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§5.4　平面向量中的综合问题
分值：52分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量=(x2，-2x)在向量=(1，2)上的投影向量为λ(λ∈R)，则实数λ的最小值为(　　)
A.- B.-
C.- D.-
2.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若|--|=1，则||的最大值是(　　)
A.2-1 B.2
C.2+1 D.2+2
3.已知非零向量与满足·=0且·=，则△ABC的形状是(　　)
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4.在△ABC中，AC=9，∠A=60°，点D满足=2，AD=，则BC的长为(　　)
A.3 B.3
C.3 D.6
5.在平行四边形ABCD中，点P在对角线AC上(包含端点)，且AC=2，则(+)·有(　　)
A.最大值为，没有最小值
B.最小值为-，没有最大值
C.最小值为-，最大值为4
D.最小值为-4，最大值为
6.(2024·呼和浩特模拟)在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，AD=2DC.连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若=a+b(a，b∈R)，则a2+b2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　)
A.若=+)，则点D是边BC的中点
B.若=，则直线AD过△ABC的垂心
C.若=2-，则点D在边BC的延长线上
D.若=x+y，且x+y=，则△BCD是△ABC面积的一半
8.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足+2=0，=2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是(　　)
A.∥
B.=+
C.·<0
D.S=4
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知向量a=(-3，2)，b=(2，1)，则|a+tb|(t∈R)的最小值为　　　　　　，此时t的值为　　　　　　.
10.(2025·长沙模拟)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AC=，AB=1，平面ABC内动点P满足CP=1，则·的最小值为　　　　　　.
答案精析
1.A　2.C
3.C　[由·=0，得角A的平分线垂直于BC，
所以AB=AC，设的夹角为θ，
而·=cos θ=
又θ∈[0，π]，所以θ=∠A=π-=故△ABC为等腰三角形.]
4.A　[因为=2
所以=+=+
=+-)
=+
设AB=x，x>0，
则||2=
得37=x2+×x×9cos 60°+×92，
即2x2+9x-126=0，
解得x=6(舍负)，即AB=6，
所以||=|-|=
==3.]
5.C　[设AC与BD的交点为O，则+=2所以(+)·=2·
如图(1)，当点P在AO上，设||=a∈[0，1]，(+)·=2·=-2a(1-a)，当a=时，有最小值为-.
如图(2)，当点P在CO上，设||=a∈[0，1]，(+)·=2·=2a(1+a)，当a=1时，有最大值为4.
综上，(+)·有最小值为-最大值为4.]
6.C　[设=λλ∈[0，1]，
因为AD=2DC，所以=+=+λ=+λ(+)
=+(1-λ)
所以a=b=1-λ，
所以a2+b2=λ2+(1-λ)2
=λ2-2λ+1，
当λ=-=时，a2+b2取得最小值为.]
7.ABD　[对于A，
∵=+)，
即-=-即=
即点D是边BC的中点，故A正确；
对于B·
=
=(-||+||)=0，
即AD⊥BC，
故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；
对于C，∵=2-即-=-即=
即点D在边CB的延长线上，故C错误；
对于D，∵=x+y且x+y=设=2
则=2=2x+2y且2x+2y=1，故M，B，C三点共线，且||=2||，
即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确.]
8.BCD　[由+2=0，
=2
可知点P为AC的靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示，对于A，点P为AC的靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；
对于B=+=+=+-)=+故B正确；
对于C·=||||cos π=-||||<0，故C正确；
对于D，设△ABC的高为h，S△ABC=|AB|h=3，即|AB|h=6，则△APQ的面积S=|AQ|·h=·2|AB|·h=×6=4，故D正确.]
9.　
解析　因为a=(-3，2)，b=(2，1)，
所以a+tb=(-3，2)+t(2，1)
=(-3+2t，2+t)，
所以|a+tb|
=
==
≥=.
当且仅当t=时取等号，
即|a+tb|的最小值为此时t=.
