资源简介

§5.5　复　数
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·沈阳模拟)已知a，b∈R，a-3i=(b-i)i(i为虚数单位)，则(　　)
A.a=1，b=-3 B.a=-1，b=3
C.a=-1，b=-3 D.a=1，b=3
2.(2025·曲靖模拟)在复平面内，复数3+2i，-2+3i对应的向量分别是，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为(　　)
A.1+i B.5-i
C.5-3i D.-5+i
3.(2024·台州模拟)已知复数z=(i为虚数单位)，则(　　)
A.z的实部为2
B.|z|=
C.=2-i
D.z在复平面内对应的点位于第一象限
4.(2024·咸阳模拟)已知复数z=m2-7m+6+(m2-36)i是纯虚数，则实数m的值为(　　)
A.±6 B.1或6 C.-6 D.1
5.(2025·固原模拟)已知复数z满足2+=z+i，则z等于(　　)
A.-2-i B.2-i C.-2+i D.2+i
6.已知复数z满足1≤|z-(1-i)|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为(　　)
A.π B.2π C.3π D.4π
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·徐州模拟)已知复数z在复平面内对应的点为，则(　　)
A.|z|=1 B.z+=1
C.z2+z+1=0 D.z2 026=z
8.(2024·临汾模拟)下列说法正确的是(　　)
A.若z=-2+i，则z在复平面内对应的点位于第二象限
B.若z满足z·i=-1+2i，则的虚部为1
C.若z是方程x2+3=0的根，则z=±i
D.若z满足|z-1+2i|=2，则|z|的最大值为+
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·辽阳模拟)若复数z=+|3-4i|，则|z|=　　　　　　.
10.写出一个同时满足①②的复数z=　　　　.
①z3=；②z R.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知复数z=m2+m-2+(m-1)i(m∈R)，其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；(6分)
(2)若m=2，设=a+bi(a，b∈R)，试求a+b的值.(7分)
12.(15分)已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；(7分)
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.(8分)
每小题5分，共10分
13.已知复数z1，z2和z满足|z1|=|z2|=1，若|z1-z2|=|z1-1|=|z2-z|，则|z|的最大值为(　　)
A.2 B.3 C. D.1
14.在复平面内，复数z=a+bi(a，b∈R)对应向量(O为坐标原点)，设||=r，以射线Ox为始边，向量所在射线为终边，旋转的角为θ，则z=r(cos θ+isin θ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)，则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ).已知z=(+i)4，则||=　　　　　；若复数ω满足ωn-1=0(n∈N*)，则称复数ω为n次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω R，请写出一个满足条件的ω=　　　　　　.
答案精析
1.A　2.D　3.B　4.D
5.A　[依题意，设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi，
因为==2-2i，
所以由2+=z+i，
可得2(a-bi)+2-2i=a+bi+i，
则(2a+2)-(2b+2)i=a+(b+1)i，所以
解得所以z=-2-i.]
6.C　[令z=a+bi(a，b∈R)，则1≤|(a-1)+(b+1)i|≤2，所以1≤(a-1)2+(b+1)2≤4，即对应的点Z所在区域的面积是圆心为(1，-1)，半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，所以所求区域的面积为4π-π=3π.]
7.ACD　[由题可知，z=-+i，|z|==1，故A正确；
=--i，z+=-1，故B错误；
z2==--i=--i，所以z2+z+1=-1+1=0，故C正确；
z3=z2·z
=·=1，
所以z2 026=z2 025·z=·z=z，故D正确.]
8.AC　[对于A，z=-2+i在复平面内对应的点为(-2，1)，位于第二象限，故A正确；
对于B，因为z·i=-1+2i，所以z===2+i，则=2-i，所以的虚部为-1，故B错误；
对于C，方程x2+3=0的根为±i，故C正确；
对于D，设z=x+yi(x，y∈R)，若z满足|z-1+2i|=2，即|(x-1)+(y+2)i|=2，所以=2，即(x-1)2+(y+2)2=4，则点(x，y)在以(1，-2)为圆心，2为半径的圆上，又圆心到坐标原点的距离为=所以|z|的最大值为+2，故D错误.]
9.4　10.i(或-i)
11.解　(1)因为z是纯虚数，
所以解得m=-2.
(2)若m=2，则z=4+i，
故====+i=a+bi，
所以a=b=所以a+b=.
