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§5.3　平面向量的数量积
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·葫芦岛模拟)已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(a-b)的值为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.0
2.(2025·西安模拟)平面向量a与b的夹角为120°，|a|=2，|b|=3，则|a-2b|等于(　　)
A.28 B.52 C.2 D.2
3.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|=6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　)
A.- B.- C.- D.
4.(2025·鞍山模拟)已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，向量a在向量b上的投影向量是b，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
5.(2024·呼伦贝尔模拟)在△ABC中，AB⊥AC，=(-1)·=6，则AC等于(　　)
A. B.6 C.2 D.3
6.在△ABC中，设||2-||2=2·(-)，那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　)
A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(　　)
A.(a+b)·c=a·c+b·c
B.(a·b)·c=a·(b·c)
C.a·b≤|a||b|
D.|a-b|≤|a|+|b|
8.已知向量a=(-2，1)，b=(1，t)，则下列说法正确的是(　　)
A.若a∥b，则t的值为-2
B.|a+b|的最小值为1
C.若|a+b|=|a-b|，则t的值为2
D.若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是∪
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·西安模拟)已知单位向量e1⊥e2，向量a=λe1-2e2，b=2e1+e2，若a⊥b，则实数λ=　　　　　　.
10.(2025·汕头模拟)已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且满足4=-2-3，则cos∠AOB=　　　　　，·=　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，||=2||=2，∠BAD=，E是BC边的中点.
(1)试用表示；(6分)
(2)求·的值.(7分)
12.(14分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，=λ，BC=2AB=2AD=2.
(1)若⊥，求实数λ的值；(7分)
(2)若λ=，求与的夹角θ的余弦值.(7分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)(2024·广州模拟)已知向量a，b不共线，向量a+b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是(　　)
A.a·b=0 B.(a+b)⊥(a-b)
C.向量a，b在a+b上的投影向量相等 D.|a+b|=|a-b|
14.(2024·抚州模拟)定义：|a×b|=|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2，|b|=5，a·b=-8，则|a×b|=　　　　.
答案精析
1.C　2.D　3.B　4.C
5.A　[由AB⊥AC，得·=0，
由=-=(-1)
得=.
由·=·(+)
=·
=·=·(-)
==6
所以||=即AC=.]
6.D　[设线段BC的中点为D，
则+=2
因为||2-||2=2·(-)，所以(+)·(-)=2·
即2·=2·
即·(-)=0，
当=时，点M和点D重合；
当≠时·=0，
即DM⊥BC，
所以DM垂直且平分线段BC，
因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过△ABC的外心.]
7.ACD　[根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
C中，根据数量积的定义可知a·b=|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；
D中，|a-b|2-(|a|+|b|)2=-2a·b-2|a||b|≤0，故|a-b|2≤(|a|+|b|)2，即|a-b|≤|a|+|b|，故D正确.]
8.BCD　[选项A，a∥b -2·t=1·1 t=-A选项错误；
选项B，|a+b|=|(-1，t+1)|=≥1，当且仅当t=-1时取等号，B选项正确；
选项C，方法一　|a-b|=|(-3，1-t)|=根据=解得t=2，C选项正确；
方法二　因为|a+b|=|a-b|，则a·b=0，所以a·b=-2+t=0，解得t=2，C选项正确；
选项D，a与b的夹角为钝角，则a·b=t-2<0，且两个向量不能反向共线，注意到A选项，当t=-时，a=-2b，于是t<2且t≠-D选项正确.]
9.1
10.　-
解析　由4=-2-3两边平方得
16=4+9+12·
依题意，16=4+9+12cos∠AOB，
所以cos∠AOB=
·=(-)·=·-=cos∠AOB-1=-.
11.解　(1)=+
=+
=+)
=
=+
=-=+-
=-.
(2)由题意可知，||
===1，
=-
所以·=(-)·
=--·
=--||||·cos=×4-×1-×2×1×=.
12.解　(1)分别以的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，
所以=(2，-1)=(λ，1)，
因为⊥
所以·=2λ-1=0，
所以λ=.