10.4-
解析　平面ABC内动点P满足CP=1，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
因为AB⊥AC，AC=AB=1，
由勾股定理可得BC2=AB2+AC2=4，
所以BC=2，且cos C==
所以C=30°，
所以·=||·||cos 30°=3，
因为=+=+
所以·=(+)·(+)=·+·(+)+
因为||=1，
所以·=4+·(+)，
|+|=
=
==
所以向量+是长度为的一个向量，
由此可得，点P在圆C上运动，
当与+反向共线时·(+)取得最小值为-
故·的最小值为4-.§5.4　平面向量中的综合问题
重点解读　平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
题型一　平面向量在几何中的应用
例1　(1)设P是△ABC所在平面内一点，若·(+)=2·，且=-2·，则点P是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
(2)△ABC的外心O满足++=0，||=，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C. D.2
思维升华　用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.
跟踪训练1　(1)在△ABC中，若·=·=·，则点O是△ABC的(　　)
A.内心 B.外心
C.垂心 D.重心
(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为　　　　　　.
题型二　和向量有关的最值问题
命题点1　与平面向量基本定理有关的最值问题
例2　已知是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的上运动.若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是(　　)
A. B.2 C. D.3
命题点2　与数量积有关的最值问题
例3　在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则·的取值范围是(　　)
A.[-5，3] B.[-3，5]
C.[-6，4] D.[-4，6]
命题点3　与模有关的最值问题
例4　已知a，b是单位向量，a·b=0，且向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是(　　)
A.[-1，+1] B.[-1，]
C.[+1] D.[2-，2+]
思维升华　向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围).
(2)利用基本不等式求最值(范围).
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.
跟踪训练2　(1)(2024·铜川模拟)在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD=2DB，E在线段CD上(不含端点)，且=x+y(x，y∈R)，则的最小值为(　　)
A.3+2 B.4+2
C.8+4 D.8
(2)(2025·韶关模拟)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a+b|=1，则向量a与b的夹角为　　　　　　，(a+b)·(b-c)的最小值为　　　　　　.
(3)(2024·会宁模拟)已知单位向量a，b满足|3a-4b|=m，则实数m的取值范围是　　　　　　.
四心问题
一、引理(“奔驰”定理)
如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA＋SB＋SC＝0.
图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理.
证明　如图，延长AO与BC相交于点D，
，
记＝λ，则＝λ，即＝λ()，
所以－(1＋λ)＋λ＝0，
又＝－＝－，
所以＝0，
从而SA＋SB＋SC＝0.
推论　若O是△ABC内的一点，且x＋y＋z＝0，则SA∶SB∶SC＝x∶y∶z.
二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征
1.重心
(1)定义：三角形三条中线的交点.
(2)几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.
(3)向量特征：
定理1　G是△ABC的重心 ＝0.
证明　由引理得G是△ABC的重心 SA＝SB＝SC ＝0.
推论1　P是△ABC所在平面内任意一点，) G是△ABC的重心.
证明　G是△ABC的重心 ＝0 ＝0 ).
2.外心
(1)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心.
(2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等.
(3)向量特征：
定理2　O是锐角△ABC的外心 sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝0.
证明　由O是锐角△ABC的外心，得||＝||＝||，
则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠COA＝2∠ABC，
于是SA∶SB∶SC＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C，
根据引理，得到sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝0.
反之亦然(证明略).
推论2　P是锐角△ABC所在平面内任意一点，
O是锐角△ABC的外心.
推论2可仿照推论1进行证明.
3.内心
(1)定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心.
(2)几何性质：三角形的内心到三边的距离相等.
(3)向量特征：
定理3　O是△ABC的内心 a＋b＋c＝0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)
证明　设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC＝∶∶＝a∶b∶c.
根据引理得，O是△ABC的内心 a＋b＋c＝0.
推论3　P是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的内心 .
推论3可仿照推论1进行证明.
4.垂心
(1)定义：三角形三条高所在直线的交点.
(2)几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等.
