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§4.10　解三角形应用举例
分值：80分
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.如图，设A，B两点在河的两岸，在点A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB=30°，∠CAB=105°，则A，B两点间的距离是(　　)
A.25 m B.50 m
C.25 m D.50 m
2.(2024·吉林模拟)如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为(　　)
A. n mile B.2 n mile
C.2 n mile D.3 n mile
3.如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为(　　)
A. m B. m
C. m D. m
4.(2025·贵阳模拟)如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区，是该市的标志性建筑之一.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=23°，∠CDB=30°，CD=11.2 m，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°，则甲秀楼的高度约为(参考数据：tan 72.4°≈3.15，sin 53°≈0.80)(　　)
A.18 m B.20 m C.22 m D.24 m
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2024·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有(　　)
A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离
B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β
6.(2024·重庆模拟)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD=45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC=30°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则(　　)
A.观测点B位于A处的北偏东75°方向
B.当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km
C.当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km
D.该船在由C行驶至A的这5 min内行驶了 km
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.如图，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3 n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5 n mile的C处.则两艘轮船之间的距离为　　　　　　n mile.
8.如图，小明同学为了估算某教堂的高度CD，在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15-15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°，则小明估算教堂的高度为　　　　　　.
四、解答题(共28分)
9.(13分)已知某测量小组为测量一座山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥C-OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表该山的上顶点，A，B两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测得仰角为30°，同学丙测得两个观测点之间的距离AB为90米.
(1)求；(6分)
(2)同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出cos∠CBA=，求山高OC.(7分)
10.(15分)如图，在一次海上联合作战演习中，A处的一艘红方侦察艇发现在北偏东45°方向相距12 n mile的水面上B处，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.
每小题5分，共10分
11.已知甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是(　　)
A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
12.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于危险区的时间为　　　　小时.
答案精析
1.A　2.B　3.A
4.C　[由题意可知，∠BCD=23°，∠CDB=30°，
所以∠CBD=127°，
又因为CD=11.2 m，
由正弦定理=
可得=
解得CB≈7 m，
又因为∠ACB=72.4°，
所以AB=CBtan∠ACB≈7×3.15=22.05≈22(m).]
5.BCD　[对于A，当A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；
对于B，如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=h+ADsin β，故B正确；
对于C，如图2，在Rt△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC=ACtan α，故C正确；
对于D，如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=ADsin α，故D正确.]
6.ACD　[对于A，∠ABD=∠ABC+∠CBD=30°+45°=75°，因为B在D的正北方向，所以观测点B位于A的北偏东75°方向，故A正确；
对于B，在△BCD中，∠CBD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠BCD=45°，则BD=CD=2，则BC=2故B错误；
对于C，在△ABD中，∠ABD=75°，∠ADB=60°，则∠BAD=45°，由正弦定理得=即AB==故C正确；
对于D，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=6+8-2××2×=2，即AC= km，故D正确.]
7.
解析　如图所示，连接AC，由题可知，
∠ABC=60°，
AB=BC=5 n mile，所以△ABC为正三角形，
在△ACD中，
AD=3 n mile，
∠DAC=180°-60°-75°=45°，
所以CD2=(3)2+52-2×3×5×cos 45°=13，即CD= n mile.
8.30 m
解析　由题意知，∠CAM=45°，
∠AMC=105°，
所以∠ACM=30°.
在Rt△ABM中，
AM==
在△ACM中，
由正弦定理得=
所以CM==
在Rt△DCM中，CD=CM·sin 60°
=
==30(m).
9.解　(1)在Rt△AOC中，
由∠OAC=45°得AC=OC，
在Rt△BOC中，
由∠OBC=30°得BC=2OC，
在△ABC中，利用正弦定理得=
所以==.
(2)在△ABC中，利用余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠CBA，
即2OC2=8 100+4OC2-2×90×2OC×
化简为OC2-135OC+4 050=0，
解得OC=90或OC=45，
当OC=45时，BC=90=AB，与∠CAB为钝角矛盾，
经验证OC=90符合条件，
所以山高OC为90米.
10.解　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC=14x，
BC=10x，
∠ABC=120°.