(2)当λ=时，||==||==
因为·=2λ-1=
所以cos θ===.
13.BC　[如图，作向量=a=b，在 OACB中=a+b=a-b，
由向量a+b平分a与b的夹角，得 OACB是菱形，即|a|=|b|.
对于A，a与b不一定垂直，A错误；
对于B，(a+b)·(a-b)=a2-b2=0，即(a+b)⊥(a-b)，B正确；
对于C，a在a+b上的投影向量为(a+b)=(a+b)，b在a+b上的投影向量为(a+b)=(a+b)=(a+b)，C正确；
对于D，由选项A知，a·b不一定为0，则|a+b|与|a-b|不一定相等，D错误.]
14.6
解析　设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]，
则cos θ===-
因为θ∈[0，π]，
可得sin θ==
故|a×b|=|a||b|sin θ=2×5×=6.§5.3　平面向量的数量积
课标要求　1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则　　　　　　=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量　　　　　　　　叫做向量a与b的数量积，记作　　　　.
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，=a，=b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为　　　　　　　　　.
4.向量数量积的运算律
(1)a·b=　　　　.
(2)(λa)·b=　　　　　　=　　　　　　(λ∈R).
(3)(a+b)·c=　　　　　　　.
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b=|a||b|cos θ a·b=　　　　　
模 |a|=_______ |a|=　　　　　　
夹角 cos θ=　　　　　　 cos θ=　　　　　　　
a⊥b的充要条件 a·b=0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)若a，b共线，则a·b=|a||b|.(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(　　)
(4)若a·b=a·c，则b=c.(　　)
2.已知△ABC的三个顶点为A(-1，-4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.已知a=(1，)，|b|=2，a·b=-3，则a与b的夹角为　　　　.
4.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，且a+b+c=0，则|c|=　　　　　　.
熟记以下常用结论
(1)平面向量数量积运算的常用公式
①(a+b)·(a-b)=a2-b2.
②(a±b)2=a2±2a·b+b2.
③a2+b2=0 a=b=0.
(2)有关向量夹角的两个结论
①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
(3)a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为.
　　　　　　 　　　　　　　　　　
题型一　平面向量数量积的基本运算
例1　(1)(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　)
A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与点A，B的位置有关
(2)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB=2，AD=1，∠BAD=，则·=　　　　　　.


极化恒等式
1.极化恒等式
在平面向量中：
(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
两式相减可得极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
2.几何解释
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即·(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
典例　(1)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是　　　　　　.
思维升华　计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b=|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
跟踪训练1　(1)(2025·扬州模拟)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1-e2)·e2等于(　　)
A.-2 B.0 C.1 D.2
(2)(2025·咸阳模拟)如图所示，已知在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，若点E为线段CD的中点，则·等于(　　)
A. B. C.- D.-
题型二　平面向量数量积的应用
命题点1　向量的模
例2　(1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　)
A. B. C. D.1
(2)(2024·温州模拟)平面向量a，b满足a=(2，1)，a∥b，a·b=-，则|b|=　　　　.
命题点2　向量的夹角
例3　(1)(2025·池州模拟)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a+b|=，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知向量a=(5，5)，b=(λ，1)，若a+b与a-b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为　　　　　.
命题点3　向量的垂直
例4　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(2)(多选)(2024·淮安模拟)已知向量a=(1，-2)，b=(1，3)，则下列结论正确的是(　　)
A.b在a上的投影向量是(1，-2)
B.|2a+b|=|b|
C.a与b的夹角为
D.(a+b)⊥a
命题点4　向量的投影
例5　(2024·郑州模拟)平面向量a，b满足|a|=2，|b|=3，|a+b|=4，则b在a上的投影向量为(　　)
A.a B.a C.a D.a
思维升华　(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ=；
②坐标法.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b=0 |a-b|=|a+b|(其中a≠0，b≠0).