12.解　(1)把x=-1+i代入方程x2+ax+b=0，
得(-a+b)+(a-2)i=0，
所以解得
(2)由(1)知方程为x2+2x+2=0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得-1+i+x2=-2，所以x2=-1-i.
把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0，
则左边=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右边，
所以x2=-1-i是方程的另一个根.
13.B　[根据题意，得|z|=|(z2-z)-z2|≤|z2-z|+|z2|=|z1-1|+1≤|z1|+1+1=3，
当z1=-1，z2=1，z=3时，|z1-z2|=|z1-1|=|z2-z|=2，此时|z|=3，
所以|z|max=3.]
14.16　cos +isin (答案不唯一)
解析　∵+i=2
∴z=(+i)4
=24
则||=|z|=24=16.
由题意知ω6=1，
设ω=cos θ+isin θ，
则ω6=cos 6θ+isin 6θ=1，
∴
又ω R，∴sin θ≠0，
故可取θ=则ω=cos +isin .§5.5　复　数
课标要求　1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中　　　是复数的实部，　　　是复数的虚部，i为虚数单位.
(2)复数的分类：
复数z=a+bi(a，b∈R)
复数
(3)复数相等：
a+bi=c+di 　　　　　　(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：
a+bi与c+di互为共轭复数 　　　　　　(a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：
向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作　　　　或　　　　，即|z|=|a+bi|=　　　　　(a，b∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z=a+bi(a，b∈R)平面向量.
3.复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　 　　　　　　　　；
②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=　　　 　　　　　　　　；
③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=　　　 　　　　　　　　；
④除法：===　　　 　　　　　　　　　(c+di≠0).
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即=　　　　　，=　　　　.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z=a+bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(2)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)
(3)已知z=a+bi(a，b∈R)，当a=0时，复数z为纯虚数.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)
2.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z=-1-i，则|z|等于(　　)
A.0 B.1
C. D.2
3.已知复数z=i3(1+i)，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.复数的共轭复数是　　　　　　.
1.熟记与复数有关的常用结论
(1)(1±i)2=±2i；=i；=-i.
(2)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*).
(3)z·=|z|2=||2，|z1·z2|=|z1|·|z2|，=，|zn|=|z|n.
(4)r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；
|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
2.谨防两个易误点
(1)利用复数相等a+bi=c+di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.
　　　　　　　　　　　　　　　　
题型一　复数的概念
例1　(1)(2024·白山模拟)复数z=i+2i2+3i3，则z的虚部为(　　)
A.2i B.-2i C.2 D.-2
(2)(2024·银川模拟)已知复数z=m2-1+(m+i2)·i(m∈R)表示纯虚数，则m等于(　　)
A.1 B.-1 C.1或-1 D.2
(3)(2025·晋中模拟)已知复数z=1-2i是方程x2+ax+b=0(a，b∈R)的根，则|a+bi|等于(　　)
A. B.4 C. D.
思维升华　解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)复数是实数的条件：①z=a+bi∈R b=0(a，b∈R)；②z∈R z=；③z∈R z2≥0.
(3)复数是纯虚数的条件
①z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a，b∈R)；
②z是纯虚数 z+=0(z≠0)；
③z是纯虚数 z2<0.
(4)复数z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数为=a-bi，则z·=|z|2=||2，即|z|=||=.
跟踪训练1　(1)(2024·海口模拟)下列关于复数的说法，正确的是(　　)
A.复数i是最小的纯虚数
B.在复数范围内，模为1的复数共有1，-1，i和-i四个
C.i与-i是一对共轭复数
D.虚轴上的点都表示纯虚数
(2)(2025·南通模拟)已知复数z满足z2=-3+4i，则|z|等于(　　)
A. B.5 C. D.2
(3)已知复数z满足4(1+z)=15+8i，则z的实部为　　　　　　.
题型二　复数的四则运算
例2　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)若=1+i，则z等于(　　)
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
(2)设复数z=，则z等于(　　)
A.1 B.-1 C.i D.-i
(3)(2024·南阳模拟)已知复数z满足=2i，则z·=　　　　　　.
思维升华　复数四则运算问题的解题策略
复数的 加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算
复数的 乘法 复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并
复数的 除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化
跟踪训练2　(1)(2023·新高考全国Ⅰ)已知z=，则z-等于(　　)
A.-i B.i C.0 D.1
(2)(2024·新乡模拟)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，-1)，则=　　　　.