根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°，
解得x=2(负值舍去).故AC=28，BC=20.
根据正弦定理得=
所以sin α==.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
11.A　[假设经过x小时两船相距最近，甲、乙分别行至C处，D处，如图所示，
可知BC=10-4x，BD=6x，∠CBD=120°，
由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×=28x2-20x+100.
所以当x=时，两船相距最近.]
12.1
解析　设A地东北方向上存在点P到城市B的距离为30千米，AP=x，
在△ABP中，由余弦定理得PB2=AP2+AB2-2AP·AB·cos A，
即302=x2+402-2x·40·cos 45°，
化简得x2-40x+700=0，
设方程的两根为x1，x2，
则x1+x2=40x1x2=700，所以|x1-x2|==20，
即图中CD=20千米，
所以城市B处于危险区的时间为=1(小时).§4.10　解三角形应用举例
课标要求　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：
坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i==tan θ
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)西南方向与南偏西45°方向相同.(　　)
(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.(　　)
(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.(　　)
(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α+β=180°.(　　)
2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B(　　)
A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向
3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC=BC=1 km，且C=120°，则A，B两点间的距离为　　　km.
4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=15°，∠CBD=30°，CD=10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB=　　　　.
1.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.
2.谨防两个易误点
(1)注意仰角与俯角是相对水平视线而言的，是在铅垂面上所成的角；
(2)明确方位角及方向角的含义，避免因混淆概念而出错.
题型一　测量距离问题
例1　(1)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A.10 海里 B.10 海里
C.20 海里 D.20 海里
(2)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为10 km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB=45°，∠ACD=30°，∠ADC=120°，∠ADB=75°，则基站A，B之间的距离为(　　)
A.10 km B.30(-1)km
C.30(-1)km D.10 km
思维升华　距离问题的解题策略
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
跟踪训练1　如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB=5 km，AD=7 km，∠ABD=60°，∠CBD=23°，∠BCD=117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为　　　　km(精确到0.1 km，参考数据：sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891).
题型二　测量高度问题
例2　(1)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量学著作.现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1 000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3丈=5步)(　　)
A.1 200步 B.1 300步
C.1 155步 D.1 255步
(2)(2025·南京模拟)如图，某中学校园内的景观树已有百年历史，小明为了测量景观树高度，他选取与景观树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得景观树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则景观树的高度为(　　)
A.10 米 B.20 米
C. 米 D. 米
思维升华　高度问题的易错点
(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；
(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错.
跟踪训练2　矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方.如图2，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为，且AB=BC=20 m，则四门通天铜雕的高度为(　　)
A.15 m B.10 m C.6 m D.5 m
题型三　测量角度问题
例3　如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离(30-30)海里处有一个小岛C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.
思维升华　角度问题的解题方法
首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.
跟踪训练3　甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ=　　　　.
答案精析
落实主干知识
自主诊断
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.D　3.　4.20 m
探究核心题型
例1　(1)A　[依题意，如图，在△ABC中，∠BAC=70°-40°=30°，∠ABC=40°+65°=105°，则∠ACB=45°，
AB=40×=20(海里)，
由正弦定理得
=，
即=，
因此BC==10(海里)，
所以B，C两点间的距离是10 海里.]
(2)D　[在△ACD中，∠ACD=30°，∠ADC=120°，又∠ADB=75°，
所以∠BDC=45°，∠CAD=30°，∠ACD=∠CAD=30°，
所以AD=CD=10，
在△BCD中，∠CBD=180°-(30°+45°+45°)=60°，
由正弦定理得BD===5+5，
在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=+-2×10×(5+5)cos 75°=500，
所以AB=10，即基站A，B之间的距离为10 km.]
跟踪训练1　5.8
解析　在△ABD中，
有AB=5，AD=7，
∠ABD=60°，
由余弦定理可得，AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos∠ABD，
即49=25+BD2-2×5×BD×，
整理可得BD2-5BD-24=0，
解得BD=8或BD=-3(舍去).
在△BCD中，有BD=8，∠CBD=23°，
∠BCD=117°，所以∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD=40°.