(3)向量特征：
定理4　O是△ABC(非直角三角形)的垂心 tan A＋tan B＋tan C＝0.
证明　O是△ABC(非直角三角形)的垂心
···
||·||cos(π－C)＝||·||cos(π－A)＝||·||cos(π－B)
||∶||∶||＝cos A∶cos B∶cos C
SA∶SB∶SC＝tan A∶tan B∶tan C，
由引理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心 tan A＋tan B＋tan C＝0.
推论4　P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心 .
推论4可仿照推论1进行证明.
典例　奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.以下命题错误的是(　　)
A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心
B.若M为△ABC的内心，则BC·＋AC·＋AB·＝0
C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝∶2∶1
D.若M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，则cos∠AMB＝－
答案精析
例1　(1)A　[由·(+)
=2·，
得·(+-2)=0，
即·[(-)+(-)]=0，
所以·(+)=0.
设D为AB的中点，
则·2=0，
故·=0.
由=-2·，
得(+)·(-)
=-2·，
即(+-2)·=0.
设E为BC的中点，
则(2-2)·=0，
则2·=0，故·=0.
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，
所以P是△ABC的外心.]
(2)B　[设AB的中点为D，
则++=0可化为2+=0，
即=-，
∴ O，D，C三点共线且CD⊥AB，
∴△ABC为等腰三角形，
||2=||2+||2，
设△ABC外接圆的半径为R，
则R2=+，
解得R=1，CD=1+，
∴S△ABC=|AB||CD|=××=.]
跟踪训练1　(1)C　[∵·=·，
∴·(-)=0，
∴·=0，
∴OB⊥CA，
即OB为△ABC边CA上的高所在的直线.
同理·=0，·=0，
∴OA⊥BC，OC⊥AB，
故O是△ABC的垂心.]
(2)
解析　以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，
B(0，)，C(3，)，D(3，0)，=(3，)，
设=λ，
则E的坐标为(3λ，λ)，
故=(3λ，λ-).
因为BE⊥AC，所以·=0，
即9λ+3λ-3=0，解得λ=，
所以E，
故=，||=，
即ED=.
例2　B　[由题意，以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设C(cos θ，sin θ)，0°≤θ≤120°，
可得A(1，0)，B，
由=x(1，0)+y
=(cos θ，sin θ)，
得x-y=cos θ，y=sin θ，
∴y=sin θ，
∴x+y=+y
=cos θ+sin θ=2sin(θ+30°)，
∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°，
∴当θ=60°时，x+y的最大值为2，此时C为的中点，∴x+y的最大值是2.]
例3　D　[方法一　(坐标法)
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4).
设P(x，y)，则x2+y2=1，=(3-x，-y)，=(-x，4-y)，
所以·=x2-3x+y2-4y
=+(y-2)2-.
又+(y-2)2表示圆x2+y2=1上一点到点距离的平方，圆心(0，0)到点的距离为，所以·∈
，
即·的取值范围是[-4，6].
方法二　(极化恒等式法)
设AB的中点为M，与的夹角为θ，
由题意知AB=5，CM=.
由极化恒等式得·
=-=(-)2-
=+-2·-
=+1-5cos θ-=1-5cos θ，
因为cos θ∈[-1，1]，
所以·的取值范围是[-4，6].]
例4　A　[a，b是单位向量，a·b=0，设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x，y)，
|c-a-b|=|(x-1，y-1)|==1，∴(x-1)2+(y-1)2=1，∴|c|表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故-1≤|c|≤+1，∴-1≤|c|≤+1.]
跟踪训练2　(1)B　[∵=x+y(x，y∈R)，
AD=2DB，∴=+y，
又E在线段CD上(不含端点)，
∴+y=1，且x>0，y>0，
∴=+
=
=4++≥4+2，
当且仅当=，即x=，y=时，等号成立，∴的最小值为4+2.]