跟踪训练2　(1)(2025·杭州模拟)已知向量a=(-1，1)，b=(2，0)，向量a在向量b上的投影向量c等于(　　)
A.(-2，0) B.(2，0) C.(-1，0) D.(1，0)
(2)(2024·榆林模拟)若向量a=(m，m-1)，b=(m，3)，|a|=|b|，则实数m等于(　　)
A.-4 B.-3
C.-2 D.-2
(3)(2025·佛山模拟)已知a与b为两个不共线的单位向量，则(　　)
A.(a+b)∥a
B.a⊥(a-b)
C.若〈a，b〉=，则〈a-b，b〉=
D.若〈a+b，a〉=，则〈a，b〉=
题型三　平面向量的实际应用
例6　(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|=|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　)
A.|F1|的最小值为|G|
B.θ的范围为[0，π]
C.当θ=时，|F1|=|G|
D.当θ=时，|F1|=|G|

思维升华　用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3　冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中，以力F=(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(-1，-1)移动到点B(1，-1)，则F对冰球所做的功为(　　)
A.-18 B.18 C.-12 D.12
答案精析
落实主干知识
1.∠AOB
2.|a||b|cos θ　a·b
3.|a|cos θe
4.(1)b·a　(2)λ(a·b)　a·(λb)　(3)a·c+b·c
5.x1x2+y1y2　　　　
x1x2+y1y2=0
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.B　3.120°　4.
探究核心题型
例1　(1)BC　[如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D，则D是AB的中点，
故·=||||cos∠CAD
=||||=||2，
故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关.]
(2)0
解析　方法一　·=(+)·(+)=·+·+·+·
=0+||||cos +||||·cos +0=-+=0.
方法二　建立平面直角坐标系，如图，则A(0，2)，
C，
N，
F(0，0)，
则=，
=，
则·=--++=0.
微拓展
典例　(1)A　[因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=10，|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=6，两式相减得a·b=[(a+b)2-(a-b)2]=1.]
(2)
解析　设BD=DC=m，AE=EF=FD=n，
则AD=3n.
由向量的极化恒等式，知
·=||2-||2=9n2-m2=4，①
·=||2-||2=n2-m2=-1，②
联立①②解得n2=，m2=，
因此·=||2-||2
=4n2-m2=，
即·=.
跟踪训练1　(1)A　[因为单位向量e1，e2的夹角为120°，
所以(2e1-e2)·e2=2e1·e2-
=2|e1||e2|cos 120°-=2×1×1×-12=-2.]
(2)C　[·
=
=-=-1=-.]
例2　(1)B　[因为(b-2a)⊥b，
所以(b-2a)·b=0，
即b2=2a·b，
又因为|a|=1，|a+2b|=2，
所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，
从而|b|=.]
(2)
解析　由题意，设b=(2t，t)，
又a=(2，1)，
所以a·b=4t+t=5t=-，
得t=-，
所以|b|=|t|=·=.
例3　(1)D　[因为|a+b|=，
所以(a+b)2=3，
所以a2+2a·b+b2=3，
所以1+2×1×2×cos〈a，b〉+4=3，
所以cos〈a，b〉=-，
所以〈a，b〉=.]
(2)(-7，1)∪(1，7)
解析　由题意得(a+b)·(a-b)>0，
即a2-b2>0，52+52>λ2+12，
所以-7<λ<7，
若a+b=k(a-b)(k>0)，
则解得
所以λ的取值范围是(-7，1)∪(1，7).
例4　(1)D　[因为b⊥(b-4a)，
所以b·(b-4a)=0，
所以b2-4a·b=0，
即4+x2-4x=0，解得x=2.]
(2)BD　[因为|a|=，|b|=，a·b=1-6=-5，所以cos〈a，b〉==-，所以〈a，b〉=，故C错误；
所以b在a上的投影向量是|b|·cos〈a，b〉·=××=-a=(-1，2)，故A错误；
因为a=(1，-2)，b=(1，3)，所以2a+b=(3，-1)，所以|2a+b|===|b|，故B正确；
a+b=(2，1)，所以(a+b)·a=2-2=0，故D正确.]
例5　C　[由|a+b|=
=
==4可得a·b=，
而b在a上的投影向量为
a=a=a=a.]
跟踪训练2　(1)C　[因为向量a=(-1，1)，b=(2，0)，
所以向量a在向量b上的投影向量
c=·b=(-1，0).]
