资源简介

必刷小题8　解三角形
分值：73分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·江门模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=30°，b=2，c=2，则角A的大小为(　　)
A.45° B.135°或45°
C.15° D.105°或15°
2.(2024·葫芦岛模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，B=，△ABC的面积为，则b等于(　　)
A.2 B.4 C.2 D.
3.(2024·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B=4sin2A，cos C=，则等于(　　)
A. B. C. D.
4.宝塔山是延安的标志，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡A处测得∠CAD=15°，从A处沿山坡往上前进66 m到达B处，在山坡B处测得∠CBD=30°，则宝塔CD的高为(　　)
A.44 m B.42 m C.48 m D.46 m
5.在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，∠ABC=45°，则sin∠ADC的值为(　　)
A. B.
C. D.
6.(2025·绵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知+=，则等于(　　)
A.4 051 B.4 050
C.4 048 D.4 047
7.在锐角△ABC中，B=60°，AB=1，则AB边上的高的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
8.(2025·长沙模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上的点，AC=2AB，CD=1，AE=3EC，∠ADB=∠EDC=α，则cos α等于(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是(　　)
A.a=3，b=4，A=
B.a=3，b=4，cos B=
C.a=3，b=4，C=
D.a=3，b=4，B=
10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离12 n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是(　　)
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C.灯塔C在D处的南偏西30°
D.D在灯塔B的北偏西30°
11.(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列命题正确的是(　　)
A.若a=3，b=3，B=30°，则A=60°
B.若A>B，则sin A>sin B
C.若D.若a=，b=3，c2+ab=a2+b2，则△ABC的面积为3
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C=sin2A+cos2B-sin Asin C，且b=6，则B=　　　　，△ABC外接圆的面积为　　　　.
13.(2025·成都模拟)平面四边形ABCD中，AB=6，AD=CD=4，BC=2，若A，B，C，D四点共圆，则该四边形的面积为　　　　　　.
14.在△ABC中，a=，A=，则△ABC的周长的取值范围为　　　　　　.
答案精析
1.D　2.C
3.D　[∵9sin2B=4sin2A，∴9b2=4a2，即b=
∵cos C===
∴=则=.]
4.A　[由题可知∠CAD=15°，
∠CBD=30°，
则∠ACB=15°，所以BC=AB=66，
设坡角为θ，则由题可得tan θ=
则可求得cos θ=
在△BCD中，∠BDC=θ+90°，
由正弦定理可得
=
即==
解得CD=44，故宝塔CD的高为44 m.]
5.C　[如图，在△ABD中，由正弦定理得
=
即=
故sin∠BAD=.
又BD故∠BAD只能是锐角，
故cos∠BAD=.
所以sin∠ADC
=sin(∠BAD+∠ABD)=
×+×=.]
6.A　[在△ABC中，
+=
可得2 025=
即2 025·
=
故2 025·=
即2 025·=
所以2 025·=cos C，
所以2 025·=
即4 050c2=a2+b2-c2，所以4 051c2=a2+b2，故=4 051.]
7.D　[设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB边上的高h=asin B=a，由正弦定理得a===
=+.
由△ABC为锐角三角形，
可知30°则tan C>
所以a=+∈
从而h∈
因此AB边上的高的取值范围是.]
8.D　[由D是BC的中点，AC=2AB，CD=1，AE=3EC，
设CE=x，则BD=1，AE=3x，AB=2x，
在△ABC中，由正弦定理得
=
即sin B=2sin C，
在△ABD中，由正弦定理得
=①
在△CED中，由正弦定理得
=②
由①②得2=·=·
即AD=4DE.
在△ABD中，由余弦定理得
4x2=1+AD2-2ADcos α
=1+16DE2-8DEcos α，③
在△CDE中，由余弦定理得
x2=1+DE2-2DEcos α，④
由③④得4+4DE2=1+16DE2，
解得DE=AD=2，
则x2=1+-2×cos α
=-cos α.
在△ADE中，由余弦定理得9x2=AD2+DE2-2AD·DE·cos(π-2α)
=4++2×2×cos 2α
=+2cos 2α=4cos2α+
可得-9cos α=4cos2α+
解得cos α=(-3舍去).]
9.BCD　[根据题意，A中，由正弦定理= sin B=×sin A=
因为<<所以角B在和上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于π，所以A不满足题意；
B中，根据余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B，
即16=9+c2-c，
解得c=5或c=-(舍)，
所以只有1个解，满足题意；
C中，条件为边角边，根据余弦定理可以求得唯一的c边，所以有唯一解，满足题意；
D中，由正弦定理= sin A
=×sin B=
因为<
所以角A在和上各有一个解，当解在上时，角B与角A的和大于π，所以只有1个解，满足题意.]
