资源简介

必刷小题10　平面向量与复数
分值：73分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.设向量a=(3，4)，b=(-1，1)，则cos〈a，b〉等于(　　)
A. B. C. D.
2.(2025·新乡模拟)设z=，则等于(　　)
A.-1+i B.-1-i C.1-i D.1+i
3.在四边形ABCD中，若=，且·=0，则四边形ABCD是(　　)
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
4.(2024·北京模拟)在复平面内，O是原点，向量对应的复数是-1+i，将绕点O按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为(　　)
A.- B.-i C.-1 D.-i
5.设M，N是圆O上两点，若MN=2，则·等于(　　)
A.-4 B.-2
C.2 D.4
6.设单位向量e1，e2的夹角为，a=e1+2e2，b=2e1-3e2，则b在a上的投影向量为(　　)
A.-a B.-a
C.a D.a
7.如图，已知在△ABO中，OA=1，OB=2，·=-1，过点O作OD⊥AB于点D，则(　　)
A.=+
B.=+
C.=+
D.=+
8.已知△ABC的外接圆圆心为O，A=120°，若=x+y(x，y∈R)，则x+y的最小值为(　　)
A. B. C. D.2
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·开封模拟)已知复数z1=a+i，z2=1+bi(其中i是虚数单位，a，b∈R)，若z1·z2为纯虚数，则(　　)
A.a-b=0 B.a+b=0
C.ab≠-1 D.ab≠1
10.已知z为复数，设z，，iz在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则(　　)
A.||=|| B.⊥
C.||=|| D.∥
11.(2025·郑州模拟)已知O是坐标原点，平面向量a=，b=，c=，且a是单位向量，a·b=2，a·c=，则下列结论正确的是(　　)
A.|c|=|a-c|
B.若A，B，C三点共线，则a=b+c
C.若向量b-a与c-a垂直，则|b+c-2a|的最小值为1
D.向量b-a与b的夹角正切值的最大值为
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，那么实数m的值为　　　　　　.
13.(2024·遵义模拟)已知复数z=a-1+(a+3)i，a∈R，则|z|的最小值为　　　　　　.
14.若平面向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，则|a+b|+|b|的取值范围为　　　　　　　.
答案精析
1.A　2.B　3.A
4.A　[如图，由题意可知=(-1，1)与x轴正方向的夹角为绕点O逆时针方向旋转后，Z到达x轴上的点Z1处，又||=||=所以Z1的坐标为(-0)，所以对应的复数为-.]
5.C　[方法一　设MN的中点为P，则OP⊥MN，如图1，
所以·=(+)·=·+·=+0=2.
方法二　·
=||||cos∠OMN
=||(||cos∠OMN)
=||·=2.
方法三　设MN的中点为P，以的方向为x轴正方向，线段MN的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，如图2，
则M(-1，0)，N(1，0)，
设O(0，-m)，
所以=(2，0)=(1，-m)，
因此·=2.]
6.A　[依题意得e1·e2=1×1×cos =-
|a|=
==
a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)
=2-6+e1·e2=-
因此b在a上的投影向量为
|b|cos〈a，b〉=a=a
=-a.]
7.A　[∵·=||||cos∠AOB
=2cos∠AOB=-1，
∴cos∠AOB=-
又∵0°<∠AOB<180°，
∴∠AOB=120°.
在△AOB中，根据余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos 120°=7，
解得AB=
根据三角形面积公式
S△AOB=AB·OD
=OA·OB·sin 120°，
解得OD=
∴AD==
∴=
∴=+=+
=+-)
=+.]
8.D　[设OA与BC交于点E，OE=m，圆的半径为R，D为BC的中点，如图所示，则=
设=λ+μ(λ，μ∈R)，
因为B，C，E三点共线，则λ+μ=1，
所以=x+y
=(λ+μ)，
故x+y=(λ+μ)=
因为∠BAC=120°，则∠COD=60°，
所以OD=Rcos 60°=
则≤m所以x+y的最小值为2.]
9.AC　[因为z1=a+i，z2=1+bi，
所以z1·z2=(a+i)(1+bi)=a+i+abi+bi2=(a-b)+(1+ab)i，
又z1·z2为纯虚数，所以
即a-b=0且ab≠-1.]
