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必刷小题7　三角函数
分值：73分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=sin 3x的图象，则f(x)等于(　　)
A.cos 3x B.-cos 3x
C.sin 3x D.-sin 3x
2.(2025·烟台模拟)已知cos=，则sin 2α等于(　　)
A.- B. C.- D.
3.(2024·吕梁模拟)tan 67.5°-1等于(　　)
A. B. C. D.
4.若5sin 2α+5cos 2α+1=0，则tan α的值为(　　)
A.2或- B.3或-
C.-2或 D.-3或
5.(2024·昭通模拟)折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图甲).图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且∠ABC=.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是(　　)
A.292π B.π
C.195π D.243π
6.(2025·南充模拟)已知角α顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，则cos等于(　　)
A.- B. C.- D.
7.(2024·运城模拟)4sin 140°-tan 220°等于(　　)
A. B.- C.1 D.-1
8.已知函数f(x)=xsin(ω>0)， x1，x2∈，且x10，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限，则下列三角函数值中大于零的是(　　)
A.sin(π+α) B.cos(π-α)
C.cos D.sin
10.(2024·辽阳模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A.f(x)的最小正周期为6
B.f(x+5)=f(5-x)
C.将f(x)的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称
D.f(x)在区间[3，5]上单调递增
11.(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，满足f =2，f =0，则(　　)
A.函数f(x)的值域为[-2，2]
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f 是奇函数
D.函数f(x)在上单调递减
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为　　　　　　.
13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.
14.设函数f(x)=sin在上的值域为[M，N]，则N-M的取值范围是　　　　　　.
答案精析
1.B　2.A　3.A
4.B　[5cos 2α+5sin 2α+1=0
5(cos2α-sin2α)+10sin αcos α+cos2α+sin2α=0
3cos2α-2sin2α+5sin αcos α=0，
显然cos α≠0，则2tan2α-5tan α-3=0，
解得tan α=-或tan α=3.]
5.C　[设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，
利用弧长公式可得2πr=×12，解得r=4，
又2πR=×27，解得R=9，
又圆台的母线长l=27-12=15，
所以圆台的侧面积S=π(4+9)×15=195π.]
6.C　[∵角α的终边与单位圆相交于点P
∴sin α=cos α=-
∴cos=cos αcos -sin αsin
==-.]
7.A　[原式=4sin 40°-tan 40°
=4sin 40°-
=
=
=
=
=
=
=
===.]
8.A　[由x2f(x1)-x1f(x2)>0，
得>
设g(x)==sin
x∈
由于x1，x2∈且当x1g(x2)，
可知g(x)在上单调递减，
故当x∈ω>0时，ωx+∈
k∈Z，
即k∈Z，
解得+4k≤ω≤+k∈Z，
因为ω>0，则k≥0，k∈Z，
由+4k≤+得k=0，
则≤ω≤.]
9.ABC　[因为角α的终边在第三象限，
所以sin(π+α)=-sin α>0，故A满足条件；
cos(π-α)=-cos α>0，故B满足条件；
cos=-sin α>0，故C满足条件；
sin=cos α<0，故D不满足条件.]
10.ABD　[由图可知A=2，
f(0)=2sin φ=1，
所以sin φ=
因为|φ|<所以φ=
则f(x)=2sin
又f =2sin=0，ω<0，
所以+=2kπ，k∈Z，
则ω=-+4kπ，k∈Z，
又=->所以-π<ω<0，故ω=-
则f(x)=2sin
则T==6，故A正确；
f(5)=2sin=2，所以直线x=5是f(x)=2sin的一条对称轴，故B正确；
f =2sin图象不关于原点对称，故C错误；
当x∈[3，5]时，-x+∈此时f(x)在区间[3，5]上单调递增，故D正确.]
