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§5.2　平面向量基本定理及坐标表示
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知a=(5，-2)，b=(-4，-3)，若a-2b+3c=0，则c等于(　　)
A. B.
C. D.
2.(2024·北京模拟)已知向量a=(λ+1，3)，b=(2，3)，若a与a+b共线，则实数λ等于(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.平面内任一向量m都可以表示成λa+μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法中正确的是(　　)
A.向量a，b的方向相同
B.向量a，b中至少有一个是零向量
C.向量a，b的方向相反
D.当且仅当λ=μ=0时，λa+μb=0
4.已知=(1，-1)，C(0，1)，若=2，则点D的坐标为(　　)
A.(-2，3) B.(2，-3)
C.(-2，1) D.(2，-1)
5.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN交于点P，若AM=5.5，则AP的长是(　　)
A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4
6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1，以AC为直径的半圆上有一点M，=λ+λ，则实数λ等于(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知向量a=(2，-1)，b=(-1，3)，则下列向量与2a+b平行的是(　　)
A. B.(1，-3)
C.(1，-2) D.
8.已知△ABC中，点P满足+=，点Q在△PBC内(含边界)，其中=x+y，则(　　)
A.若x=，y=，则=2
B.若P，Q两点重合，则=+
C.存在x，y，使得x+2y=
D.存在x，y，使得x+2y=
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知向量=(3，4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是　　　　　　　　　　.
10.在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为　　　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).
(1)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；(6分)
(2)若d满足(d-c)∥(a+b)，且|d-c|=，求d的坐标.(7分)
12.(14分)如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，==，AC与MN相交于点E.
(1)若=λ+μ，求实数λ和μ的值；(7分)
(2)用向量表示.(7分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)如图，在 OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且=4，若=m+n，其中m，n∈R，则(　　)
A.m+n= B.m-n=
C.2m=3n D.3m=2n
14.(2025·昆明模拟)已知{e1，e2}是平面α内的一个基底，O为α内的定点.对于α内任意一点P，若=xe1+ye2(x，y∈R)，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标.若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的(　　)
A.点M(1，2)关于点O的对称点不一定为M'(-1，-2)
B.A，B两点间的距离为
C.若向量平行于向量，则x1y2-x2y1的值不一定为0
D.若线段AB的中点为C，则点C的广义坐标为
答案精析
1.D　2.C　3.D
4.D　[设D(x，y)，则=(x，y-1)，2=(2，-2)，
根据=2得(x，y-1)=(2，-2)，
即解得
即D(2，-1).]
5.D　[方法一　设=e1=e2，
则=+=-3e2-e1，
=+=2e1+e2，
因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ，
使=λ=-λe1-3λe2，
=μ=2μe1+μe2，
所以=-
=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2，
又=+=2e1+3e2，
所以解得
所以=
所以AP=AM=4.4.
方法二　设=λλ∈R，
因为M是BC的中点，AN=2NC，
则=+)
=+
=λ=λ+λ
又B，P，N三点共线，
所以λ+λ=1，
解得λ=所以AP=AM=4.4.]
6.A　[以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(0，1)，C(1，0)，AC=
则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D.
则以AC为直径的圆的方程为
+=
设M(x，y)，
则=(x，y)=(1，0)，
=(0，1)，
=λ+λ=(λλ)，
所以
由点M在圆+=上，
可得+=
即4λ2-(1+)λ=0，
解得λ=或λ=0(舍去).]
7.AD　[因为a=(2，-1)，b=(-1，3)，所以2a+b=(3，1)，故若向量(x，y)满足3y-x=0，则该向量与2a+b平行.检验易知A，D符合题意.]
8.BCD　[对于A=+即3=+2故-=2-2则=2故=故A错误；
对于B，由+=得++=0，故P为△ABC的重心，则Q为△ABC的重心，
故=+故B正确；
对于C，D，取AC的中点D，则=x+2y由点Q在△PBC内(含边界)，
过点Q作MN∥BD(当点Q在线段BP上时，MN与BD重合)，与线段CD交于点M，与射线AB交于点N，如图所示，
设=kk∈[1，2]，
则=k
因为点M，Q，N三点共线，所以存在实数λ，使=λ+(1-λ)=kλ+k(1-λ)
因为=x+2y所以则x+2y=k∈[1，2]，故C和D正确.]