10.AC　[由题意可知∠ADB=60°，
∠BAD=75°，
∠CAD=30°，所以B=180°-60°-75°=45°，AB=12AC=8
在△ABD中，
由正弦定理得=
所以AD==24(n mile)，故A正确；
在△ACD中，由余弦定理得CD=
=
=8(n mile)，故B错误；
因为CD=AC，
所以∠CDA=∠CAD=30°，
所以灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确；
由∠ADB=60°，可知D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.]
11.BC　[对于A，由于a=3b=3，B=30°，
利用正弦定理=
解得sin A=
由于0°对于B，当A>B时，a>b，
根据正弦定理=
可得sin A>sin B，故B正确；
对于C，若则c结合余弦定理cos A=
得a2+c2故△ABC为钝角三角形，故C正确；
对于D，若a=b=3，
且c2+ab=a2+b2，
利用余弦定理可得ab=2abcos C，
解得cos C=
因为0°所以S△ABC=absin C=××3×=故D错误.]
12.　12π
解析　由cos2C=sin2A+cos2B-sin Asin C，
可得1-sin2C=sin2A+1-sin2B-sin Asin C，
即sin2A+sin2C-sin2B=sin Asin C，
则由正弦定理得ac=a2+c2-b2，
由余弦定理得cos B==
又因为B∈(0，π)，可得B=
设△ABC外接圆的半径为R，
则R==2
所以△ABC外接圆的面积为πR2=12π.
13.8
解析　因为AB=6，AD=CD=4，BC=2，且A，B，C，D四点共圆，
所以B+D=π，
即cos B+cos D=0，
在△ABC中，由余弦定理可得
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=36+4-2×6×2cos B=40-24cos B，
在△ACD中，由余弦定理可得
AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos D=16+16+2×4×4cos B
=32+32cos B，
可得40-24cos B=32+32cos B，
解得cos B=cos D=-
所以sin B=sin D=
所以=S△ABC+S△ACD
=AB·BCsin B+AD·CDsin D
=×6×2×+×4×4×=8.
14.(23]
解析　由正弦定理，得
==
即===2，
∴b=2sin B，c=2sin C，
∴△ABC的周长为L=a+b+c
=+2sin B+2sin C
=+2sin B+2sin
=+3sin B+cos B
=+2sin
又B∈
∴B+∈
∴sin∈
∴L∈(23].
即△ABC的周长的取值范围为(23].(共37张PPT)
第四章
必刷小题8　解三角形
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C A D D
题号 9 10 11 12 13 14
答案 BCD AC BC 　12π 8 (23]
一、单项选择题
1.(2025·江门模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝30°，b＝2，c＝2则角A的大小为
A.45° B.135°或45°
C.15° D.105°或15°
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答案
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答案
因为B＝30°，b＝2，c＝2
由正弦定理得sin C＝
因为c>b，所以C>B，故C＝45°或135°，
可得A＝180°－B－C＝105°或15°.
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答案
2.(2024·葫芦岛模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝△ABC的面积为则b等于
A.2 B.4 C.2 D.
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答案
由于故a＝c，
由于B＝△ABC的面积为
故S＝acsin B＝
整理得·c·c·
解得c＝2，a＝2
利用余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝12＋4－2×2×2×＝4，
解得b＝2.
3.(2024·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B＝4sin2A，cos C＝则等于
A. B. C. D.
√
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∵9sin2B＝4sin2A，∴9b2＝4a2，即b＝
∵cos C＝
∴则.
答案
4.宝塔山是延安的标志，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡A处测得∠CAD＝15°，从A处沿山坡往上前进66 m到达B处，在山坡B处测得∠CBD＝30°，则宝塔CD的高为
A.44 m B.42 m
C.48 m D.46 m
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答案
由题可知∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，
则∠ACB＝15°，所以BC＝AB＝66，
设坡角为θ，则由题可得tan θ＝
则可求得cos θ＝
在△BCD中，∠BDC＝θ＋90°，
由正弦定理可得
即
解得CD＝44，故宝塔CD的高为44 m.
5.在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，则sin∠ADC的值为
A. B.
C. D.
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答案
如图，在△ABD中，由正弦定理得
即
故sin∠BAD＝.
又BD所以sin∠ADC＝sin(∠BAD＋∠ABD)＝××.
6.(2025·绵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知则等于
A.4 051 B.4 050
C.4 048 D.4 047
√
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答案
在△ABC中
可得2 025
即2 025·
故2 025·
即2 025·所以2 025·＝cos C，
所以2 025·即4 050c2＝a2＋b2－c2，所以4 051c2＝a2＋b2，故＝4 051.
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答案
7.在锐角△ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是
A. B.
C. D.
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√
答案
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则AB边上的高h＝asin B＝a，
由正弦定理得a＝.
由△ABC为锐角三角形，可知30°则tan C>所以a＝∈
从而h∈
因此AB边上的高的取值范围是.
