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§5.1　平面向量的概念及线性运算
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.化简+--等于(　　)
A. B.0 C. D.
2.(2025·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，=a+b，=2a-b，=λa+μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ+μ等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2024·西安模拟)已知点P是△ABC的重心，则等于(　　)
A.+ B.+
C.+ D.+
4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且=+，则(　　)
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
5.(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足++=0，则△ABC的面积是△ABD面积的(　　)
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
6.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为(　　)
A.2 B.4 C.3 D.1
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的是(　　)
A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a=b”的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与-b反向
D.设λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线
8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且=3，F为AE的中点，则(　　)
A.=-+
B.=+
C.=-+
D.=-
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知O为△ABC内一点，且2=+=t，若B，O，D三点共线，则实数t的值为　　　　.
10.已知在四边形ABCD中，=，且||=||，则四边形ABCD的形状是　　　　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知a，b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.
12.(14分)如图所示，在 ABCD中，===a，=b.
(1)试用向量a，b来表示；(6分)
(2)AM交DN于点O，若=λ，求实数λ的值.(8分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.△PCD的面积为定值 B. λ∈R，使得||>||
C.∠CPD的取值范围是 D.||的取值范围是[1，]
14.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足==2，则|+|=　　　　.
答案精析
1.B　2.D　3.D
4.D　[由=+得-=所以=·
所以点P在射线AB上.]
5.A　[设AB的中点为M，
因为++=0，
所以
=2(+)，
所以=4
所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点，
所以==5，
所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.]
6.B　[方法一　设=a=b，因为|a-b|=3，
即|-|=||=3，即||=3，
所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，
又a是单位向量，则||=1，
故||的最大值为||+||=1+3=4，即|b|的最大值为4.
方法二　因为b=a-(a-b)，
所以|b|≤|a|+|a-b|=1+3=4，
所以|b|的最大值为4.]
7.ABC　[根据向量的有关概念可知A，B，C正确，对于D，当λ=μ=0时，a与b不一定共线，故D错误.]
8.ABC　[∵AB∥CD，AB=2DC，
∴=++=-++=-+故A正确；
∵=3
∴==-+
∴=+
=+
=+
又F为AE的中点，∴==+故B正确；
∴=+=-++=-+故C正确；
∴=-=-+-
=--故D错误.]
9.
解析　设线段BC的中点为M，
则+=2.
因为2=+
所以=
则==+)
==+.
由B，O，D三点共线，得+=1，解得t=.
10.等腰梯形
解析　由=
可得AB∥CD且AB=DC，
所以四边形ABCD是梯形，
又因为||=||，
所以梯形ABCD的两个腰相等，
所以四边形ABCD是等腰梯形.
11.解　存在.由题设知，
=d-c=2b-3a，
=e-c=(t-3)a+tb，
又a，b不共线，则≠0，
C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k
即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
因为a，b不共线，
所以解得t=.
故存在实数t=使得C，D，E三点在同一条直线上.
12.解　(1)因为=-
=
所以=-=a-b.
因为=+=
所以=+=a+b.
(2)因为D，O，N三点共线，
所以存在实数k，
使得=k=ka-kb，
所以=+
=b+ka-kb=ka+(1-k)b，①
因为A，O，M三点共线，
所以存在实数m，
使得=m=ma+mb，②
由①②得解得m=
所以==
即λ=.
13.AC　[对于A，由=+λλ∈R可得-=λ即=λ可得∥因此，点P在正六边形ABCDEF的对角线
BE上，所以点P到CD的距离为定值，所以△PCD的面积为定值，故A正确；
对于B，因为正六边形ABCDEF关于对角线BE对称，故||=||，故B错误；
对于C，根据图形的对称性，当点P为BE中点时，∠CPD取得最大值当点P与B或E重合时∠CPD取得最小值即∠CPD的取值范围是故C正确；
对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线BE，CD的距离d=又当PC⊥BE时，||有最小值故D错误.]