9.m≠-
10.(2，4)
解析　∵在梯形ABCD中，
CD=2AB，AB∥CD，
∴=2
设点D的坐标为(x，y)，
则=(4-x，2-y)，
又=(1，-1)，
∴(4-x，2-y)=2(1，-1)，
即∴
∴点D的坐标为(2，4).
11.解　(1)a+kc=(3+4k，2+k)，
2b-a=(-5，2)，
由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0，
解得k=-.
(2)设d=(x，y)，
则d-c=(x-4，y-1)，
又a+b=(2，4)，(d-c)∥(a+b)，
|d-c|=
∴
解得或
∴d的坐标为(3，-1)或(5，3).
12.解　(1)如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0，1)，B(2，0)，MN
所以==(2，0)=(0，1)，
所以=
=λ+μ=(2λ，μ)，
所以解得
(2)设=t=m+nt，m，n∈R，
因为==
又C(2，1)，则=(2，1)，
所以=(2，1)
=.
即解得
即=+
所以=t=t+t
又因为M，E，N三点共线，
所以t+t=1，则t=
所以=+.
13.ABC　[在 OACB中===+
因为E是AC的中点，
所以==
所以=+=+
因为=4
所以==
所以=+=+
因为=m+n所以
=+
所以解得
所以m+n=m-n=2m=3n.]
14.D　[对于A=e1+2e2，设M(1，2)关于点O的对称点为M'(x，y)，则=-=-e1-2e2=xe1+ye2，因为e1，e2不共线，所以A错误；
对于B，因为=-=x2e1+y2e2-x1e1-y1e2=(x2-x1)e1+(y2-y1)e2，所以||==
当向量e1，e2是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为否则距离不为B错误；
对于C，当与中至少一个是0时，x1y2-x2y1=0；当与都不为0时，设=λ(λ≠0)，有x1e1+y1e2=λx2e1+λy2e2，即所以x1y2=x2y1，C错误；
对于D=+)
=(x1e1+y1e2+x2e1+y2e2)
=e1+e2，所以线段AB中点C的广义坐标为D正确.]§5.2　平面向量基本定理及坐标表示
课标要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个　　　　　　向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=　　　　　　　.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个　　　　　　　的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则
a+b=　　　　　　，a-b=　　　　　　，λa=　　　　　　，|a|=　　　　　　.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则　　　　坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=　　　　　，||=　　　　　　　　　　　.
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b 　　　　　　　　　　.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.(　　)
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2，μ1=μ2.(　　)
(3)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，当且仅当x2y2≠0时，a∥b与=等价.(　　)
(4)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a=b x1=x2且y1=y2.(　　)
2.设平面向量a=(-1，0)，b=(0，2)，则2a-3b等于(　　)
A.(6，3) B.(-2，-6)
C.(2，1) D.(7，2)
3.在正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为(　　)
A. B.- C.1 D.-1
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为　　　　　　.
1.熟记以下常用结论
(1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，那么可以得到即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0.
(2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为.
2.谨防三个易误点
(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量.
(2)a∥b的充要条件不能表示为=，因为x2，y2有可能为0.
(3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一　平面向量基本定理的应用
例1　(1)(2025·盐城模拟)若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是(　　)
A.a-b，b-a B.2a+b，a+b
C.2b-3a，6a-4b D.a+b，a-b
(2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则=　　　　.
思维升华　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
跟踪训练1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则等于(　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)在△ABC中，点D在边AB的延长线上，AB=2BD，=m+n，m，n∈R，则(　　)
A.m=，n= B.m=，n=
C.m=，n= D.m=-，n=
题型二　平面向量的坐标运算
例2　(1)在平行四边形ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
(2)如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则-+等于(　　)
A.2a+b B.-2a-b
C.-3a+b D.3a-b

思维升华　(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
跟踪训练2　(1)已知点A(0，1)，B(2，3)，向量=(-3，1)，则向量等于(　　)
A.(1，-2) B.(-1，2)
C.(1，-3) D.(-1，3)
(2)(2025·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为(　　)
A. B. C. D.2
题型三　向量共线的坐标表示
例3　(1)(2024·临沂模拟)已知向量a=(3，m)，b=，若a∥b，则m等于(　　)
A.1 B.-1 C.9 D.-9
(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　　　.