10.AB　[设z=a+bi(a，b∈R)，
∴A(a，b)=a-bi，∴B(a，-b)，
iz=i(a+bi)=-b+ai，∴C(-b，a)，
=(a，b)=(a，-b)=(-b，a)=(-b-a，a-b)，
=(-b-a，a+b)，
对于A，∵=
∴||=||，故选项A正确；
对于B，∵a·(-b)+ba=0，
∴⊥故选项B正确；
对于C，∵||=||=
当ab≠0时，||≠||，故选项C错误；
对于D，∵a(a-b)-(-b)(-b-a)=a2-2ab-b2，
a2-2ab-b2可以为零，也可以不为零，∴不一定平行于故选项D错误.]
11.AD　[在平面直角坐标系中，令a=(1，0)，b=(x1，b)，c=(x2，c)，
由a·b=2，a·c=
得x1=2，x2=
则b=(2，b)，c=
对于A，a-c=
因此|a-c|==|c|，A正确；
对于B，由A，B，C三点共线，得=(1-λ)+λλ∈R，
即(1，0)=(1-λ)(2，b)+λ
于是2(1-λ)+λ=1，解得λ=
即a=b+c，B错误；
对于C，b-a=(1，b)，
c-a=
由向量b-a与c-a垂直，得bc=
而b+c-2a=
则|b+c-2a|==≥=
当且仅当b=c时取等号，C错误；
对于D，令向量b-a与b的夹角为θ，b-a=(1，b)，
当b=0时，θ=0，tan θ=0，
当b≠0时，根据对称性不妨令b>0，D(1，b)，
则b-a=θ=∠BOD，
显然tan∠DOA=b，tan∠BOA=
tan θ=tan(∠DOA-∠BOA)
=
==
≤=
当且仅当b=时取等号，D正确.]
12.2　13.2
14.[2]
解析　|a+b|+|b|≥|(a+b)+b|=|a+2b|=2，
设a+2b=c，则|c|=2，
所以|c+a|2+|c-a|2
=2(|c|2+|a|2)=10，
|a+b|+|b|=+
≤=
所以|a+b|+|b|的取值范围为[2].(共32张PPT)
第五章
必刷小题10　平面向量
与复数
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
1
2
3
4
5
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9
10
11
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13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A A C A A D
题号 9 10 11 12 13 　 14
答案 AC AB AD 2 2 [2]
一、单项选择题
1.设向量a＝(3，4)，b＝(－1，1)，则cos〈a，b〉等于
A. B. C. D.
√
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知识过关
答案
因为a＝(3，4)，b＝(－1，1)，
所以cos〈a，b〉＝.
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答案
2.(2025·新乡模拟)设z＝，则等于
A.－1＋i B.－1－i C.1－i D.1＋i
√
z＝＝－1＋i，故＝－1－i.
3.在四边形ABCD中，若，且·＝0，则四边形ABCD是
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.梯形
√
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∵，可知AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由·＝0可知AB⊥AD，∴四边形ABCD为矩形.
答案
4.(2024·北京模拟)在复平面内，O是原点，向量对应的复数是－1＋i，将绕点O按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为
A.－ B.－i C.－1 D.－i
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答案
如图，由题意可知＝(－1，1)，与x轴正方向的夹角为，绕点O逆时针方向旋转后，Z到达x轴上的点Z1处，又||＝||＝，所以Z1的坐标为(－，0)，所以对应的复数为－.
5.设M，N是圆O上两点，若MN＝2，则·等于
A.－4 B.－2 C.2 D.4
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答案
方法一　设MN的中点为P，则OP⊥MN，如图1，
所以·＝()···
＋0＝2.
方法二　·＝||||cos∠OMN
＝||(||cos∠OMN)＝||·＝2.
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答案
方法三　设MN的中点为P，以的方向为x轴正方向，线段MN的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，如图2，
则M(－1，0)，N(1，0)，设O(0，－m)，
所以＝(2，0)，＝(1，－m)，
因此·＝2.
6.设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上的投影向量为
A.－a B.－a C.a D.a
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依题意得e1·e2＝1×1×cos ＝－，
|a|＝，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)
＝2－6＋e1·e2＝－，
因此b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉a＝a＝－a.
答案
7.如图，已知在△ABO中，OA＝1，OB＝2，·＝－1，过点O作OD⊥AB于点D，则
A.
B.
C.
D.
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答案
∵·＝||||cos∠AOB
＝2cos∠AOB＝－1，
∴cos∠AOB＝－，
又∵0°<∠AOB<180°，
∴∠AOB＝120°.
在△AOB中，根据余弦定理可得
AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 120°＝7，
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答案
解得AB＝，
根据三角形面积公式S△AOB＝AB·OD＝OA·OB·sin 120°，
解得OD＝，
∴AD＝，
∴，
∴)＝.