11.ABC　[由题意知f(x)=2sin所以函数f(x)的值域为[-2，2]，故A正确；
因为f =0，所以ω+=k1π，k1∈Z，所以ω=k1∈Z.因为f =2，所以ω+=+2k2π，k2∈Z，所以ω=12k2+1，k2∈Z，所以=12k2+1，即k1=8k2+1，所以ω∈{1，13，25，37，…}.因为f =2sin=2sin=-2，所以f(x)的图象关于直线x=对称，故B正确；
因为f
=2sin
=2sin[(12k2+1)x-4k2π]
=2sin[(12k2+1)x]，
即f=-f
且f 的定义域为R，所以函数f 是奇函数，故C正确；
当k2=1，即ω=13时，f(x)的最小正周期T==<-=π，故D错误.]
12.
解析　由题意得3cos=3cos=3cos=0，
∴+φ=kπ+(k∈Z)，
∴φ=kπ-(k∈Z)，
取k=0，得|φ|的最小值为.
13.-
解析　方法一　由题意得tan(α+β)
===-2
因为α∈
β∈k，m∈Z，
则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，又因为tan(α+β)=-2<0，则α+β∈
k，m∈Z，
则sin(α+β)<0，
则=-2
联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，
解得sin(α+β)=-.
方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角，
则cos α>0，cos β<0，
cos α==
cos β==
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=cos αcos β(tan α+tan β)
=4cos αcos β=
=
==-.
14.
解析　函数f(x)=sin的最小正周期T=π，
而-α=<
当函数f(x)在上单调时，
N-M=
=
=|cos 2α|≤；
当函数f(x)在上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当f(x)在上的图象关于直线x=α+对称时，N-M最小，
此时2-=kπ+k∈Z，
即α=+k∈Z，
因此(N-M)min=
=
=
==
所以N-M的取值范围是.(共34张PPT)
第四章
必刷小题7　三角函数
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
1
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3
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9
10
11
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13
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A B C C A A
题号 9 10 11 12 13 　14
答案 ABC ABD ABC -
一、单项选择题
1.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin 3x的图象，则f(x)等于
A.cos 3x B.－cos 3x C.sin 3x D.－sin 3x
√
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知识过关
答案
由题意可知，将函数g(x)＝sin 3x的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象，故f(x)＝sin 3＝sin＝－cos 3x.
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答案
2.(2025·烟台模拟)已知cos则sin 2α等于
A.－ B. C.－ D.
√
因为cos(cos α＋sin α)＝
所以cos α＋sin α＝
两边平方，可得1＋sin 2α＝则sin 2α＝－.
3.(2024·吕梁模拟)tan 67.5°－1等于
A. B. C. D.
√
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由tan 135°＝＝－1，
得2tan 67.5°＝－1＋tan267.5°，
即(tan 67.5°－1)2＝2，
tan 67.5°>tan 45°＝1，
所以tan 67.5°－1＝.
答案
4.若5sin 2α＋5cos 2α＋1＝0，则tan α的值为
A.2或－ B.3或－
C.－2或 D.－3或
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5cos 2α＋5sin 2α＋1＝0
5(cos2α－sin2α)＋10sin αcos α＋cos2α＋sin2α＝0
3cos2α－2sin2α＋5sin αcos α＝0，
显然cos α≠0，则2tan2α－5tan α－3＝0，
解得tan α＝－或tan α＝3.
答案
5.(2024·昭通模拟)折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图甲).图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且∠ABC＝.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是
A.292π B.π
C.195π D.243π
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答案
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，
利用弧长公式可得2πr＝×12，解得r＝4，
又2πR＝×27，解得R＝9，
又圆台的母线长l＝27－12＝15，
所以圆台的侧面积S＝π(4＋9)×15＝195π.
6.(2025·南充模拟)已知角α顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P则cos等于
A.－ B. C.－ D.
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∵角α的终边与单位圆相交于点P
∴sin α＝cos α＝－
∴cos＝cos αcos －sin αsin
＝＝－.
答案
7.(2024·运城模拟)4sin 140°－tan 220°等于
A. B.－ C.1 D.－1
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答案
原式＝4sin 40°－tan 40°＝4sin 40°－＝
＝＝＝
＝＝
＝＝.