(2)　-
解析　由题意知，|a|=|b|=|c|=1，
由|a+b|2=a2+2a·b+b2=1，
得a·b=-，
所以cos〈a，b〉==-，
又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=，
即a与b的夹角为，
(a+b)·(b-c)
=a·b+b2-(a+b)·c
=-|a+b||c|cos〈a+b，c〉
=-cos〈a+b，c〉，
又cos〈a+b，c〉∈[-1，1]，
所以≥-cos〈a+b，c〉≥-，
当且仅当a+b与c同向时，右侧等号成立.
所以(a+b)·(b-c)的最小值为-.
(3)[1，7]
解析　设a，b的夹角为θ(θ∈[0，π])，
因为|3a-4b|2=9a2-24a·b+16b2=9|a|2-24|a||b|cos θ+16|b|2，
又a，b为单位向量，
则m2=9+16-24cos θ=25-24cos θ，
又cos θ∈[-1，1]，则1≤m2≤49，
所以1≤m≤7.
微拓展
典例　C　[对于A，取BC的中点D，连接MD，如图，
由SA∶SB∶SC=1∶1∶1，则++=0，
所以2=+=-，
所以A，M，D三点共线，
且=，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得==，所以M为△ABC的重心，故A正确；
对于B，由M为△ABC的内心，则可设其内切圆半径为r，
则有SA=BC·r，SB=AC·r，SC=AB·r，
所以r·BC·+r·AC·+r·AB·=0，
即BC·+AC·+AB·=0，故B正确；
对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，
又∠BAC=45°，∠ABC=60°，
则有∠BMC
=2∠BAC=90°，
∠AMC=2∠ABC=120°，
∠AMB=2∠ACB=150°，
所以SA=R2·sin ∠BMC
=R2·sin 90°=R2，
SB=R2·sin ∠AMC
=R2·sin 120°=R2，
SC=R2·sin ∠AMB
=R2·sin 150°=R2，
所以SA∶SB∶SC=2∶∶1，故C错误；
对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则SA∶SB∶SC=3∶4∶5，
又S△ABC=SA+SB+SC，
则=4，=3，
设MD=x，MF=y，x，y>0，
则AM=3x，BM=2y，
所以cos∠BMD==cos∠AMF=，
即3x2=2y2，=，
所以cos∠BMD=，
所以cos∠AMB=cos(π-∠BMD)=-，故D正确.](共70张PPT)
第五章
§5.4　平面向量中
的综合问题
数学
大
一
轮
复
面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
重点解读
例1　(1)设P是△ABC所在平面内一点，若·()＝2·，且－2·，则点P是△ABC的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
√
平面向量在几何中的应用
题型一
由·()＝2·，
得·(－2)＝0，
即·[()＋()]＝0，
所以·()＝0.
设D为AB的中点，则·2＝0，
故·＝0.
由－2·，
得()·()＝－2·，
即(－2)·＝0.
设E为BC的中点，则(2－2)·＝0，
则2·＝0，故·＝0.
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，
所以P是△ABC的外心.
(2)△ABC的外心O满足＝0，||＝，则△ABC的面
积为
A. B. C. D.2
√
设AB的中点为D，
则＝0可化为2＝0，
即＝－，
∴O，D，C三点共线且CD⊥AB，
∴△ABC为等腰三角形，
||2＝||2＋||2，
设△ABC外接圆的半径为R，
则R2＝，
解得R＝1，CD＝1＋，
∴S△ABC＝|AB||CD|＝××.
用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问题.
思维升华
跟踪训练1　(1)在△ABC中，若···，则点O是△ABC的
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
√
∵··，
∴·()＝0，∴·＝0，
∴OB⊥CA，
即OB为△ABC边CA上的高所在的直线.
同理·＝0，·＝0，
∴OA⊥BC，OC⊥AB，
故O是△ABC的垂心.
(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，
则ED的长为　　　　.
以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)，
设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)，
故＝(3λ，λ－).
因为BE⊥AC，所以·＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E，
故，||＝，即ED＝.