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答案
8.(2025·长沙模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上的点，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，∠ADB＝∠EDC＝α，则cos α等于
A. B.
C. D.
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答案
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答案
由D是BC的中点，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，
设CE＝x，则BD＝1，AE＝3x，AB＝2x，
在△ABC中，由正弦定理得
即sin B＝2sin C，
在△ABD中，由正弦定理得 ①
在△CED中，由正弦定理得 ②
由①②得2＝··
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答案
即AD＝4DE.
在△ABD中，
由余弦定理得4x2＝1＋AD2－2ADcos α＝1＋16DE2－8DEcos α， ③
在△CDE中，由余弦定理得
x2＝1＋DE2－2DEcos α， ④
由③④得4＋4DE2＝1＋16DE2，
解得DE＝AD＝2，
则x2＝1＋－2×cos α＝－cos α.
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答案
在△ADE中，由余弦定理得
9x2＝AD2＋DE2－2AD·DE·cos(π－2α)
＝4＋＋2×2×cos 2α
＝＋2cos 2α＝4cos2α＋
可得－9cos α＝4cos2α＋
解得cos α＝(－3舍去).
二、多项选择题
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是
A.a＝3，b＝4，A＝
B.a＝3，b＝4，cos B＝
C.a＝3，b＝4，C＝
D.a＝3，b＝4，B＝
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答案
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答案
根据题意，A中，由正弦定理 sin B＝×sin A＝
因为<<所以角B在和上各有一个解，并且这两个
解与角A的和都小于π，所以A不满足题意；
B中，根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，
即16＝9＋c2－c，
解得c＝5或c＝－(舍)，
所以只有1个解，满足题意；
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答案
C中，条件为边角边，根据余弦定理可以求得唯一的c边，所以有唯一解，满足题意；
D中，由正弦定理 sin A＝×sin B＝因为<
所以角A在和上各有一个解，当解在上时，角B与角A的和大于π，所以只有1个解，满足题意.
10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离12 n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C.灯塔C在D处的南偏西30°
D.D在灯塔B的北偏西30°
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答案
由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12AC＝8
在△ABD中，由正弦定理得
所以AD＝＝24(n mile)，故A正确；
在△ACD中，由余弦定理得CD＝
＝
＝8(n mile)，故B错误；
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答案
因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，
所以灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确；
由∠ADB＝60°，可知D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.
11.(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列命题正确的是
A.若a＝3b＝3，B＝30°，则A＝60°
B.若A>B，则sin A>sin B
C.若D.若a＝b＝3，c2＋ab＝a2＋b2，则△ABC的面积为3
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答案
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答案
对于A，由于a＝3b＝3，B＝30°，
利用正弦定理解得sin A＝
由于0°对于B，当A>B时，a>b，
根据正弦定理
可得sin A>sin B，故B正确；
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答案
对于C，若结合余弦定理cos A＝得a2＋c2故△ABC为钝角三角形，故C正确；
对于D，若a＝b＝3，且c2＋ab＝a2＋b2，
利用余弦定理可得ab＝2abcos C，解得cos C＝
因为0°所以S△ABC＝absin C＝××3×故D错误.
三、填空题
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C＝sin2A＋
cos2B－sin Asin C，且b＝6，则B＝　 　，△ABC外接圆的面积为　　 .
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答案
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答案
由cos2C＝sin2A＋cos2B－sin Asin C，
可得1－sin2C＝sin2A＋1－sin2B－sin Asin C，
即sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C，
则由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，
由余弦定理得cos B＝
又因为B∈(0，π)，可得B＝
设△ABC外接圆的半径为R，则R＝＝2
所以△ABC外接圆的面积为πR2＝12π.
13.(2025·成都模拟)平面四边形ABCD中，AB＝6，AD＝CD＝4，BC＝2，若A，B，C，D四点共圆，则该四边形的面积为　　 　.
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答案
因为AB＝6，AD＝CD＝4，BC＝2，且A，B，C，D四点共圆，
所以B＋D＝π，
即cos B＋cos D＝0，
在△ABC中，由余弦定理可得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝36＋4－2×6×2cos B＝40－24cos B，
在△ACD中，由余弦定理可得
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos D＝16＋16＋2×4×4cos B＝32＋32cos B，
可得40－24cos B＝32＋32cos B，
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答案
解得cos B＝cos D＝－
所以sin B＝sin D＝
所以S四边形ABCD ＝S△ABC＋S△ACD
＝AB·BCsin B＋AD·CDsin D
＝×6×2××4×4×＝8.
14.在△ABC中，a＝A＝则△ABC的周长的取值范围为　 　　　.
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(23]
答案
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答案
由正弦定理，得即＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c
＝＋2sin B＋2sin C
＝＋2sin B＋2sin
＝＋3sin B＋cos B
＝＋2sin
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答案
又B∈∴B＋∈
∴sin∈∴L∈(23].
即△ABC的周长的取值范围为(23].

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