由正弦定理=可得，
BC==
≈≈5.8(km).
例2　(1)D　[设海岛的高为h步，由题意知，FM=GN=5，AM=123，BN=127，MN=1 000，
则==，
即AC==，
BC==，
所以MN=BC-AC-BN+AM，
则1 000=--127+123，解得h=1 255，
即海岛的高为1 255步.]
(2)D　[依题意可得如图图形，
在△ABC中，∠BAC=90°-60°=30°，∠ACB=75°-30°=45°，AB=40，
由正弦定理得
=，
解得BC==20，
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，
所以CD=BCtan 30°=20×
=，
所以景观树的高度为米.]
跟踪训练2　B　[设OP=h，
则OA=h，OB=h，OC=h，
在△ABO中，由余弦定理得
cos∠ABO==，
在△BCO中，由余弦定理得
cos∠OBC=
=，
因为∠ABO+∠OBC=π，
所以+=0，
即800-h2=0，
解得h=10，
所以四门通天铜雕的高度为10 m.]
例3　解　(1)在△ABC中，AB=60，BC=30-30，∠ABC=180°-75°+15°=120°，
根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC
=602+(30-30)2-2×60×(30-30)·cos 120°=5 400，
所以AC=30.所以小岛A到小岛C的距离是30 海里.
(2)根据正弦定理得
=，
所以=，
解得sin∠ACB=，
在△ABC中，因为AB所以∠CAB=180°-120°-45°=15°.
由75°-15°=60°，
得游船应该沿北偏东60°的方向航行.
跟踪训练3　30°
解析　如图，设两船在C处相遇，
则由题意得∠ABC=180°-60°=120°，
且=，
由正弦定理得==，
所以sin∠BAC=.
又因为0°<∠BAC<60°，
所以∠BAC=30°，
所以θ=60°-30°=30°.(共68张PPT)
第四章
§4.10　解三角形应用举例
数学
大
一
轮
复
习
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°
术语名称 术语意义 图形表示
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：

坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)西南方向与南偏西45°方向相同.(　　)
(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.(　　)
(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.(　　)
(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
×
√
√
×
2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B
A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向
C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向
√
由题可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，
所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向.
3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为　 　km.
在△ABC中，易得A＝30°，
由正弦定理
得AB＝＝2×1×(km).
4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝　　 　.
20 m
在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，
由正弦定理
可得
可得CB＝20×＝20(m)，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
所以塔高AB＝CB＝20 m.
1.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.
2.谨防两个易误点
(1)注意仰角与俯角是相对水平视线而言的，是在铅垂面上所成的角；
(2)明确方位角及方向角的含义，避免因混淆概念而出错.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是
A.10 海里 B.10 海里
C.20 海里 D.20 海里
√
测量距离问题
题型一
依题意，如图，在△ABC中，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，
AB＝40×＝20(海里)，
由正弦定理得
即
因此BC＝＝10(海里)，
所以B，C两点间的距离是10 海里.
(2)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为10 km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，
则基站A，B之间的距离为
A.10 km B.30(－1)km
C.30(－1)km D.10 km
√
在△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又∠ADB＝75°，
所以∠BDC＝45°，∠CAD＝30°，∠ACD＝∠CAD＝30°，
所以AD＝CD＝10
在△BCD中，
∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，
由正弦定理得BD＝＝5＋5
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝－2×10×(5＋5)cos 75°＝500，
所以AB＝10即基站A，B之间的距离为10 km.
距离问题的解题策略
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
思维升华
跟踪训练1　如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离约为______km (精确到0.1 km，参考数据：sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891).
5.8
在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，
∠ABD＝60°，
由余弦定理可得，
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，
即49＝25＋BD2－2×5×BD×
整理可得BD2－5BD－24＝0，
解得BD＝8或BD＝－3(舍去).
在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，
所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.
由正弦定理可得，
BC＝≈
≈5.8(km).