命题点1　与平面向量基本定理有关的最值问题
例2　已知，是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的上运动.若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大
值是
A. B.2
C. D.3
和向量有关的最值问题
题型二
√
由题意，以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设C(cos θ，sin θ)，0°≤θ≤120°，
可得A(1，0)，B，由＝x(1，0)＋y＝(cos θ，sin θ)，
得x－y＝cos θ，y＝sin θ，∴y＝sin θ，
∴x＋y＝y＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋30°)，
∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ＋30°≤150°，
∴当θ＝60°时，x＋y的最大值为2，此时C为的中点，∴x＋y的最大值是2.
命题点2　与数量积有关的最值问题
例3　在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是
A.[－5，3] B.[－3，5]
C.[－6，4] D.[－4，6]
√
方法一　(坐标法)
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4).
设P(x，y)，则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x，4－y)，
所以·＝x2－3x＋y2－4y＝＋(y－2)2－.
又＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0，0)到点的距离为，
所以·∈，
即·的取值范围是[－4，6].
方法二　(极化恒等式法)
设AB的中点为M，与的夹角为θ，
由题意知AB＝5，CM＝.
由极化恒等式得·＝()2－－2·＋1－5cos θ－＝1－5cos θ，
因为cos θ∈[－1，1]，
所以·的取值范围是[－4，6].
命题点3　与模有关的最值问题
例4　已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是
A.[－1，＋1] B.[－1，]
C.[，＋1] D.[2－，2＋]
√
a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|
＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，
故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1.
向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围).
(2)利用基本不等式求最值(范围).
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2024·铜川模拟)在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD＝2DB，E在线段CD上(不含端点)，且＝x＋y(x，y∈R)，则的最小值为
A.3＋2 B.4＋2
C.8＋4 D.8
√
∵＝x＋y(x，y∈R)，
AD＝2DB，∴＋y，
又E在线段CD上(不含端点)，
∴＋y＝1，且x>0，y>0，
∴＝4＋≥4＋2，
当且仅当，即x＝，y＝时，等号成立，∴的最小值为4＋2.
(2)(2025·韶关模拟)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则
向量a与b的夹角为　　　，(a＋b)·(b－c)的最小值为　　　.
－
由题意知，|a|＝|b|＝|c|＝1，
由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，
得a·b＝－，所以cos〈a，b〉＝＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，
即a与b的夹角为，
(a＋b)·(b－c)＝a·b＋b2－(a＋b)·c
＝－|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉
＝－cos〈a＋b，c〉，
又cos〈a＋b，c〉∈[－1，1]，
所以≥－cos〈a＋b，c〉≥－，
当且仅当a＋b与c同向时，右侧等号成立.
所以(a＋b)·(b－c)的最小值为－.
(3)(2024·会宁模拟)已知单位向量a，b满足|3a－4b|＝m，则实数m的取值范围是　　　　　.
[1，7]
设a，b的夹角为θ(θ∈[0，π])，
因为|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9|a|2－24|a||b|cos θ＋16|b|2，
又a，b为单位向量，
则m2＝9＋16－24cos θ＝25－24cos θ，
又cos θ∈[－1，1]，则1≤m2≤49，
所以1≤m≤7.
一、引理(“奔驰”定理)
如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA＋SB＋SC＝0.
图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理.
四心问题
微拓展
证明　如图，延长AO与BC相交于点D，
，
记＝λ，则＝λ，即＝λ()，
所以－(1＋λ)＋λ＝0，
又＝－＝－，
所以＝0，
从而SA＋SB＋SC＝0.
推论　若O是△ABC内的一点，且x＋y＋z＝0，则SA∶SB∶SC＝x∶y∶z.
二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征
1.重心
(1)定义：三角形三条中线的交点.
(2)几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.
(3)向量特征：
定理1　G是△ABC的重心 ＝0.
证明　由引理得G是△ABC的重心 SA＝SB＝SC ＝0.
推论1　P是△ABC所在平面内任意一点，) G是△ABC的重心.
证明　G是△ABC的重心 ＝0 ＝0 ).
2.外心
(1)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心.