14.3
解析　因为=
所以=+=+
又因为=2
所以=+=+
所以|+|=|+|
=||，
又因为∠BAD=120°，
所以∠ADC=60°，
所以△ADC为等边三角形，
所以AC=AD=2，
所以|+|=||=×2=3.§5.1　平面向量的概念及线性运算
课标要求　1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有　　　　又有　　　　的量 平面向量是自由向量
长度(模) 向量的　　　 记作|a|或||
零向量 长度为0，其方向是任意的 记作　　
单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为±
平行向量 (共线向量) 方向　　　　　或　　　的非零向量 0与任意向量　　　　(或共线)
相等向量 长度　　　　且方向　　　　的向量 两向量不能比较大小
相反向量 长度　　　　且方向　　　　的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律：a+b=　　　　； 结合律：(a+b)+c=　　　　　　
减法 a-b=a+(-b)
数乘 |λa|=　　　　，当λ>0时，λa的方向与a的方向　　　； 当λ<0时，λa的方向与a的方向　　　　； 当λ=0时，λa=　　　 设λ，μ为实数，则 λ(μa)=　　　　； (λ+μ)a=　　　　； λ(a+b)=　　　
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使　　　　　　　.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　)
(2)单位向量都相等.(　　)
(3)若a=b，b=c，则a=c.(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b=λa，反之成立.(　　)
2.下列命题正确的是(　　)
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若|a|=|b|，则a=b或a=-b
C.向量与是平行向量
D.平行向量不一定是共线向量
3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则+++等于(　　)
A. B.2 C.3 D.4
4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta与a-b共线，则实数t=　　　　　　.
熟记平面向量线性运算的常用结论
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则=+).
(2)在△ABC中，点P满足++=0 P为△ABC的重心 =+).
(3)=λ+μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1.
(4)对于任意两个向量a，b，都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
题型一　平面向量的基本概念
例1　(1)下列四个命题中正确的有(　　)
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”
C.在平行四边形ABCD中，一定有=
D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a=|a|a0
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　)
A.= B.=
C.= D.=
思维升华　平面向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)是与非零向量a同方向的单位向量.
跟踪训练1　(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是(　　)
A.若|a|=0，则a=0
B.若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上
C.对于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|
D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a=λb
(2)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1).
①是共线向量的有　　　　　　；
②方向相反的向量有　　　　　　；
③模相等的向量有　　　　　　.
题型二　平面向量的线性运算
命题点1　向量加、减法的几何意义
例2　若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|-|=|+-2|，则△ABC的形状为(　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
命题点2　向量的线性运算
例3　(2025·成都模拟)在△ABC中，+2=0，则等于(　　)
A.+ B.+
C.+ D.-
思维升华　平面向量线性运算的解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
(2)[爪子定理]在△ABC中，D为BC上一点，若=，则=+.
跟踪训练2　(1)设D，E为△ABC所在平面内两点，==2，则等于(　　)
A.-+ B.-
C.- D.-+
(2)若||=7，||=4，则||的取值范围是(　　)
A.[3，7] B.(3，7) C.[3，11] D.(3，11)
题型三　共线定理及其应用
例4　(1)(2024·福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1+λe2与μe1+e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　)
A.=-2 B.λμ=-2
C.=2 D.λμ=2
(2)如图，在△ABC中，=，P是BN上的点，若=m+，则实数m的值是　　　　　　.
思维升华　利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0.
(3)已知O，A，B是不共线的三点，且=m+n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m+n=1.
跟踪训练3　(1)(2025·深圳模拟)设e1，e2是两个不共线的向量，已知=2e1-ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为(　　)
A.-8 B.8 C.6 D.-6
(2)如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，若=m=n，m，n∈R，则m+n的值为　　　.
等和(高)线定理
如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，设＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立.
平面内一个基底{，}及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在与AB平行的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)；
③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过点O时，k＝0；
⑤若两等和线关于点O对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比.
典例　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　)
A.1 B. C. D.
(2)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为　　　　　　.
答案精析
落实主干知识
1.大小　方向　大小　0　相同　相反
平行　相等　相同　相等　相反
2.b+a　a+(b+c)　|λ||a|　相同　相反　0　(λμ)a　λa+μa　λa+λb
3.b=λa
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.C　3.D　4.
探究核心题型
例1　(1)C　[A不正确，若b=0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|=|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a=-b；当a=b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|=|b|且a∥b，故“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件；C正确，平行四边形ABCD对边平行且相等，且和方向相同，故=；D不正确，向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同.]
(2)D　[方法一(排除法)
不共线，不共线，故A，B错误；方向相反，C错误；故选D.
方法二　在等腰梯形ABCD中，不平行，不平行，故A，B错误；
∵AB∥CD，∴=，
则=，
即=，即=，
∵EF∥AB，∴===，
∴PE=PF，即P为EF的中点，
∴=，故C错误，D正确.]