(2)A　[若|a|=|b|，则|a|2=|b|2，
即m2+(m-1)2=2m2+9，
解得m=-4.]
(3)D　[选项A，若(a+b)∥a，则可设a=λ(a+b)，即(1-λ)a=λb，与a与b为两个不共线的单位向量矛盾，故A错误；
选项B，因为0<〈a，b〉<π，cos〈a，b〉<1，所以a·(a-b)=|a|2-|a||b|cos〈a，b〉=1-cos〈a，b〉≠0，故B错误；
选项C，若〈a，b〉=，
则a·b=|a||b|cos =，
所以(a-b)·b=a·b-b2=-，|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=1，即|a-b|=1，所以cos〈a-b，b〉==-，又0≤〈a-b，b〉≤π，所以〈a-b，b〉=，故C错误；
选项D，因为(a+b)·a=a2+a·b=1+a·b，|a+b|2=a2+2a·b+b2=2+2a·b，所以cos〈a+b，a〉===，化简得1+a·b=，又0<〈a，b〉<π，cos〈a，b〉≠-1，所以a·b=|a||b|cos〈a，b〉≠-1，所以=1，即a·b=0，所以〈a，b〉=，故D正确.]
例6　ACD　[由题意知，F1+F2+G=0，
可得F1+F2=-G，两边同时平方得
|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ
=2|F1|2+2|F1|2cos θ，
所以|F1|2=.
当θ=0时，|F1|min=|G|；
当θ=时，|F1|=|G|；
当θ=时，|F1|=|G|，故A，C，D正确；
当θ=π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误.]
跟踪训练3　D　[因为A(-1，-1)，B(1，-1)，所以=(2，0)，
又F=(6，24)，
故力F对冰球所做的功为
W=F·=12.](共81张PPT)
第五章
§5.3　平面向量的数量积
数学
大
一
轮
复
习
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a＝b，则_______＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积，记作 .
∠AOB
|a||b|cos θ
a·b
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量＝a＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，
得到我们称上述变换为向量a向向量b投影叫做向量a在向量b上的投影向量.记为 .
|a|cos θ e
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ (λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝ .
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝__________
模 |a|＝_______ |a|＝_________
夹角 cos θ＝_____
cos θ＝_______________
a⊥b的充要条件 a·b＝0 _____________
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)若a，b共线，则a·b＝|a||b|.(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(　　)
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　　)
×
×
√
×
2.已知△ABC的三个顶点为A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
√
由已知＝(6，6)＝(－2，2)，∴·＝6×(－2)＋6×2＝0，即AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形.
3.已知a＝(1)，|b|＝2a·b＝－3，则a与b的夹角为　　　　.
设a与b的夹角为θ，
因为a＝(1)，|b|＝2a·b＝－3，
所以cos θ＝＝－
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，
即a与b的夹角为120°.
120°
4.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为且a＋b＋c＝0，则|c|＝　　　.
因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×3×cos ＋32＝4－6＋9＝7，所以|c|＝.
熟记以下常用结论
(1)平面向量数量积运算的常用公式
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
③a2＋b2＝0 a＝b＝0.
(2)有关向量夹角的两个结论
①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
(3)a在b上的投影向量为·a在b上的投影向量的模为.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值
A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与点A，B的位置有关
√
平面向量数量积的基本运算
题型一
√
如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D，则D是AB的中点，
故·＝||||cos∠CAD
＝||||||2，
故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关.
(2)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝则·＝　　　.
0
方法一　·＝()·()＝····
＝0＋||||cos ＋||||cos ＋0＝－＝0.
方法二　建立平面直角坐标系，如图，则A(0，2)，
CNF(0，0)，
则
则·＝－＝0.
1.极化恒等式
在平面向量中：
(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
两式相减可得极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
2.几何解释
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线
长”与“差对角线长”平方差的即a·b＝[(a＋b)2
－(a－b)2](如图).
极化恒等式
微拓展
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即·(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
典例　(1)设向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝则a·b等于
A.1 B.2 C.3 D.5
√
因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝1.