例2　(1)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量学著作.现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1 000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3丈＝5步)
A.1 200步 B.1 300步
C.1 155步 D.1 255步
测量高度问题
题型二
√
设海岛的高为h步，由题意知，FM＝GN＝5，AM＝123，BN＝127，MN＝1 000，
则
即AC＝
BC＝
所以MN＝BC－AC－BN＋AM，
则1 000＝－127＋123，解得h＝1 255，
即海岛的高为1 255步.
(2)(2025·南京模拟)如图，某中学校园内的景观树已有百年历史，小明为了测量景观树高度，他选取与景观树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得景观树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则景观树的高度为
A.10 米 B.20 米
C. 米 D. 米
√
依题意可得如图图形，
在△ABC中，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40，
由正弦定理得
解得BC＝＝20
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CD＝BCtan 30°＝20×
所以景观树的高度为米.
高度问题的易错点
(1)图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；
(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错.
思维升华
跟踪训练2　矗立在上饶市市民公园(如图1)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方.如图2，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为且AB＝BC＝20 m，则四门
通天铜雕的高度为
A.15 m B.10 m
C.6 m D.5 m
√
设OP＝h，则OA＝h，OB＝h，OC＝h，
在△ABO中，由余弦定理得cos∠ABO＝
在△BCO中，由余弦定理得
cos∠OBC＝
因为∠ABO＋∠OBC＝π，
所以＝0，即800－h2＝0，
解得h＝10
所以四门通天铜雕的高度为10 m.
例3　如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离(30－30)海里处有一个小岛C.
(1)求小岛A到小岛C的距离；
测量角度问题
题型三
在△ABC中，AB＝60，BC＝30－30，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝602＋(30－30)2－2×60×(30－30)·cos 120°＝5 400，
所以AC＝30.
所以小岛A到小岛C的距离是30 海里.
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.
根据正弦定理得
所以
解得sin∠ACB＝
在△ABC中，因为AB所以∠CAB＝180°－120°－45°＝15°.
由75°－15°＝60°，
得游船应该沿北偏东60°的方向航行.
角度问题的解题方法
首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.
思维升华
跟踪训练3　甲船在A处观察乙船，乙船在它北偏东60°方向，相距a海里的B处，乙船向正北方向行驶，若甲船速度是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝　　 　.
30°
如图，设两船在C处相遇，
则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且
由正弦定理得所以sin∠BAC＝.
又因为0°<∠BAC<60°，
所以∠BAC＝30°，
所以θ＝60°－30°＝30°.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A C BCD ACD 30 m
题号 11 　12
答案 A 　1
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(1)在Rt△AOC中，
由∠OAC=45°得AC=OC，
在Rt△BOC中，
由∠OBC=30°得BC=2OC，
在△ABC中，利用正弦定理得=
所以==.
9.
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(2)在△ABC中，利用余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠CBA，
即2OC2=8 100+4OC2-2×90×2OC×
化简为OC2-135OC+4 050=0，
解得OC=90或OC=45，
当OC=45时，BC=90=AB，与∠CAB为钝角矛盾，
经验证OC=90符合条件，
所以山高OC为90米.
9.
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如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC=14x，
BC=10x，
∠ABC=120°.
根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°，
解得x=2(负值舍去).故AC=28，BC=20.
10.
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根据正弦定理得=
所以sin α==.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，
角α的正弦值为.
10.
一、单项选择题
1.如图，设A，B两点在河的两岸，在点A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离是
A.25 m B.50 m
C.25 m D.50 m
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知识过关
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答案
在△ABC中，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，
所以∠ABC＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理
得AB＝＝25(m).
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答案
2.(2024·吉林模拟)如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为
A. n mile
B.2 n mile
C.2 n mile
D.3 n mile
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答案
由题意知，AB＝∠BAC＝45°，∠BCA＝30°，
在△ABC中，由正弦定理得
所以BC＝＝2，
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile.
3.如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为
A. m B. m
C. m D. m
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答案
设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B(图略)，则易得AB＝BD＝AB·tan 30°＝·tan 30°＝×(m)，
所以CD＝BC－BD＝200－(m).
