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必刷大题9　解三角形
分值：60分
1.(13分)(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.
(1)求sin∠ABC；(6分)
(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.(7分)
2.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A=2sin B.
(1)若b=2，c=2，求C的大小；(5分)
(2)点D在边AB上，且AD=AB，证明：CD平分∠ACB.(10分)
3.(15分)(2024·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin B+sin C=2sin Acos B.
(1)证明：a2-b2=bc；(5分)
(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？(10分)
4.(17分)(2025·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos C-asin C=b.
(1)求角A的大小；(7分)
(2)若a=2，求BC边上的中线AD长度的最小值.(10分)
答案精析
1.解　(1)由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC
=4+1-2×2×1×cos 120°=7，
则BC=
由正弦定理可得sin∠ABC
===.
(2)由三角形面积公式可得
==4，
则S△ACD=S△ABC
=×=.
2.(1)解　由sin A=2sin B，得a=2b=4，
由余弦定理可知
cos C==-
又C∈(0，π)，则C=.
(2)证明　在△ACD中，
由正弦定理可知
=
则sin∠ACD=
在△BCD中，由正弦定理可知
=
则sin∠BCD=
又sin∠BDC=sin∠ADC，
故sin∠BCD=sin∠ACD，即∠BCD=∠ACD或∠BCD=π-∠ACD，
又∠ACB=∠BCD+∠ACD为△ABC的内角，
所以∠BCD=∠ACD，
故CD平分∠ACB.
3.(1)证明　sin B+sin C=2sin Acos B，
由正弦定理可得b+c=2acos B，
又∵cos B=
∴b+c=
∴bc+c2=a2+c2-b2，
∴a2-b2=bc.
(2)解　由(1)知b+c=2acos∠CBA，
∴cos∠CBA==
在△BCD中，BC=a，BD=1，
∴cos∠CBD=
又∵cos∠CBD=cos(π-∠CBA)
=-cos∠CBA，
∴-=
∴-b-3=1+a2-CD2，
∴CD2=4+a2+b，
又∵a2-b2=bc，c=3，
∴CD2=4+b2+3b+b=b2+4b+4=(b+2)2，
∵CD>0，∴CD=b+2，
∴CD-CA=b+2-b=2.
综上所述，CD-CA为定值2.
4.解　(1)由acos C-asin C=b结合正弦定理，
得sin Acos C-sin Asin C=sin B.
因为A+B+C=π，
所以sin Acos C-sin Asin C
=sin(A+C)
=(sin Acos C+cos Asin C)，
所以-sin Asin C=cos Asin C.
因为sin C>0，所以tan A=-.
因为A∈(0，π)，所以A=.
(2)在△ABC中，由余弦定理，
得a2=b2+c2-2bccos
所以4=b2+c2+bc.①
因为AD为BC边上的中线，
所以=+)，
所以||2==+)2
=(c2+b2-bc).②
由①得b2+c2=4-bc，③
代入②得||2=1-bc.④
由③得4-bc=b2+c2≥2bc，
所以bc≤
当且仅当
即b=c=时取等号，
代入④得||2=1-bc≥
所以AD≥
故AD长度的最小值为.(共29张PPT)
第四章
必刷大题9　解三角形
数学
大
一
轮
复
习
答案
1
2
3
4
(1)由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC
=4+1-2×2×1×cos 120°=7，
则BC=
由正弦定理可得sin∠ABC===.
(2)由三角形面积公式可得==4，
则S△ACD=S△ABC=×=.
1.
答案
1
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3
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(1)由sin A=2sin B，得a=2b=4，
由余弦定理可知
cos C==-
又C∈(0，π)，则C=.
2.
答案
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(2)在△ACD中，
由正弦定理可知=
则sin∠ACD=
在△BCD中，由正弦定理可知=
则sin∠BCD=
2.
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又sin∠BDC=sin∠ADC，
故sin∠BCD=sin∠ACD，即∠BCD=∠ACD或∠BCD=π-∠ACD，
又∠ACB=∠BCD+∠ACD为△ABC的内角，
所以∠BCD=∠ACD，
故CD平分∠ACB.
2.
答案
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(1)sin B+sin C=2sin Acos B，
由正弦定理可得b+c=2acos B，
又∵cos B=
∴b+c=
∴bc+c2=a2+c2-b2，
∴a2-b2=bc.
3.