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点·＝4·＝－1，则
·的值是　　　.
方法一　(极化恒等式法)
设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，
则AD＝3n.
由向量的极化恒等式，知
·＝||2－||2＝9n2－m2＝4， ①
·＝||2－||2＝n2－m2＝－1， ②
联立①②解得n2＝m2＝
因此·＝||2－||2＝4n2－m2＝
即·.
方法二　(坐标法)
以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系.设A(3a，3b)，
B(－c，0)，C(c，0)，
则E(2a，2b)，F(a，b)，
所以·＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4
·＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，
则a2＋b2＝c2＝
所以·＝(2a＋c，2b)·(2a－c，2b)＝4a2－c2＋4b2＝.
方法三　(基向量法)
·＝()·()
＝＝4，
·＝()·()＝＝－1，
因此||2＝||2＝
所以·＝()·()＝.
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2025·扬州模拟)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1－e2)·e2等于
A.－2 B.0 C.1 D.2
√
因为单位向量e1，e2的夹角为120°，
所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－＝2|e1||e2|cos 120°－＝2×1×1×
－12＝－2.
(2)(2025·咸阳模拟)如图所示，已知在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，若点E为线段CD的中点，则·等于
A. B. C.－ D.－
√
·
＝－1＝－.
例2　(1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且
(b－2a)⊥b，则|b|等于
A. B. C. D.1
√
命题点1　向量的模
平面向量数量积的应用
题型二
因为(b－2a)⊥b，
所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，
又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，
从而|b|＝.
(2)(2024·温州模拟)平面向量a，b满足a＝(2，1)，a∥b，a·b＝－则|b|＝　　　.
由题意，设b＝(2t，t)，
又a＝(2，1)，
所以a·b＝4t＋t＝5t＝－
得t＝－
所以|b|＝|t|＝·.
例3　(1)(2025·池州模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝则a与b的夹角为
A. B. C. D.
命题点2　向量的夹角
√
因为|a＋b|＝
所以(a＋b)2＝3，
所以a2＋2a·b＋b2＝3，
所以1＋2×1×2×cos〈a，b〉＋4＝3，
所以cos〈a，b〉＝－
所以〈a，b〉＝.
由题意得(a＋b)·(a－b)>0，
即a2－b2>0，52＋52>λ2＋12，所以－7<λ<7，
若a＋b＝k(a－b)(k>0)，
则解得
所以λ的取值范围是(－7，1)∪(1，7).
(2)已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为　　　　　　　　 .
(－7，1)∪(1，7)
命题点3　向量的垂直
例4　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
因为b⊥(b－4a)，
所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，
即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.
√
(2)(多选)(2024·淮安模拟)已知向量a＝(1，－2)，b＝(1，3)，则下列结论正确的是
A.b在a上的投影向量是(1，－2)
B.|2a＋b|＝|b|
C.a与b的夹角为
D.(a＋b)⊥a
√
√
因为|a|＝|b|＝a·b＝1－6＝－5，所以cos〈a，b〉＝＝－所以〈a，b〉＝故C错误；
所以b在a上的投影向量是|b|·cos〈a，b〉·××＝－a＝
(－1，2)，故A错误；
因为a＝(1，－2)，b＝(1，3)，所以2a＋b＝(3，－1)，所以|2a＋b|＝＝|b|，故B正确；
a＋b＝(2，1)，所以(a＋b)·a＝2－2＝0，故D正确.
命题点4　向量的投影
例5　(2024·郑州模拟)平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则b在a上的投影向量为
A.a B.a C.a D.a
由|a＋b|＝＝＝＝4
可得a·b＝
而b在a上的投影向量为a＝a＝a＝a.
√
(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝；
②坐标法.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·杭州模拟)已知向量a＝(－1，1)，b＝(2，0)，向量a在向量b上的投影向量c等于
A.(－2，0) B.(2，0) C.(－1，0) D.(1，0)
√
因为向量a＝(－1，1)，b＝(2，0)，
所以向量a在向量b上的投影向量
c＝·b＝(－1，0).