思维升华　平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
跟踪训练3　(1)(2025·景德镇模拟)已知向量a=(2，3)，b=(2，sin α-3)，c=(2，cos α)，若(a+b)∥c，则tan α的值为(　　)
A.2 B.-2
C. D.-
(2)已知向量a=(1，4)，b=(2，3)，若c∥(a-b)，且|c|=1，则c的坐标为　　　　　　.
定比分点坐标公式
定比分点是中点、三等分点的延伸拓展，在解决平面向量和解析几何题目中都有应用.
如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上异于P1，P2的点，当＝λ(λ≠0且λ≠－1)时，，点P的坐标是，当λ>0时，点P在线段P1P2上，称为内分点；当λ<0且λ≠－1时，点P在线段P1P2的延长线上，称为外分点.
典例　(1)若过两点P1(－1，2)，P2(5，6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为(　　)
A.－ B.－ C. D.
(2)已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为(　　)
A.(－14，16) B.(22，－11)
C.(6，1) D.(2，4)
答案精析
落实主干知识
1.不共线　λ1e1+λ2e2
2.互相垂直
3.(1)(x1+x2，y1+y2)　(x1-x2，y1-y2)
(λx1，λy1)　
(2)①终点　②(x2-x1，y2-y1)　
4.x1y2-x2y1=0
自主诊断
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.B　3.A　4.(1，5)
探究核心题型
例1　(1)D　[A选项，b-a=-(a-b)，
所以a-b，b-a共线，不能作为基底.
B选项，2a+b=2，所以2a+b，a+b共线，不能作为基底.
C选项，6a-4b=-2(2b-3a)，所以2b-3a，6a-4b共线，不能作为基底.
D选项，易知a+b，a-b不共线，可以作为基底.]
(2)
解析　由题图可设=x(0=x=+x.
因为=λ+μ与不共线，
所以λ=，μ=x，所以=.
跟踪训练1　(1)B　[因为BD=2DA，所以=3，所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.]
(2)B　[因为点D在边AB的延长线上，AB=2BD，所以=2，即-=2(-)，所以=+.又=m+n，由平面向量基本定理可得m=，n=.]
例2　(1)C　[因为在平行四边形ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，
所以=-=-+)=.]
(2)C　[以图中向量a，b的始点为坐标原点，a所在直线为x轴，b所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则a=(1，0)，b=(0，2)，C(2，5)，D(5，4).
-+=+=
=(-3，1).
令=xa+yb，得到(-3，1)=x(1，0)+y(0，2)=(x，2y)，
解得x=-3，y=.
所以-+=-3a+b.]
跟踪训练2　(1)D　[因为A(0，1)，B(2，3)，所以=(2，2)，
所以=+=(2，2)+(-3，1)=(-1，3).]
(2)B　[在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
令AB=2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，=(2，2)，=(2，1)，=(-2，2)，
λ+μ=(2λ-2μ，λ+2μ)，
因为=λ+μ，
所以
解得λ=，μ=，λ+μ=，
所以λ+μ的值为.]
例3　(1)B　[因为向量a=(3，m)，
b=，
若a∥b，则3×=-m，即m=-1.]
(2)(3，3)
解析　方法一　=(4，0)，=(4，4)，=(2，6)，
由O，P，B三点共线，可设=λ=(4λ，4λ)，λ∈R，则=-=(4λ-4，4λ).又=-=(-2，6)，
由与共线，得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0，解得λ=，
所以==(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
方法二　设点P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)，且与共线，所以=，即x=y.又=(x-4，y)，=(-2，6)，且与共线，所以(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3，所以点P的坐标为(3，3).
跟踪训练3　(1)A　[因为a=(2，3)，b=(2，sin α-3)，
所以a+b=(4，sin α)，
又c=(2，cos α)且(a+b)∥c，
所以4cos α=2sin α，
则tan α==2.]
(2)或
解析　因为a=(1，4)，b=(2，3)，
所以a-b=(-1，1)，
因为c∥(a-b)，且|c|=1，
所以c=±，
又|a-b|=，
所以c==或c=-=.