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答案
8.已知函数f(x)＝xsin(ω>0)， x1，x2∈且x10，则ω的取值范围是
A. B.
C. D.
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由x2f(x1)－x1f(x2)>0，得>
设g(x)＝＝sinx∈
由于x1，x2∈且当x1g(x2)，
可知g(x)在上单调递减，
故当x∈ω>0时，ωx＋∈ k∈Z，
答案
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即k∈Z，
解得＋4k≤ω≤k∈Z，
因为ω>0，则k≥0，k∈Z，
由＋4k≤得k＝0，
则≤ω≤.
答案
二、多项选择题
9.若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限，则下列三角函数值中大于零的是
A.sin(π＋α) B.cos(π－α)
C.cos D.sin
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答案
因为角α的终边在第三象限，
所以sin(π＋α)＝－sin α>0，故A满足条件；
cos(π－α)＝－cos α>0，故B满足条件；
cos＝－sin α>0，故C满足条件；
sin＝cos α<0，故D不满足条件.
10.(2024·辽阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则
A.f(x)的最小正周期为6
B.f(x＋5)＝f(5－x)
C.将f(x)的图象向右平移个单位长度后所得的图象
关于原点对称
D.f(x)在区间[3，5]上单调递增
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答案
由图可知A＝2，f(0)＝2sin φ＝1，
所以sin φ＝
因为|φ|<所以φ＝
则f(x)＝2sin
又f ＝2sin＝0，ω<0，
所以＝2kπ，k∈Z，
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答案
则ω＝－＋4kπ，k∈Z，
又＝－>所以－π<ω<0，故ω＝－
则f(x)＝2sin则T＝＝6，故A正确；
f(5)＝2sin＝2，所以直线x＝5是f(x)＝2sin的一条对称轴，故B正确；
f ＝2sin图象不关于原点对称，故C错误；
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答案
当x∈[3，5]时，－x＋∈
此时f(x)在区间[3，5]上单调递增，故D正确.
11.(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，满足f ＝2，f ＝0，则
A.函数f(x)的值域为[－2，2]
B.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
C.函数f 是奇函数
D.函数f(x)在上单调递减
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答案
由题意知f(x)＝2sin所以函数f(x)的值域为[－2，2]，故A正确；
因为f ＝0，所以ω＋＝k1π，k1∈Z，所以ω＝k1∈Z.因为f ＝2，所以ω＋＋2k2π，k2∈Z，所以ω＝12k2＋1，k2∈Z，所以＝12k2＋1，即k1＝8k2＋1，所以ω∈{1，13，25，37，…}.因为f ＝2sin＝2sin＝－2，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；
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答案
因为f ＝2sin
＝2sin[(12k2＋1)x－4k2π]＝2sin[(12k2＋1)x]，
即f ＝－f 且f 的定义域为R，
所以函数f 是奇函数，故C正确；
当k2＝1，即ω＝13时，f(x)的最小正周期T＝<＝π，故D
错误.
三、填空题
12.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值
为　　　.
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答案
由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，
取k＝0，得|φ|的最小值为.
13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋
tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝　　　　.
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答案
－
方法一　由题意得tan(α＋β)＝＝－2
因为α∈
β∈k，m∈Z，
则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
又因为tan(α＋β)＝－2<0，
则α＋β∈k，m∈Z，
则sin(α＋β)<0，
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答案
则＝－2
联立 sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，
解得sin(α＋β)＝－.
方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0，
cos α＝
cos β＝
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答案
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝cos αcos β(tan α＋tan β)
＝4cos αcos β＝
＝
＝＝－.
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答案
14.设函数f(x)＝sin上的值域为[M，N]，则N－M的
取值范围是　　　 .
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答案
函数f(x)＝sin的最小正周期T＝π，而－α＝<
当函数f(x)在上单调时，
N－M＝＝
＝|cos 2α|≤；
当函数f(x)在上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当f(x)在上的图象关于直线x＝α＋对称时，N－M最小，
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答案
此时2＝kπ＋k∈Z，
即α＝k∈Z，
因此(N－M)min＝＝
＝＝
所以N－M的取值范围是.

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