(2)(2024·榆林模拟)若向量a＝(m，m－1)，b＝(m，3)，|a|＝|b|，则实数m等于
A.－4 B.－3 C.－2 D.－2
√
若|a|＝|b|，则|a|2＝|b|2，
即m2＋(m－1)2＝2m2＋9，解得m＝－4.
(3)(2025·佛山模拟)已知a与b为两个不共线的单位向量，则
A.(a＋b)∥a
B.a⊥(a－b)
C.若〈a，b〉＝则〈a－b，b〉＝
D.若〈a＋b，a〉＝则〈a，b〉＝
√
选项A，若(a＋b)∥a，则可设a＝λ(a＋b)，即(1－λ)a＝λb，与a与b为两个不共线的单位向量矛盾，故A错误；
选项B，因为0<〈a，b〉<π，cos〈a，b〉<1，所以a·(a－b)＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－cos〈a，b〉≠0，故B错误；
选项C，若〈a，b〉＝则a·b＝|a||b|cos 所以(a－b)·b＝a·b－b2＝－|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝1，即|a－b|＝1，所以cos〈a－b，b〉＝＝－又0≤〈a－b，b〉≤π，所以〈a－b，b〉＝故C错误；
选项D，因为(a＋b)·a＝a2＋a·b＝1＋a·b，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2a·b，所以cos〈a＋b，a〉＝化简得1＋a·b＝又0<〈a，b〉<π，cos〈a，b〉≠－1，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≠－1，所以＝1，即a·b＝0，所以〈a，b〉＝故D正确.
例6　(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是
A.|F1|的最小值为|G|
B.θ的范围为[0，π]
C.当θ＝时，|F1|＝|G|
D.当θ＝时，|F1|＝|G|
√
平面向量的实际应用
题型三
√
√
由题意知，F1＋F2＋G＝0，
可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得
|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，
所以|F1|2＝.
当θ＝0时，|F1|min＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|；
当θ＝时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确；
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误.
用向量方法解决实际问题的步骤
思维升华
跟踪训练3　冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(－1，－1)移动到点B(1，－1)，则F对冰球所做的功为
A.－18 B.18 C.－12 D.12
√
因为A(－1，－1)，B(1，－1)，所以＝(2，0)，又F＝(6，24)，
故力F对冰球所做的功为W＝F·＝12.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C A D ACD BCD
题号 9 10 13 　14
答案 1 　- BC 　6
答案
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(1)=+=+
=+)==+
=-=+-=-.
11.
答案
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14
(2)由题意可知，||===1，
=-
所以·=(-)·=--·
=--||||·cos=×4-×1-×2×1×=.
11.
答案
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(1)分别以的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，
所以=(2，-1)=(λ，1)，
因为⊥所以·=2λ-1=0，
所以λ=.
12.
答案
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(2)当λ=时，||==||==
因为·=2λ-1=
所以cos θ===.
12.
一、单项选择题
1.(2024·葫芦岛模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(a－b)的
值为
A.4 B.3 C.2 D.0
√
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知识过关
答案
由题意知，a·(a－b)＝a2－a·b＝1－(－1)＝2.
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答案
2.(2025·西安模拟)平面向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，则|a－2b|等于
A.28 B.52 C.2 D.2
√
由题意可知
|a－2b|＝
＝＝2.
3.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于
A.－ B.－ C.－ D.
√
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答案
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答案
由题意知(v1＋v2)·v2＝0，
则v1·v2＋＝|v1||v2|·cos θ＋
＝60cos θ＋36＝0，
所以cos θ＝－.
4.(2025·鞍山模拟)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，向量a在向量b上的投影向量是b，则a与b夹角的余弦值为
A. B. C. D.
√
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14
由向量a在向量b上的投影向量为b，
得··b，
又因为|a|＝2|b|，所以cos〈a，b〉＝.
答案
5.(2024·呼伦贝尔模拟)在△ABC中，AB⊥AC＝(－1)·＝6则AC等于
A. B.6 C.2 D.3
√
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答案
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14
由AB⊥AC，得·＝0，
由＝(－1)
得.