微拓展
典例　(1)A　[设P(x，0)，
则λ==-.]
(2)D　[由=2，可知P分有向线段所成的比是λ=2，设O为坐标原点，
所以=+，
则P，即(2，4).](共81张PPT)
第五章
§5.2　平面向量基本定理
及坐标表示
数学
大
一
轮
复
习
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ .
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解.
不共线
λ1e1＋λ2e2
互相垂直
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，
|a|＝ .
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，
||＝ .
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b .
终点
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.(　　)
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x2y2≠0时，a∥b与等价.
(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b x1＝x2且y1＝y2.(　　)
√
×
√
√
2.设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于
A.(6，3) B.(－2，－6)
C.(2，1) D.(7，2)
√
2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6).
3.在正方形ABCD中，E为DC的中点，若λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为
A. B.－ C.1 D.－1
√
因为E为DC的中点，所以，即，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ.
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为　　　　.
设D(x，y)，则，
得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，
即解得即D(1，5).
(1，5)
1.熟记以下常用结论
(1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.
(2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为.
微点提醒
2.谨防三个易误点
(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量.
(2)a∥b的充要条件不能表示为，因为x2，y2有可能为0.
(3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2025·盐城模拟)若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是
A.a－b，b－a B.2a＋b，a＋b
C.2b－3a，6a－4b D.a＋b，a－b
√
平面向量基本定理的应用
题型一
A选项，b－a＝－(a－b)，所以a－b，b－a共线，不能作为基底.
B选项，2a＋b＝2，所以2a＋b，a＋b共线，不能作为基底.
C选项，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以2b－3a，6a－4b共线，不能作为
基底.
D选项，易知a＋b，a－b不共线，可以作为基底.
(2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若λ＋μ(λ，μ∈R)，则　　　.
由题图可设x(0则x()＝x＋x.
因为λ＋μ，与不共线，
所以λ，μ＝x，所以.
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记m，n，则等于
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
√
因为BD＝2DA，所以3，所以＋3＋3()＝－2＋3－2m＋3n.
(2)在△ABC中，点D在边AB的延长线上，AB＝2BD，m＋n，m，n∈R，则
A.m，n B.m，n
C.m，n D.m＝－，n
√
因为点D在边AB的延长线上，AB＝2BD，所以2，即2()，所以.又m＋n，由平面向量基本定理可得m，n.
例2　(1)在平行四边形ABCD中，(3，7)，(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为
A. B.
C. D.
平面向量的坐标运算
题型二
√
因为在平行四边形ABCD中，(3，7)，(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以.
(2)如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则
等于
A.2a＋b B.－2a－b
C.－3a＋b D.3a－b
√
(－3，1).
令xa＋yb，得到(－3，1)＝x(1，0)＋y(0，2)＝(x，2y)，解得x＝－3，y.
所以－3a＋b.
以图中向量a，b的始点为坐标原点，a所在直线为x轴，b所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则a＝(1，0)，b＝(0，2)，C(2，5)，D(5，4).
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知点A(0，1)，B(2，3)，向量(－3，1)，则向量等于
A.(1，－2) B.(－1，2)
C.(1，－3) D.(－1，3)
√
因为A(0，1)，B(2，3)，所以(2，2)，
所以(2，2)＋(－3，1)＝(－1，3).
(2)(2025·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为
A. B. C. D.2
√
在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线
分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
令AB＝2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，
(2，2)，(2，1)，(－2，2)，
λ＋μ(2λ－2μ，λ＋2μ)，
因为λ＋μ，所以
解得λ，μ，λ＋μ，
所以λ＋μ的值为.
例3　(1)(2024·临沂模拟)已知向量a＝(3，m)，b，若a∥b，则m等于
A.1 B.－1 C.9 D.－9
向量共线的坐标表示
题型三
√
因为向量a＝(3，m)，b，
若a∥b，则3×－m，即m＝－1.
(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为　　 　　.
(3，3)
方法一　(4，0)，(4，4)，(2，6)，
由O，P，B三点共线，可设λ(4λ，4λ)，λ∈R，则(4λ－4，4λ).
又(－2，6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ，所以(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
方法二　设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即x＝y.