(3)已知i为虚数单位，则i+i2+i3+…+i2 025=　　　　　　.
题型三　复数的几何意义
例3　(1)(2024·西宁模拟)已知复数z=(a-1)-2ai(a∈R)，且|z|=5，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a等于(　　)
A.-2 B.- C.2 D.
(2)已知i是虚数单位，复数z=a+bi(a，b∈R)，且|z-i|=|z+2-i|，则|z-3+i|的最小值为(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
思维升华　复数的几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系、一一对应，即z=a+bi(a，b∈R)Z(a，b).
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
跟踪训练3　(1)(2025·南充模拟)当1A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知复数z满足|z-2|=1，则|z-i|的最小值为(　　)
A.1 B.-1 C.+1 D.3
答案精析
落实主干知识
1.(1)a　b　(2)=　≠　=　(3)a=c且b=d　(4)a=c，b=-d
(5)|z|　|a+bi|　
3.(1)①(a+c)+(b+d)i　②(a-c)+(b-d)i　③(ac-bd)+(ad+bc)i　④+i　(2)+
-
自主诊断
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　
2.C　3.D　4.-2+i
探究核心题型
例1　(1)D　[由z=i+2i2+3i3可得z=-2-2i，故z的虚部为-2.]
(2)B　[因为z=m2-1+(m+i2)·i=m2-1+(m-1)·i，
若复数z表示纯虚数，
则解得m=-1.]
(3)D　[由题意得，=1+2i是方程x2+ax+b=0(a，b∈R)的一个根，
由根与系数的关系得1+2i+1-2i=-a，(1+2i)(1-2i)=b，
故a=-2，b=1-4i2=1+4=5，
故|a+bi|=|-2+5i|
==.]
跟踪训练1　(1)C　[虚数不能比大小，故A错误；对于复数z=a+bi(a，b∈R)，但凡满足a2+b2=1，其模均为1，显然不仅四个，比如a=，b=时，|z|=1，故B错误；由共轭复数的定义可知C正确；原点(0，0)也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误.]
(2)C　[设z=a+bi(a，b∈R)，
则z2=a2-b2+2abi，
又z2=-3+4i，
所以
解得或
则z=1+2i或z=-1-2i，
所以|z|==.]
(3)-
解析　设z=a+bi(a，b∈R)，
则=a-bi，
由4(1+z)=15+8i，
得4(a-bi)+4(a2+b2)=15+8i，
由复数相等的充要条件，得
解得
故z的实部为-.
例2　(1)C　[因为=
=1+=1+i，
所以z=1+=1-i.]
(2)C　[∵=
==i，
∴z=i2 025=i4×506+1=i.]
(3)5
解析　因为=2i，
所以z-3=2i(z-i)=2+2iz，
所以z==
=1+2i，
所以=1-2i，
则z·=(1+2i)(1-2i)=5.
跟踪训练2　(1)A　[因为z==
==-i，
所以=i，即z-=-i.]
(2)2i
解析　由题意得复数z对应的点的坐标为(2，-1)，
故z=2-i，=2+i，
故==
===2i.
(3)i
解析　i+i2+i3+i4=0，
则i+i2+i3+…+i2 025=506×0+i=i.
例3　(1)A　[由题意
|z|==5，
得5a2-2a-24=0，
解得a=-2或a=，
因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以故a<0，故a=-2.]
(2)B　[方法一　由|z-i|=|z+2-i|，得复数z在复平面内对应的点Z到点(0，1)与点(-2，1)的距离相等，则点Z在直线x=-1上.
|z-3+i|表示点Z与点(3，-)的距离，过点(3，-)作直线x=-1的垂线，垂足为P(图略)，当点Z与点P重合时，|z-3+i|取得最小值4.
方法二　因为z=a+bi(a，b∈R)，
则z-i=a+(b-1)i，
z+2-i=(a+2)+(b-1)i，
由|z-i|=|z+2-i|，
可得
=，
解得a=-1，则z=-1+bi，
所以z-3+i=-4+(b+)i，
因此|z-3+i|
=≥4，
当且仅当b=-时，等号成立，
故|z-3+i|的最小值为4.]