(2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等.
(3)向量特征：
定理2　O是锐角△ABC的外心 sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝0.
证明　由O是锐角△ABC的外心，得||＝||＝||，
则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠COA＝2∠ABC，
于是SA∶SB∶SC＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C，
根据引理，得到sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝0.
反之亦然(证明略).
推论2　P是锐角△ABC所在平面内任意一点，
O是锐角△ABC的外心.
推论2可仿照推论1进行证明.
3.内心
(1)定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心.
(2)几何性质：三角形的内心到三边的距离相等.
(3)向量特征：
定理3　O是△ABC的内心 a＋b＋c＝0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)
证明　设△ABC的内切圆半径为r，O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC＝∶∶＝a∶b∶c.
根据引理得，O是△ABC的内心 a＋b＋c＝0.
推论3　P是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的内心 .
推论3可仿照推论1进行证明.
4.垂心
(1)定义：三角形三条高所在直线的交点.
(2)几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等.
(3)向量特征：
定理4　O是△ABC(非直角三角形)的垂心 tan A＋tan B＋tan C＝0.
证明　O是△ABC(非直角三角形)的垂心
···
||·||cos(π－C)＝||·||cos(π－A)＝||·||cos(π－B)
||∶||∶||＝cos A∶cos B∶cos C
SA∶SB∶SC＝tan A∶tan B∶tan C，
由引理得，O是△ABC(非直角三角形)的垂心 tan A＋tan B＋tan C＝0.
推论4　P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心 .
推论4可仿照推论1进行证明.
典例　奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.以下命题错误的是
A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心
B.若M为△ABC的内心，则BC·＋AC·＋
AB·＝0
C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝
∶2∶1
D.若M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，则cos∠AMB＝－
√
对于A，取BC的中点D，连接MD，如图，
由SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则＝0，
所以2＝－，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以M为△ABC的重心，故A正确；
对于B，由M为△ABC的内心，则可设其内切圆半径为r，
则有SA＝BC·r，SB＝AC·r，SC＝AB·r，
所以r·BC·r·AC·r·AB·＝0，
即BC·＋AC·＋AB·＝0，故B正确；
对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，
又∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，
则有∠BMC＝2∠BAC＝90°，∠AMC＝2∠ABC＝120°，∠AMB＝2∠ACB＝150°，
所以SA＝R2·sin ∠BMC＝R2·sin 90°＝R2，
SB＝R2·sin ∠AMC＝R2·sin 120°＝R2，
SC＝R2·sin ∠AMB＝R2·sin 150°＝R2，
所以SA∶SB∶SC＝2∶∶1，故C错误；
对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，
则SA∶SB∶SC＝3∶4∶5，
又S△ABC＝SA＋SB＋SC，则＝4，＝3，
设MD＝x，MF＝y，x，y>0，
则AM＝3x，BM＝2y，
所以cos∠BMD＝＝cos∠AMF＝，
即3x2＝2y2，，
所以cos∠BMD＝，
所以cos∠AMB＝cos(π－∠BMD)＝－，故D正确.
课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C A C C ABD BCD
题号 9 　10 答案 一、单项选择题
1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量＝(x2，－2x)在向量＝(1，2)上的投影向量为λ(λ∈R)，则实数λ的最小值为
A.－ B.－ C.－ D.－
√
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答案
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答案
向量在向量上的投影向量为·，
则λ＝≥－，
当且仅当x＝2时，等号成立，所以λ的最小值为－.
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答案
2.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若||＝1，则||的最大值是
A.2－1 B.2
C.2＋1 D.2＋2
√
由－()＝，||＝1，
得||＝1，即点P在以点C为圆心，1为半径的圆周上运动，
所以||的最大值为＋1＝2＋1.
3.已知非零向量与满足·＝0且·，则△ABC的形状是
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
√
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答案
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由·＝0，得角A的平分线垂直于BC，
所以AB＝AC，设，的夹角为θ，
而·＝cos θ＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝，∠A＝π－，故△ABC为等腰三角形.