跟踪训练1　(1)AC　[对于A，若|a|=0，则a=0，故A正确；
对于B，若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在同一条直线上，故B错误；
对于C，若a，b方向相同，则|a+b|=|a|+|b|，若a，b方向相反，
则|a+b|<|a|+|b|，
若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形两边之和大于第三边可知|a+b|<|a|+|b|.
综上可知，对于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|，故C正确；
对于D，若a≠0，b=0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a=λb，故D错误.]
(2)①a和d，b和e　②a和d，b和e
③a，c，d
解析　①a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共线向量；②a和d，b和e是方向相反的向量；③由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d.
例2　B　[+-2=(-)+(-)=+-==-，
∴|+|=|-|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.]
例3　C　[因为+2=0，
所以D为线段BC上靠近C的三等分点，如图所示，
故=+=+=+-)=+.]
跟踪训练2　(1)B　[如图，因为==2，
所以==，
所以=+=+
=+-)=-.]
(2)C　[由题意知||=7，||=4，且||=|-|，
当同向时，||取得最小值，||=|-|=|||-|||=|4-7|=3；
当反向时，||取得最大值，||=|-|=||+||=4+7=11；
当不共线时，3=|||-|||<||<||+||=11，
故|| 的取值范围是[3，11].]
例4　(1)D　[由题意，可设2e1+λe2=t(μe1+e2)，t∈R，
又e1，e2是两个不共线的向量，
故解得λμ=2.]
(2)
解析　因为=，
所以=3，
因为=m+=m+，
且B，P，N三点共线，
所以m+=1，所以m=.
跟踪训练3　(1)B　[根据题意，得=-=e1-4e2，
若A，B，D三点共线，设=t，
则有2e1-ke2=t(e1-4e2)=te1-4te2，
所以所以k=8.]
(2)2
解析　连接AO(图略)，则=+)=+，
因为M，O，N三点共线，
所以+=1，所以m+n=2.
微拓展
典例　(1)B　[方法一　(常规方法)
∵E为线段AO的中点，
∴=+)
=
=+=λ+μ，
∴λ=，μ=，则λ+μ=.
方法二　(等和线法)
如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ+μ=k，
则k=.
由图易知，=，
即λ+μ=k=.]
(2)2
解析　如图，点D，E，N分别为BC，AB，AC的中点，点P为DE与BN的交点，
=x+y=2x·+y=2x+y，
设2x+y=k，作出定值为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线，
当点M在点N所在的位置时，2x+y最大，
则kmax==2，所以2x+y的最大值为2.(共87张PPT)
第五章
§5.1　平面向量的概念及
线性运算
数学
大
一
轮
复
习
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.
2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量 平面向量是自由向量
长度(模) 向量的_____
零向量 长度为0，其方向是任意的 记作___
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向 或 的非零向量 0与任意向量 (或共线)
相等向量 长度 且方向 的向量 两向量不能比较大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0
大小
方向
大小
0
相同
相反
平行
相等
相同
相等
相反
2.向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律：a＋b＝ ；
结合律：(a＋b)＋c
＝_________
减法 a－b＝a＋(－b)
b＋a
a＋(b＋c)
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
数乘 |λa|＝ ，当λ>0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝___ 设λ，μ为实数，则
λ(μa)＝ ；
(λ＋μ)a＝ ；
λ(a＋b)＝_______
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
b＝λa
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　)
(2)单位向量都相等.(　　)
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c.(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　　)
×
×
√
√
2.下列命题正确的是
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C.向量与是平行向量
D.平行向量不一定是共线向量
√
A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误；
C项，向量与方向相反，是平行向量，故C正确；
D项，平行向量就是共线向量，故D错误.
3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于
A. 　　　　B.2 　　　　　C.3 　　　　D.4
√
如图，连接OM，
在△OAC中，M为AC的中点，所以＝2，
在△OBD中，M为BD的中点，所以＝2，
所以＝4.
4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta与a－b共线，则实数t＝　　.
由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ，则解得t＝.
　
熟记平面向量线性运算的常用结论
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则).
(2)在△ABC中，点P满足＝0 P为△ABC的重心 ).
(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
(4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)下列四个命题中正确的有
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”
C.在平行四边形ABCD中，一定有
D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0
√
平面向量的基本概念
题型一
A不正确，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；
B不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a＝－b；当a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；
C正确，平行四边形ABCD对边平行且相等，且和方向相同，故；
D不正确，向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同.
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是
A.
B.
C.
D.
√
方法一(排除法)
，不共线，，不共线，故A，B错误；
，方向相反，C错误；故选D.