跟踪训练3　(1)D　[由1所以复数m-1+(m-2)i在复平面内对应的点Z(m-1，m-2)位于第四象限.]
(2)B　[设z=x+yi(x，y∈R)，
因为|z-2|=|x-2+yi|
==1，
所以(x-2)2+y2=1，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x-2)2+y2=1，如图，
又|z-i|=|x+(y-1)i|=，
所以|z-i|表示圆C上的点到点A(0，1)的距离，
所以|z-i|min=CA-1=-1.](共65张PPT)
第五章
§5.5　复　数
数学
大
一
轮
复
习
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是复数的实部， 是复数的虚部，i为虚数单位.
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
a
复数
实数(b 0),
虚数(b 0)(当a 0时为纯虚数).
b
＝
≠
＝
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数 (a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R).
a＝c且b＝d
a＝c，b＝－d
|z|
|a＋bi|
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3.复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：＝ (c＋di≠0).
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即 ， .
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
i
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(2)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)
√
×
×
√
2.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z＝－1－i，则|z|等于
A.0 B.1 C. D.2
√
若z＝－1－i，
则|z|＝.
3.已知复数z＝i3(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限.
4.复数的共轭复数是　　　　.
＝－2－i，故其共轭复数是－2＋i.
－2＋i
1.熟记与复数有关的常用结论
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
(3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，，|zn|＝|z|n.
(4)r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；
|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
2.谨防两个易误点
(1)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2024·白山模拟)复数z＝i＋2i2＋3i3，则z的虚部为
A.2i B.－2i C.2 D.－2
√
复数的概念
题型一
由z＝i＋2i2＋3i3可得z＝－2－2i，故z的虚部为－2.
(2)(2024·银川模拟)已知复数z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示纯虚数，则m等于
A.1 B.－1 C.1或－1 D.2
√
因为z＝m2－1＋(m＋i2)·i＝m2－1＋(m－1)·i，
若复数z表示纯虚数，则解得m＝－1.
(3)(2025·晋中模拟)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，则|a＋bi|等于
A. B.4 C. D.
√
由题意得，＝1＋2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，
由根与系数的关系得1＋2i＋1－2i＝－a，(1＋2i)(1－2i)＝b，
故a＝－2，b＝1－4i2＝1＋4＝5，
故|a＋bi|＝|－2＋5i|＝.
解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R b＝0(a，b∈R)；②z∈R z＝；③z∈R z2≥0.
(3)复数是纯虚数的条件
①z＝a＋bi是纯虚数 a＝0且b≠0(a，b∈R)；
②z是纯虚数 z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数 z2<0.
(4)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·海口模拟)下列关于复数的说法，正确的是
A.复数i是最小的纯虚数
B.在复数范围内，模为1的复数共有1，－1，i和－i四个
C.i与－i是一对共轭复数
D.虚轴上的点都表示纯虚数
√
虚数不能比大小，故A错误；
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，但凡满足a2＋b2＝1，其模均为1，显然不
仅四个，比如a＝，b＝时，|z|＝1，故B错误；
由共轭复数的定义可知C正确；
原点(0，0)也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误.
(2)(2025·南通模拟)已知复数z满足z2＝－3＋4i，则|z|等于
A. B.5 C. D.2
√
设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a2－b2＋2abi，又z2＝－3＋4i，
所以解得或
则z＝1＋2i或z＝－1－2i，
所以|z|＝.
(3)已知复数z满足4(1＋z)＝15＋8i，则z的实部为　　　.
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由4(1＋z)＝15＋8i，得4(a－bi)＋4(a2＋b2)＝15＋8i，
由复数相等的充要条件，得
解得
故z的实部为－.
－
例2　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)若＝1＋i，则z等于
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
复数的四则运算
题型二
√
因为＝1＋＝1＋i，
所以z＝1＋＝1－i.
(2)设复数z＝，则z等于
A.1 B.－1 C.i D.－i
√
∵＝i，
∴z＝i2 025＝i4×506＋1＝i.
(3)(2024·南阳模拟)已知复数z满足＝2i，则z·＝　　　.
因为＝2i，
所以z－3＝2i(z－i)＝2＋2iz，
所以z＝＝1＋2i，
所以＝1－2i，则z·＝(1＋2i)(1－2i)＝5.