4.(2025·贵阳模拟)如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区，是该市的标志性建筑之一.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝23°，∠CDB＝30°，CD＝11.2 m，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角
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答案
为72.4°，则甲秀楼的高度约为(参考数据：tan 72.4°≈3.15，sin 53° ≈0.80)
A.18 m B.20 m
C.22 m D.24 m
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答案
由题意可知，∠BCD＝23°，∠CDB＝30°，
所以∠CBD＝127°，
又因为CD＝11.2 m，
由正弦定理
可得
解得CB≈7 m，
又因为∠ACB＝72.4°，
所以AB＝CBtan∠ACB≈7×3.15＝22.05≈22(m).
二、多项选择题
5.(2024·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有
A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，
B两点间距离
B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物
底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再
次测量旗杆顶端的仰角β
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对于A，当A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；
对于B，如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝h＋ADsin β，故B正确；
对于C，如图2，在Rt△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC＝ACtan α，故C正确；
对于D，如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝ADsin α，故D正确.
6.(2024·重庆模拟)如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则
A.观测点B位于A处的北偏东75°方向
B.当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km
C.当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km
D.该船在由C行驶至A的这5 min内行驶了 km
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答案
对于B，在△BCD中，∠CBD＝45°，∠CDB＝∠ADC
＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，即∠BCD＝45°，则BD＝CD＝2，则BC＝2故B错误；
对于C，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，则∠BAD＝45°，由
正弦定理得即AB＝故C正确；
对于A，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，因为B在D的正北方向，所以观测点B位于A的北偏东75°方向，故A正确；
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答案
对于D，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝6＋8－2××2×＝2，即AC＝ km，故D正确.
三、填空题
7.如图，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3 n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5 n mile的C处.则两艘轮船之间的距离为　　　　n mile.
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答案
如图所示，连接AC，
由题可知，∠ABC＝60°，AB＝BC＝5 n mile，
所以△ABC为正三角形，
在△ACD中，AD＝3 n mile，
∠DAC＝180°－60°－75°＝45°，
所以CD2＝(3)2＋52－2×3×5×cos 45°＝13，即CD＝ n mile.
8.如图，小明同学为了估算某教堂的高度CD，在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°，则小明估算教堂的高度为　　　　　.
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30 m
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答案
由题意知，∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，
所以∠ACM＝30°.
在Rt△ABM中，AM＝
在△ACM中，由正弦定理得
所以CM＝
在Rt△DCM中，CD＝CM·sin 60°＝＝
30(m).
四、解答题
9.已知某测量小组为测量一座山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥C－OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表该山的上顶点，A，B两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测
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答案
得仰角为30°，同学丙测得两个观测点之间的距离AB为90米.
(1)求；
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答案
在Rt△AOC中，由∠OAC＝45°得AC＝OC，
在Rt△BOC中，由∠OBC＝30°得BC＝2OC，
在△ABC中，利用正弦定理得
所以.
(2)同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出cos∠CBA＝求山高OC.
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答案
在△ABC中，利用余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠CBA，
即2OC2＝8 100＋4OC2－2×90×2OC×
化简为OC2－135OC＋4 050＝0，
解得OC＝90或OC＝45，
当OC＝45时，BC＝90＝AB，与∠CAB为钝角矛盾，
经验证OC＝90符合条件，
所以山高OC为90米.
10.如图，在一次海上联合作战演习中，A处的一艘红方侦察艇发现在北偏东45°方向相距12 n mile的水面上B处，有蓝方一艘小艇正以每小时
10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.
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答案
如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得
(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2(负值舍去).故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得
所以sin α＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
11.已知甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是
A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
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能力拓展
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假设经过x小时两船相距最近，甲、乙分别行至C处，D处，如图所示，
可知BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝120°，
由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝
(10－4x)2＋36x2＋2×(10－4x)×6x×＝28x2－20x＋100.
所以当x＝时，两船相距最近.
12.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心
30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于危险区的时间为　　　小时.
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答案
设A地东北方向上存在点P到城市B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，由余弦定理得PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，
即302＝x2＋402－2x·40·cos 45°，
化简得x2－40x＋700＝0，
设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝40x1x2＝700，
所以|x1－x2|＝＝20，
即图中CD＝20千米，
所以城市B处于危险区的时间为＝1(小时).
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