又(x－4，y)，(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
思维升华
跟踪训练3　(1)(2025·景德镇模拟)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为
A.2 B.－2 C. D.－
√
因为a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，
所以a＋b＝(4，sin α)，
又c＝(2，cos α)且(a＋b)∥c，
所以4cos α＝2sin α，则tan α2.
(2)已知向量a＝(1，4)，b＝(2，3)，若c∥(a－b)，且|c|＝1，则c的坐标
为　　　 　　　.
或
因为a＝(1，4)，b＝(2，3)，
所以a－b＝(－1，1)，
因为c∥(a－b)，且|c|＝1，所以c＝±
又|a－b|所以c或c＝－.
定比分点是中点、三等分点的延伸拓展，在解决平面向量和解析几何题目中都有应用.
如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上异于P1，P2的点，当＝λ(λ≠0且λ≠－1)时点P的坐标是当λ>0时，
点P在线段P1P2上，称为内分点；当λ<0且λ≠－1时，点
P在线段P1P2的延长线上，称为外分点.
定比分点坐标公式
微拓展
典例　(1)若过两点P1(－1，2)，P2(5，6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比λ的值为
A.－ B.－ C. D.
√
设P(x，0)，则λ＝＝－.
(2)已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝
－2则P点的坐标为
A.(－14，16) B.(22，－11)
C.(6，1) D.(2，4)
√
由＝2可知P分有向线段所成的比是λ＝2，设O为坐标原点，所以
则P即(2，4).
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D D D A AD BCD
题号 9 10 13 　14
答案 m≠- (2，4) ABC 　D
答案
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(1)a+kc=(3+4k，2+k)，2b-a=(-5，2)，
由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0，
解得k=-.
(2)设d=(x，y)，
则d-c=(x-4，y-1)，
又a+b=(2，4)，(d-c)∥(a+b)，|d-c|=
11.
答案
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∴
解得或
∴d的坐标为(3，-1)或(5，3).
11.
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(1)如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0，1)，B(2，0)，MN
所以==(2，0)=(0，1)，
所以=
=λ+μ=(2λ，μ)，
12.
答案
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所以解得
(2)设=t=m+nt，m，n∈R，
因为==
又C(2，1)，则=(2，1)，
所以=(2，1)=.
12.
答案
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即解得
即=+
所以=t=t+t
又因为M，E，N三点共线，
所以t+t=1，则t=所以=+.
12.
一、单项选择题
1.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于
A. B.
C. D.
√
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知识过关
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答案
∵a－2b＋3c＝0，
∴c＝－(a－2b).
∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，
∴c＝－(a－2b).
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答案
2.(2024·北京模拟)已知向量a＝(λ＋1，3)，b＝(2，3)，若a与a＋b共线，则实数λ等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
∵a＝(λ＋1，3)，b＝(2，3)，
∴a＋b＝(λ＋3，6)，
又∵a与a＋b共线，
∴(λ＋1)×6－(λ＋3)×3＝0，解得λ＝1.
3.平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法中正确的是
A.向量a，b的方向相同
B.向量a，b中至少有一个是零向量
C.向量a，b的方向相反
D.当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0
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因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
所以根据平面向量基本定理得，向量a，b不共线，故A，B，C不正确；
因为a，b不共线，所以当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0，故D正确.
答案
4.已知(1，－1)，C(0，1)，若2则点D的坐标为
A.(－2，3) B.(2，－3)
C.(－2，1) D.(2，－1)
√
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设D(x，y)，则(x，y－1)，2(2，－2)，
根据2得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得即D(2，－1).
答案
5.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长是
A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4
√
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答案
方法一　设e1e2，
则－3e2－e1，
2e1＋e2，
因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ，使λ－λe1－3λe2μ2μe1＋μe2，
所以(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，
又2e1＋3e2，
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答案
所以解得
所以所以APAM＝4.4.
方法二　设λλ∈R，
因为M是BC的中点，AN＝2NC，
则λλλ
又B，P，N三点共线，所以λ＋λ＝1，解得λ所以APAM＝4.4.
6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，以AC为直径的半圆上有一点Mλλ则实数λ等于
A. B.
C. D.
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答案
以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(0，1)，C(1，0)，AC
则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D.