方法二　在等腰梯形ABCD中，，不平行，
，不平行，故A，B错误；
∵AB∥CD，∴，则，
即，即，
∵EF∥AB，∴，
∴PE＝PF，即P为EF的中点，
∴，故C错误，D正确.
平面向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)是与非零向量a同方向的单位向量.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是
A.若|a|＝0，则a＝0
B.若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上
C.对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb
√
√
对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；
对于B，若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在同一条直线上，故B错误；
对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|，
若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|.
综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确；
对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误.
(2)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1).
①是共线向量的有　　　　　　；
a和d，b和e
a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共线向量；
②方向相反的向量有　　　　　　；
a和d，b和e
a和d，b和e是方向相反的向量；
③模相等的向量有　　　　　.
a，c，d
由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d.
命题点1　向量加、减法的几何意义
例2　若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
平面向量的线性运算
题型二
√
－2＝()＋()＝，，
∴||＝||.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.
命题点2　向量的线性运算
例3　(2025·成都模拟)在△ABC中，＋2＝0，则等于
A. B.
C. D.
√
因为＋2＝0，
所以D为线段BC上靠近C的三等分点，如图所示，
故
)＝.
平面向量线性运算的解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
(2)[爪子定理]在△ABC中，D为BC上一点，若，则.
思维升华
跟踪训练2　(1)设D，E为△ABC所在平面内两点，，＝2，则等于
A.－ B.
C. D.－
√
如图，因为，＝2，
所以，，
所以
＝)＝.
(2)若||＝7，||＝4，则||的取值范围是
A.[3，7] B.(3，7)
C.[3，11] D.(3，11)
√
由题意知||＝7，||＝4，且||＝||，
当，同向时，||取得最小值，
||＝||＝|||－|||＝|4－7|＝3；
当，反向时，||取得最大值，
||＝||＝||＋||＝4＋7＝11；
当，不共线时，3＝|||－|||<||<||＋||＝11，
故|| 的取值范围是[3，11].
例4　(1)(2024·福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则
A.＝－2 B.λμ＝－2
C.＝2 D.λμ＝2
√
共线定理及其应用
题型三
由题意，可设2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，t∈R，
又e1，e2是两个不共线的向量，
故解得λμ＝2.
(2)如图，在△ABC中，，P是BN上的点，若＝m，则实数m的值是　　　.
因为，所以＝3，
因为＝m＝m，
且B，P，N三点共线，
所以m＋＝1，所以m＝.
利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2025·深圳模拟)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为
A.－8 B.8 C.6 D.－6
√
根据题意，得＝e1－4e2，
若A，B，D三点共线，设＝t，
则有2e1－ke2＝t(e1－4e2)＝te1－4te2，
所以所以k＝8.
(2)如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，若＝m，＝n，m，n∈R，则m＋n的值为　　　.
2
连接AO(图略)，
则)＝，
因为M，O，N三点共线，
所以＝1，所以m＋n＝2.
如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，设＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立.
等和(高)线定理
微拓展
平面内一个基底{，}及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在与AB平行的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)；
③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过点O时，k＝0；
⑤若两等和线关于点O对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比.
典例　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于
A.1 B. C. D.
√
方法一　(常规方法)∵E为线段AO的中点，
∴)＝
＝＝λ＋μ，
∴λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.
方法二　(等和线法)
如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，
则k＝.
由图易知，，即λ＋μ＝k＝.
(2)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为　　　.
2
设2x＋y＝k，作出定值为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线，
当点M在点N所在的位置时，2x＋y最大，
则kmax＝＝2，所以2x＋y的最大值为2.
如图，点D，E，N分别为BC，AB，AC的中点，点P为DE与BN的交点，
＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y，
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D D A B ABC ABC
题号 9 10 13 　14 答案 等腰梯形 AC 　3 答案
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存在.由题设知，
=d-c=2b-3a，
=e-c=(t-3)a+tb，
又a，b不共线，则≠0，
C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k
即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
11.
答案
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因为a，b不共线，
所以解得t=.
故存在实数t=使得C，D，E三点在同一条直线上.
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(1)因为=-
=
所以=-=a-b.
因为=+=
所以=+=a+b.
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(2)因为D，O，N三点共线，所以存在实数k，
使得=k=ka-kb，
所以=+=b+ka-kb=ka+(1-k)b， ①
因为A，O，M三点共线，
所以存在实数m，
使得=m=ma+mb， ②
12.
答案
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由①②得解得m=
所以==
即λ=.