8.已知△ABC的外接圆圆心为O，A＝120°，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最小值为
A. B. C. D.2
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答案
设OA与BC交于点E，OE＝m，圆的半径为R，D为BC的中点，如图所示，则，
设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
因为B，C，E三点共线，则λ＋μ＝1，
所以＝x＋y(λ＋μ)，
故x＋y＝(λ＋μ)＝，
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答案
因为∠BAC＝120°，则∠COD＝60°，
所以OD＝Rcos 60°＝，
则≤m所以x＋y的最小值为2.
二、多项选择题
9.(2025·开封模拟)已知复数z1＝a＋i，z2＝1＋bi(其中i是虚数单位，a，b∈R)，若z1·z2为纯虚数，则
A.a－b＝0 B.a＋b＝0
C.ab≠－1 D.ab≠1
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答案
因为z1＝a＋i，z2＝1＋bi，
所以z1·z2＝(a＋i)(1＋bi)＝a＋i＋abi＋bi2＝(a－b)＋(1＋ab)i，
又z1·z2为纯虚数，所以
即a－b＝0且ab≠－1.
10.已知z为复数，设z，，iz在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则
A.||＝|| B.⊥
C.||＝|| D.∥
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设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴A(a，b)，＝a－bi，∴B(a，－b)，
iz＝i(a＋bi)＝－b＋ai，∴C(－b，a)，
＝(a，b)，＝(a，－b)，＝(－b，a)，＝(－b－a，a－b)，＝(－b－a，a＋b)，
对于A，∵，∴||＝||，故选项A正确；
对于B，∵a·(－b)＋ba＝0，∴⊥，故选项B正确；
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对于C，∵||＝，||＝，
当ab≠0时，||≠||，故选项C错误；
对于D，∵a(a－b)－(－b)(－b－a)＝a2－2ab－b2，
a2－2ab－b2可以为零，也可以不为零，∴不一定平行于，故选项D错误.
答案
11.(2025·郑州模拟)已知O是坐标原点，平面向量a＝，b＝，c＝，且a是单位向量，a·b＝2，a·c＝，则下列结论正确的是
A.|c|＝|a－c|
B.若A，B，C三点共线，则a＝b＋c
C.若向量b－a与c－a垂直，则|b＋c－2a|的最小值为1
D.向量b－a与b的夹角正切值的最大值为
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答案
在平面直角坐标系中，令a＝(1，0)，b＝(x1，b)，c＝(x2，c)，
由a·b＝2，a·c＝，
得x1＝2，x2＝，则b＝(2，b)，c＝，
对于A，a－c＝，
因此|a－c|＝＝|c|，A正确；
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对于B，由A，B，C三点共线，得＝(1－λ)＋λ，λ∈R，
即(1，0)＝(1－λ)(2，b)＋λ，
于是2(1－λ)＋λ＝1，解得λ＝，
即a＝b＋c，B错误；
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答案
对于C，b－a＝(1，b)，c－a＝，
由向量b－a与c－a垂直，得bc＝，
而b＋c－2a＝，
则|b＋c－2a|＝≥，
当且仅当b＝c时取等号，C错误；
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答案
对于D，令向量b－a与b的夹角为θ，b－a＝(1，b)，
当b＝0时，θ＝0，tan θ＝0，
当b≠0时，根据对称性不妨令b>0，D(1，b)，
则b－a＝，θ＝∠BOD，
显然tan∠DOA＝b，tan∠BOA＝，
tan θ＝tan(∠DOA－∠BOA)＝＝
≤，当且仅当b＝时取等号，D正确.
三、填空题
12.已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，那么实数m的值为　　　.
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答案
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因为向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，
所以2a＋b＝(2＋m，8)，
又因为a∥(2a＋b)，
所以2(2＋m)＝1×8 m＝2.
13.(2024·遵义模拟)已知复数z＝a－1＋(a＋3)i，a∈R，则|z|的最小值为　　　　.
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答案
能力拓展
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|z|＝＝
≥2，
当且仅当a＝－1时取等号，所以|z|的最小值为2.
14.若平面向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，则|a＋b|＋|b|的取值范围为　　　　　.
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答案
|a＋b|＋|b|≥|(a＋b)＋b|＝|a＋2b|＝2，
设a＋2b＝c，则|c|＝2，
所以|c＋a|2＋|c－a|2＝2(|c|2＋|a|2)＝10，
|a＋b|＋|b|＝≤，
所以|a＋b|＋|b|的取值范围为[2，].

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