则以AC为直径的圆的方程为
设M(x，y)，
则(x，y)(1，0)(0，1)，
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答案
λλ(λλ)，
所以
由点M在圆上，
可得
即4λ2－(1＋)λ＝0，
解得λ或λ＝0(舍去).
二、多项选择题
7.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，则下列向量与2a＋b平行的是
A. B.(1，－3)
C.(1，－2) D.
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答案
√
因为a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以2a＋b＝(3，1)，故若向量(x，y)满足3y－x＝0，则该向量与2a＋b平行.检验易知A，D符合题意.
8.已知△ABC中，点P满足点Q在△PBC内(含边界)，其中x＋y则
A.若xy则2
B.若P，Q两点重合，则
C.存在x，y，使得x＋2y
D.存在x，y，使得x＋2y
√
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答案
√
√
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对于A即3＋2故2－2则2故故A错误；
对于B，由得0，故P为△ABC的重心，则Q为△ABC的重心，故故B正确；
对于C，D，取AC的中点D，则x＋2y由点Q在△PBC内(含边界)，
答案
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答案
过点Q作MN∥BD(当点Q在线段BP上时，MN与BD重合)，
与线段CD交于点M，与射线AB交于点N，如图所示，
设kk∈[1，2]，则k
因为点M，Q，N三点共线，所以存在实数λ，使λ＋(1－λ)kλ＋k(1－λ)
因为x＋2y所以则x＋2y＝k∈[1，2]，故C和D
正确.
三、填空题
9.已知向量(3，4)(6，－3)(5－m，－3－m)，若点A，
B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是　　　　　.
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答案
m≠－
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答案
因为(3，－7)(2－m，－7－m)，
又点A，B，C能构成三角形，
所以点A，B，C不共线，即与不共线，
所以3(－7－m)－(－7)(2－m)≠0，
解得m≠－.
10.在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，
C(4，2)，则点D的坐标为　　　　.
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答案
(2，4)
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∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
∴2
设点D的坐标为(x，y)，则(4－x，2－y)，
又(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即∴
∴点D的坐标为(2，4).
答案
四、解答题
11.平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
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答案
a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|求d的坐标.
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答案
设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2，4)，(d－c)∥(a＋b)，
|d－c|
∴
解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).
12.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1AC与MN相交于点E.
(1)若λ＋μ求实数λ和μ的值；
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答案
如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0，1)，B(2，0)，MN
所以(2，0)(0，1)，
所以λ＋μ(2λ，μ)，
所以解得
(2)用向量表示.
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答案
设tm＋nt，m，n∈R，
因为
又C(2，1)，则(2，1)，
所以(2，1).
即解得
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答案
即
所以ttt
又因为M，E，N三点共线，
所以t＋t＝1，则t
所以.
13.(多选)如图，在 OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且4若m＋n其中m，n∈R，则
A.m＋n B.m－n
C.2m＝3n D.3m＝2n
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答案
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能力拓展
√
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答案
在 OACB中
因为E是AC的中点，所以
所以
因为4所以
所以
因为m＋n
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所以
所以解得
所以m＋nm－n2m＝3n.
14.(2025·昆明模拟)已知{e1，e2}是平面α内的一个基底，O为α内的定点.对于α内任意一点P，若xe1＋ye2(x，y∈R)，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标.若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的
A.点M(1，2)关于点O的对称点不一定为M'(－1，－2)
B.A，B两点间的距离为
C.若向量平行于向量则x1y2－x2y1的值不一定为0
D.若线段AB的中点为C，则点C的广义坐标为
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答案
对于Ae1＋2e2，设M(1，2)关于点O的对称点为M'(x，y)，则－e1－2e2＝xe1＋ye2，因为e1，e2不共线，所以A错误；
对于B，因为x2e1＋y2e2－x1e1－y1e2＝(x2－x1)e1＋(y2－y1)e2，所以||
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答案
当向量e1，e2是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为否则距离不为B错误；
对于C，当与中至少一个是0时，x1y2－x2y1＝0；当与都不为0时，设λ(λ≠0)，有x1e1＋y1e2＝λx2e1＋λy2e2，即所以x1y2＝x2y1，
C错误；
对于D(x1e1＋y1e2＋x2e1＋y2e2)e1＋e2，所以线段AB中点C的广义坐标为D正确.
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