答案
4.在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，点D满足＝2，AD＝，则BC的长为
A.3 B.3 C.3 D.6
√
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答案
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因为＝2，
所以＝)＝，
设AB＝x，x>0，
则||2＝，
得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，
即2x2＋9x－126＝0，
解得x＝6(舍负)，即AB＝6，
答案
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所以||＝||
＝
＝＝3.
答案
5.在平行四边形ABCD中，点P在对角线AC上(包含端点)，且AC＝2，则()·有
A.最大值为，没有最小值
B.最小值为－，没有最大值
C.最小值为－，最大值为4
D.最小值为－4，最大值为
√
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答案
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答案
设AC与BD的交点为O，则＝2，所以()·＝2·，
如图(1)，当点P在AO上，设||＝a∈[0，1]，()·＝2·＝
－2a(1－a)，当a＝时，有最小值为－.
如图(2)，当点P在CO上，设||＝a∈[0，1]，
()·＝2·＝2a(1＋a)，
当a＝1时，有最大值为4.
综上，()·有最小值为－，最大值为4.
6.(2024·呼和浩特模拟)在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，AD＝2DC.连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若＝a＋b(a，b∈R)，则a2＋b2的最小值为
A. B. C. D.
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答案
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设＝λ，λ∈[0，1]，
因为AD＝2DC，
所以＋λ＋λ()＝＋(1－λ)，
所以a＝，b＝1－λ，
所以a2＋b2＝λ2＋(1－λ)2＝λ2－2λ＋1，
当λ＝－时，a2＋b2取得最小值为.
答案
二、多项选择题
7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有
A.若)，则点D是边BC的中点
B.若，则直线AD过△ABC的垂心
C.若＝2，则点D在边BC的延长线上
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△BCD是△ABC面积的一半
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√
答案
√
√
对于A，∵)，
即，即，
即点D是边BC的中点，故A正确；
对于B，·＝(－||＋||)＝0，即AD⊥BC，
故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；
对于C，∵＝2，即，即，
即点D在边CB的延长线上，故C错误；
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答案
对于D，∵＝x＋y，且x＋y＝，
设＝2，
则＝2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1，
故M，B，C三点共线，且||＝2||，
即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确.
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答案
8.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足＋2＝0，＝2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是
A.∥
B.
C.·<0
D.S＝4
√
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答案
√
√
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答案
由＋2＝0，＝2，
可知点P为AC的靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示，对于A，点P为AC的靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；
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答案
对于B，)＝，故B正确；
对于C，·＝||||cos π＝－||||<0，故C正确；
对于D，设△ABC的高为h，S△ABC＝|AB|h＝3，即|AB|h＝6，则△APQ的面积S＝|AQ|·h＝·2|AB|·h＝×6＝4，故D正确.
三、填空题
9.已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，则|a＋tb|(t∈R)的最小值为　　　，
此时t的值为　 　.
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答案
因为a＝(－3，2)，b＝(2，1)，
所以a＋tb＝(－3，2)＋t(2，1)＝(－3＋2t，2＋t)，
所以|a＋tb|＝＝
≥.
当且仅当t＝时取等号，
即|a＋tb|的最小值为，此时t＝.
10.(2025·长沙模拟)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AC＝，AB＝1，平面ABC内动点P满足CP＝1，则·的最小值为　　　　　.
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答案
4－
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平面ABC内动点P满足CP＝1，
所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
因为AB⊥AC，AC＝，AB＝1，
由勾股定理可得BC2＝AB2＋AC2＝4，
所以BC＝2，且cos C＝，
所以C＝30°，
所以·＝||·||cos 30°＝3，
答案
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因为，，
所以·＝()·()＝··()＋，
因为||＝1，
所以·＝4＋·()，
||＝＝＝，
所以向量是长度为的一个向量，
由此可得，点P在圆C上运动，
答案
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当与反向共线时，·()取得最小值为－，
故·的最小值为4－.
答案

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