5
复数四则运算问题的解题策略
思维升华
复数的 加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算
复数的 乘法 复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并
复数的 除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化
跟踪训练2　(1)(2023·新高考全国Ⅰ)已知z＝，则z－等于
A.－i B.i C.0 D.1
√
因为z＝＝＝－i，所以i，即z－＝－i.
(2)(2024·新乡模拟)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则＝　　　.
由题意得复数z对应的点的坐标为(2，－1)，
故z＝2－i，＝2＋i，
故＝2i.
2i
(3)已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝　　　.
i＋i2＋i3＋i4＝0，
则i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝506×0＋i＝i.
i
例3　(1)(2024·西宁模拟)已知复数z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且|z|＝5，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a等于
A.－2 B.－ C.2 D.
√
复数的几何意义
题型三
由题意|z|＝＝5，
得5a2－2a－24＝0，解得a＝－2或a＝，
因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以故a<0，故a＝－2.
(2)已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3＋i|的最小值为
A.5 B.4 C.3 D.2
√
方法一　由|z－i|＝|z＋2－i|，得复数z在复平面内对应的点Z到点(0，1)与点(－2，1)的距离相等，则点Z在直线x＝－1上.
|z－3＋i|表示点Z与点(3，－)的距离，过点(3，－)作直线x＝－1的垂线，垂足为P(图略)，当点Z与点P重合时，|z－3＋i|取得最小值4.
方法二　因为z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z－i＝a＋(b－1)i，
z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i，
由|z－i|＝|z＋2－i|，可得，
解得a＝－1，则z＝－1＋bi，
所以z－3＋i＝－4＋(b＋)i，
因此|z－3＋i|＝≥4，
当且仅当b＝－时，等号成立，
故|z－3＋i|的最小值为4.
复数的几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系、一一对应，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2025·南充模拟)当1A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
由1所以复数m－1＋(m－2)i在复平面内对应的点Z(m－1，m－2)位于第四
象限.
(2)已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为
A.1 B.－1 C.＋1 D.3
√
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，
即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x－2)2＋y2＝1，
如图，
又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝，
所以|z－i|表示圆C上的点到点A(0，1)的距离，
所以|z－i|min＝CA－1＝－1.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B D A C ACD AC
题号 9 10 13 14
答案 4　 i(或-i) B 16　cos +isin (答案不唯一)
答案
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(1)因为z是纯虚数，
所以解得m=-2.
(2)若m=2，则z=4+i，
故====+i=a+bi，
所以a=b=所以a+b=.
11.
答案
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14
(1)把x=-1+i代入方程x2+ax+b=0，
得(-a+b)+(a-2)i=0，
所以解得
12.
答案
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(2)由(1)知方程为x2+2x+2=0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得-1+i+x2=-2，所以x2=-1-i.
把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0，
则左边=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右边，
所以x2=-1-i是方程的另一个根.
12.
一、单项选择题
1.(2024·沈阳模拟)已知a，b∈R，a－3i＝(b－i)i(i为虚数单位)，则
A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3
C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3
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知识过关
答案
因为a－3i＝(b－i)i＝1＋bi，所以a＝1，b＝－3.
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答案
2.(2025·曲靖模拟)在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为
A.1＋i B.5－i
C.5－3i D.－5＋i
√
由题设＝(3，2)，＝(－2，3)，
则＝(－5，1)，
所以向量对应的复数为－5＋i.
3.(2024·台州模拟)已知复数z＝(i为虚数单位)，则
A.z的实部为2 B.|z|＝
C.＝2－I D.z在复平面内对应的点位于第一象限
√
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z＝＝－(2＋i)i＝1－2i，故实部为1，|z|＝，＝1＋2i，z在复平面内对应的点为(1，－2)，位于第四象限.
答案
4.(2024·咸阳模拟)已知复数z＝m2－7m＋6＋(m2－36)i是纯虚数，则实数m的值为
A.±6 B.1或6 C.－6 D.1
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由题意得m2－7m＋6＝0且m2－36≠0，则m＝1.
答案
5.(2025·固原模拟)已知复数z满足2＝z＋i，则z等于
A.－2－i B.2－i
C.－2＋i D.2＋i
√
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答案
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依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
因为＝2－2i，
所以由2＝z＋i，
可得2(a－bi)＋2－2i＝a＋bi＋i，
则(2a＋2)－(2b＋2)i＝a＋(b＋1)i，所以
解得所以z＝－2－i.
