(2024·绵阳模拟)如图所示，在△ABC中，已知A＝C＝AC＝4，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且△DEF为等边三角形.则△DEF的面积
的最小值是　 　　.
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答案
不妨设△DEF的边长为a，∠CDE＝θ.
在Rt△CDE中，CD＝acos θ.
因为∠ADF＝π－θ－－θ，
所以在△AFD中，可得∠AFD＝π－－∠ADF＝θ，
根据正弦定理可得
所以AD＝sin θ，
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答案
所以AC＝CD＋AD＝aasin(θ＋φ)＝4，
其中tan φ＝
当sin(θ＋φ)＝1时，a取得最小值
故△DEF面积的最小值为S＝a2＝×.
四、解答题
9.(2024·铜川模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C.
(1)证明：3b2＋3c2＝5a2；
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答案
∵tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C，
∴＝3×
∴sin A(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝3sin Bsin Ccos A，
∴sin(B＋C)sin A＝3sin Bsin Ccos A，
又sin(B＋C)＝sin A，∴sin2A＝3sin Bsin Ccos A，
由正弦定理可得a2＝3bccos A，
由余弦定理可得a2＝3bccos A＝(b2＋c2－a2)，
整理得3b2＋3c2＝5a2.
(2)若a＝当A取最大值时，求△ABC的面积.
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答案
由(1)得3b2＋3c2＝5a2，
即a2＝(b2＋c2)，
则cos A＝≥
当且仅当即b＝c时，等号成立，A取最大值，
此时3b2＋3c2＝6b2＝5a2＝75，
则b2＝
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答案
∵cos A＝>0，则A∈
可得sin A＝
故S△ABC＝bcsin A＝b2×××.
10.(2025·郑州模拟)已知在△ABC中sin(A＋B)＝1＋2sin2.
(1)求角C的大小；
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答案
∵sin(A＋B)＝1＋2sin2且A＋B＋C＝π，
∴sin C＝1＋1－cos C＝2－cos C，
即sin C＋cos C＝2，
∴2sin＝2.
∵C∈(0，π)，∴C＋∈
∴C＋即C＝.
(2)如图，若∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值.
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答案
∵△ABC的外接圆半径为2，
∴由正弦定理知＝2×2＝4，
∴AB＝2
∵∠ACB＝∴∠ABC＋∠BAC＝
∵∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，
∴∠ABI＋∠BAI＝∴∠AIB＝
设∠ABI＝θ，则∠BAI＝－θ，且0<θ<
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答案
在△ABI中，由正弦定理得，
＝4，
∴BI＝4sinAI＝4sin θ，
∴△ABI的周长为2＋4sin＋4sin θ
＝2＋4＋4sin θ
＝2＋2cos θ＋2sin θ
＝4sin＋2
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答案
∵0<θ< ∴<θ＋<
∴当θ＋
即θ＝时，△ABI的周长取得最大值，为4＋2
故△ABI周长的最大值为4＋2.

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