由··()＝·
＝··()
＝＝6
所以||＝即AC＝.
答案
6.在△ABC中，设||2－||2＝2·()，那么动点M的轨迹必通过△ABC的
A.垂心 B.内心
C.重心 D.外心
√
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答案
设线段BC的中点为D，则＝2
因为||2－||2＝2·()，
所以()·()＝2·
即2·＝2·即·()＝0，
当时，点M和点D重合；
当≠时·＝0，即DM⊥BC，
所以DM垂直且平分线段BC，
因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过△ABC的外心.
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答案
二、多项选择题
7.下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a||b|
D.|a－b|≤|a|＋|b|
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√
答案
√
√
根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
C中，根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；
D中，|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.
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答案
8.已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，t)，则下列说法正确的是
A.若a∥b，则t的值为－2
B.|a＋b|的最小值为1
C.若|a＋b|＝|a－b|，则t的值为2
D.若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是∪
√
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答案
√
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选项A，a∥b －2·t＝1·1 t＝－A选项错误；
选项B，|a＋b|＝|(－1，t＋1)|＝≥1，当且仅当t＝－1时取等号，B选项正确；
选项C，方法一　|a－b|＝|(－3，1－t)|＝根据解得t＝2，C选项正确；
方法二　因为|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0，所以a·b＝－2＋t＝0，解得t＝2，C选项正确；
答案
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选项D，a与b的夹角为钝角，则a·b＝t－2<0，且两个向量不能反向共线，注意到A选项，当t＝－时，a＝－2b，于是t<2且t≠－D选项正确.
答案
三、填空题
9.(2024·西安模拟)已知单位向量e1⊥e2，向量a＝λe1－2e2，b＝2e1＋e2，若a⊥b，则实数λ＝　　　.
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答案
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因为a⊥b，所以a·b＝(λe1－2e2)·(2e1＋e2)＝2λ＋(λ－4)e1·e2－2＝2λ－2＝0，故λ＝1.
10.(2025·汕头模拟)已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且满足4
＝－2－3则cos∠AOB＝　　　·＝　　 　.
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答案
－
由4＝－2－3两边平方得
16＝4＋9＋12·
依题意，16＝4＋9＋12cos∠AOB，
所以cos∠AOB＝
·＝()··＝cos∠AOB－1＝－.
四、解答题
11.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，||＝2||＝2，∠BAD＝E是BC边的中点.
(1)试用表示；
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答案
)＝
＝.
(2)求·的值.
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答案
由题意可知，||＝＝1
所以·＝()·
＝·
＝||||·cos
＝×4－×1－×2×1×.
12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC＝λBC＝2AB＝2AD＝2.
(1)若⊥求实数λ的值；
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答案
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答案
分别以的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，
所以＝(2，－1)＝(λ，1)，
因为⊥
所以·＝2λ－1＝0，
所以λ＝.
(2)若λ＝求与的夹角θ的余弦值.
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答案
当λ＝时，||＝||＝
因为·＝2λ－1＝
所以cos θ＝.
13.(多选)(2024·广州模拟)已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是
A.a·b＝0
B.(a＋b)⊥(a－b)
C.向量a，b在a＋b上的投影向量相等
D.|a＋b|＝|a－b|
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答案
√
能力拓展
√
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答案
如图，作向量＝a＝b，在 OACB中
＝a＋b＝a－b，
由向量a＋b平分a与b的夹角，得 OACB是菱形，
即|a|＝|b|.
对于A，a与b不一定垂直，A错误；
对于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，即(a＋b)⊥(a－b)，B正确；
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答案
对于C，a在a＋b上的投影向量为(a＋b)
＝(a＋b)，
b在a＋b上的投影向量为(a＋b)＝(a＋b)＝(a＋b)，C正确；
对于D，由选项A知，a·b不一定为0，则|a＋b|与|a－b|不一定相等，D错误.
14.(2024·抚州模拟)定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，则|a×b|＝　　　.
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答案
设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]，
则cos θ＝＝－
因为θ∈[0，π]，可得sin θ＝
故|a×b|＝|a||b|sin θ＝2×5×＝6.
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