答案
6.已知复数z满足1≤|z－(1－i)|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为
A.π B.2π C.3π D.4π
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令z＝a＋bi(a，b∈R)，则1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，所以1≤(a－1)2＋
(b＋1)2≤4，即对应的点Z所在区域的面积是圆心为(1，－1)，半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，所以所求区域的面积为4π－π＝3π.
答案
二、多项选择题
7.(2025·徐州模拟)已知复数z在复平面内对应的点为，则
A.|z|＝1 B.z＋＝1
C.z2＋z＋1＝0 D.z2 026＝z
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答案
√
√
由题可知，z＝－i，|z|＝＝1，故A正确；
＝－i，z＋＝－1，故B错误；
z2＝i＝－i，所以z2＋z＋1＝－1＋1＝0，
故C正确；
z3＝z2·z＝·＝1，
所以z2 026＝z2 025·z＝·z＝z，故D正确.
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答案
8.(2024·临汾模拟)下列说法正确的是
A.若z＝－2＋i，则z在复平面内对应的点位于第二象限
B.若z满足z·i＝－1＋2i，则的虚部为1
C.若z是方程x2＋3＝0的根，则z＝±i
D.若z满足|z－1＋2i|＝2，则|z|的最大值为
√
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答案
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对于A，z＝－2＋i在复平面内对应的点为(－2，1)，位于第二象限，故A正确；
对于B，因为z·i＝－1＋2i，所以z＝＝2＋i，则＝2－i，所以的虚部为－1，故B错误；
对于C，方程x2＋3＝0的根为±i，故C正确；
答案
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对于D，设z＝x＋yi(x，y∈R)，若z满足|z－1＋2i|＝2，即|(x－1)＋(y＋2)i|＝2，所以＝2，即(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则点(x，y)在以(1，－2)为圆心，2为半径的圆上，又圆心到坐标原点的距离为，所以|z|的最大值为＋2，故D错误.
答案
三、填空题
9.(2025·辽阳模拟)若复数z＝＋|3－4i|，则|z|＝　　　.
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答案
4
z＝＋|3－4i|＝＋5＝＋5＝8－4i，
|z|＝＝4.
10.写出一个同时满足①②的复数z＝　　　 　.
①z3＝；②z R.
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答案
i(或－i)
因为z R，不妨设z＝bi(b∈R，b≠0)，
则(bi)3＝－b3i＝－bi，
解得b＝±1，即z＝±i符合.
四、解答题
11.已知复数z＝m2＋m－2＋(m－1)i(m∈R)，其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
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答案
因为z是纯虚数，
所以解得m＝－2.
(2)若m＝2，设＝a＋bi(a，b∈R)，试求a＋b的值.
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答案
若m＝2，则z＝4＋i，
故i＝a＋bi，
所以a＝，b＝，所以a＋b＝.
12.已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
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答案
把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
所以解得
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
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答案
由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得－1＋i＋x2＝－2，所以x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
所以x2＝－1－i是方程的另一个根.
13.已知复数z1，z2和z满足|z1|＝|z2|＝1，若|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|，则|z|的最大值为
A.2 B.3 C. D.1
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答案
√
能力拓展
根据题意，得|z|＝|(z2－z)－z2|≤|z2－z|＋|z2|＝|z1－1|＋1≤|z1|＋1＋1＝3，
当z1＝－1，z2＝1，z＝3时，|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|＝2，此时|z|＝3，
所以|z|max＝3.
14.在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应向量(O为坐标原点)，设||＝r，以射线Ox为始边，向量所在射线为终边，旋转的角为θ，则z＝r(cos θ＋isin θ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ).已知z＝(＋i)4，则||＝　　　；若复数ω满足ωn－1＝0(n∈N*)，则称复数ω为n次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω R，请写出一个满足
条件的ω＝　　　　　　 .
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答案
16
cos ＋isin (答案不唯一)
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答案
∵＋i＝2，
∴z＝(＋i)4＝24，
则||＝|z|＝24＝16.
由题意知ω6＝1，
设ω＝cos θ＋isin θ，
则ω6＝cos 6θ＋isin 6θ＝1，
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答案
∴
又ω R，∴sin θ≠0，
故可取θ＝，则ω＝cos ＋isin .
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