答案
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(2)由(1)知b+c=2acos∠CBA，
∴cos∠CBA==
在△BCD中，BC=a，BD=1，
∴cos∠CBD=
又∵cos∠CBD=cos(π-∠CBA)=-cos∠CBA，
∴-=
3.
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∴-b-3=1+a2-CD2，
∴CD2=4+a2+b，
又∵a2-b2=bc，c=3，
∴CD2=4+b2+3b+b=b2+4b+4=(b+2)2，
∵CD>0，∴CD=b+2，
∴CD-CA=b+2-b=2.
综上所述，CD-CA为定值2.
3.
答案
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(1)由acos C-asin C=b结合正弦定理，
得sin Acos C-sin Asin C=sin B.
因为A+B+C=π，
所以sin Acos C-sin Asin C=sin(A+C)=(sin Acos C+cos Asin C)，
所以-sin Asin C=cos Asin C.
因为sin C>0，所以tan A=-.
因为A∈(0，π)，所以A=.
4.
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4.
(2)在△ABC中，由余弦定理，
得a2=b2+c2-2bccos
所以4=b2+c2+bc. ①
因为AD为BC边上的中线，
所以=+)，
所以||2==+)2=(c2+b2-bc). ②
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由①得b2+c2=4-bc， ③
代入②得||2=1-bc. ④
由③得4-bc=b2+c2≥2bc，
所以bc≤
当且仅当
4.
答案
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即b=c=时取等号，
代入④得||2=1-bc≥
所以AD≥
故AD长度的最小值为.
4.
1.(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin∠ABC；
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答案
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答案
由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC
＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7，
则BC＝
由正弦定理可得
sin∠ABC＝.
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积.
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答案
由三角形面积公式可得
＝4，
则S△ACD＝S△ABC＝×.
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答案
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A＝2sin B.
(1)若b＝2，c＝2求C的大小；
由sin A＝2sin B，得a＝2b＝4，
由余弦定理可知cos C＝＝－
又C∈(0，π)，则C＝.
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答案
(2)点D在边AB上，且AD＝AB，证明：CD平分∠ACB.
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答案
在△ACD中，
由正弦定理可知
则sin∠ACD＝
在△BCD中，由正弦定理可知
则sin∠BCD＝
又sin∠BDC＝sin∠ADC，
故sin∠BCD＝sin∠ACD，
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答案
即∠BCD＝∠ACD或∠BCD＝π－∠ACD，
又∠ACB＝∠BCD＋∠ACD为△ABC的内角，
所以∠BCD＝∠ACD，故CD平分∠ACB.
3.(2024·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin B＋sin C＝2sin Acos B.
(1)证明：a2－b2＝bc；
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答案
sin B＋sin C＝2sin Acos B，
由正弦定理可得b＋c＝2acos B，
又∵cos B＝
∴b＋c＝
∴bc＋c2＝a2＋c2－b2，
∴a2－b2＝bc.
(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB＝3，BD＝1，当点C运动时，探究CD－CA是否为定值？
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答案
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答案
由(1)知b＋c＝2acos∠CBA，
∴cos∠CBA＝
在△BCD中，BC＝a，BD＝1，
∴cos∠CBD＝
又∵cos∠CBD＝cos(π－∠CBA)＝－cos∠CBA，
∴－
∴－b－3＝1＋a2－CD2，∴CD2＝4＋a2＋b，
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答案
又∵a2－b2＝bc，c＝3，
∴CD2＝4＋b2＋3b＋b＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2，
∵CD>0，∴CD＝b＋2，
∴CD－CA＝b＋2－b＝2.
综上所述，CD－CA为定值2.
4.(2025·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos C－asin C＝b.
(1)求角A的大小；
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答案
由acos C－asin C＝b结合正弦定理，
得sin Acos C－sin Asin C＝sin B.
因为A＋B＋C＝π，
所以sin Acos C－sin Asin C＝sin(A＋C)
＝(sin Acos C＋cos Asin C)，
所以－sin Asin C＝cos Asin C.
因为sin C>0，所以tan A＝－.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
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答案
(2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值.
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答案
在△ABC中，由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccos
所以4＝b2＋c2＋bc. ①
因为AD为BC边上的中线，
所以)，
所以||2＝)2＝(c2＋b2－bc). ②
由①得b2＋c2＝4－bc， ③
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答案
代入②得||2＝1－bc. ④
由③得4－bc＝b2＋c2≥2bc，
所以bc≤
当且仅当即b＝c＝时取等号，
代入④得||2＝1－bc≥所以AD≥
故AD长度的最小值为.
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