12.
一、单项选择题
1.化简等于
A. B.0 C. D.
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知识过关
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－()＝＝0.
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2.(2025·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，＝a＋b，＝2a－b，＝λa＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ＋μ等于
A.0 B.1 C.2 D.3
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答案
由＝a＋b，＝2a－b，＝λa＋μb，则＝a－2b，
＝(λ－1)a＋(μ－1)b，
因为A，B，C三点共线，
设＝t(t∈R)，
则(λ－1)a＋(μ－1)b＝ta－2tb，
所以即
则2λ＋μ＝3.
3.(2024·西安模拟)已知点P是△ABC的重心，则等于
A. B.
C. D.
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答案
设BC的中点为D，连接AD，如图，由点P是△ABC的重心，
则＝×)
＝(2)＝
＝)＋
＝，
故A，B，C错误，D正确.
4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且，则
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
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由，得，所以·，
所以点P在射线AB上.
答案
5.(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足＝0，则△ABC的面积是△ABD面积的
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
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答案
设AB的中点为M，
因为＝0，
所以＝2()，
所以＝4，
所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点，
所以＝5，
所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.
6.已知a是单位向量，向量b满足|a－b|＝3，则|b|的最大值为
A.2 B.4 C.3 D.1
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答案
方法一　设＝a，＝b，因为|a－b|＝3，
即||＝||＝3，即||＝3，
所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，
又a是单位向量，则||＝1，
故||的最大值为||＋||＝1＋3＝4，即|b|的最大值为4.
方法二　因为b＝a－(a－b)，
所以|b|≤|a|＋|a－b|＝1＋3＝4，
所以|b|的最大值为4.
二、多项选择题
7.下列说法正确的是
A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a＝b”的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
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答案
√
√
根据向量的有关概念可知A，B，C正确，对于D，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故D错误.
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答案
8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则
A.＝－
B.
C.＝－
D.
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答案
∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴＝－
＝－，故A正确；
∵＝3，∴＝－，
∴，
又F为AE的中点，∴，故B正确；
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答案
∴＝－
＝－，故C正确；
∴＝－
＝－，故D错误.
三、填空题
9.已知O为△ABC内一点，且2，＝t，若B，O，D三
点共线，则实数t的值为　　.
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答案
设线段BC的中点为M，
则＝2.
因为2，所以，
则)
＝.
由B，O，D三点共线，得＝1，解得t＝.
10.已知在四边形ABCD中，，且||＝||，则四边形ABCD的形状是　 　　　.
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由，
可得AB∥CD且AB＝DC，
所以四边形ABCD是梯形，
又因为||＝||，
所以梯形ABCD的两个腰相等，
所以四边形ABCD是等腰梯形.
答案
四、解答题
11.已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.
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答案
存在.由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，
又a，b不共线，则≠0，
C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以解得t＝.
故存在实数t＝，使得C，D，E三点在同一条直线上.
12.如图所示，在 ABCD中，，，＝a，＝b.
(1)试用向量a，b来表示，；
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因为，，
所以a－b.
因为，，
所以＝a＋b.
(2)AM交DN于点O，若＝λ，求实数λ的值.
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答案
因为D，O，N三点共线，
所以存在实数k，使得＝kka－kb，
所以
＝b＋ka－kb＝ka＋(1－k)b， ①
因为A，O，M三点共线，所以存在实数m，
使得＝m＝ma＋mb， ②
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答案
由①②得解得m＝，
所以，，即λ＝.
13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且＋λ，λ∈R，则下列说法正确的是
A.△PCD的面积为定值
B. λ∈R，使得||>||
C.∠CPD的取值范围是
D.||的取值范围是[1，]
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能力拓展
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答案
对于A，由＋λ，λ∈R可得＝λ，即＝λ，可得∥，因此，点P在正六边形ABCDEF的对角线BE上，所以点P到CD的距离为定值，所以△PCD的面积为定值，故A正确；
对于B，因为正六边形ABCDEF关于对角线BE对称，故||＝||，故B错误；
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答案
对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线BE，CD的距离d＝，又当PC⊥BE时，||有最小值，故D错误.
对于C，根据图形的对称性，当点P为BE中点时，∠CPD取得最大值，当点P与B或E重合时∠CPD取得最小值，即∠CPD的取值范围是，故C正确；
14.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足，＝2，则||＝　　.
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因为，所以，
又因为＝2，所以，
所以||＝||＝||，
又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，
所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2，
所以||＝||＝×2＝3.

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