资源简介

§1.1　集　合
分值：83分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·大同模拟)设集合A={x|-14}，则A∩( RB)等于(　　)
A.{x|-1≤x<2} B.{x|-1C.{x|-2≤x≤2} D.{x|-22.设集合A={-1，0，1}，B={y|y=x2，x∈A}，则下列选项中正确的是(　　)
A.AB B.AB
C.A=B D.B=
3.(2024·怀化模拟)已知集合M={-1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，P=M∩N，则P的真子集共有(　　)
A.3个 B.6个 C.7个 D.8个
4.(2024·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于(　　)
A.1 B.0 C.2 D.0或1
5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知集合A={x∈N*|x2-5x-14<0}，B={x|log2(x-2)<2}.则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.{3，4，5} B.{1，2}
C.{3，4，5，6} D.{1，2，6}
6.(2025·攀枝花模拟)已知集合A={1，a2}，B={1，4，a}，若A B，则实数a组成的集合为(　　)
A.{-2，-1，0，2} B.{-2，2}
C.{-1，0，2} D.{-2，0，2}
7.某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为(　　)
A.15 B.20 C.25 D.35
8.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是(　　)
A.A∩B=
B.A (A∪B)
C.( UA)∪A=U
D.( UA)∪( UB)= U(A∩B)
10.若集合M={x|x≥0}，N={x|(x-1)(x-2)<0}，则(　　)
A.M N B.M∪N=M
C.( RM)∩N= D.M∪( RN)=R
11.有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合，下列选项正确的是(　　)
A.A∩B= card(A∪B)=card(A)+card(B)
B.A B card(A)≤card(B)
C.A B card(A)≤card(B)
D.A=B card(A)=card(B)
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知集合A={m|113.(2025·南京模拟)已知非空集合A={x|a-114.已知集合M={1，2，3，4，…，10}，A是集合M的非空真子集，把集合A中的各元素之和记为S(A)，则满足S(A)=8的集合A的个数为　　　　　　；S(A)的所有不同取值的个数为　　　　　　.
每小题5分，共10分
15.设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA=M-m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知A1，A2，A3，…，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且+++…+=120，则n的最大值为(　　)
A.14 B.15 C.16 D.18
16.戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足A∪B=Q，A∩B= ，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素.请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割　　　　.
答案精析
1.B　2.B
3.C　[因为M={-1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，所以P=M∩N={1，2，4}，所以P的真子集共有23-1=7(个).]
4.D　[当a=0时，由ax2-2x+1=0可得x=，满足题意；
当a≠0时，由ax2-2x+1=0只有一个根需满足Δ=(-2)2-4a=0，
解得a=1.
综上，实数a的值为0或1.]
5.D　[由题意知A={x∈N*|x2-5x-14<0}={x∈N*|-2={1，2，3，4，5，6}，
因为函数y=log2x是增函数，
所以B={x|log2(x-2)<2}
={x|0所以A∩B={3，4，5}，
所以图中阴影部分表示的集合为{1，2，6}.]
6.D　[由A B，则有或解得a=2或a=-2或a=0，实数a组成的集合为{-2，0，2}.]
7.B　[设A={x|x是会打乒乓球的教师}，B={x|x是会打羽毛球的教师}，C={x|x是会打篮球的教师}，
由题意得card(A)=30，card(B)=60，card(C)=20，card(A∪B∪C)=80，card(A∩B∩C)=5，
所以card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)，
所以card(A∩B)+card(B∩C)+card(A∩C)=30+60+20+5-80=35，
而card(A∩B)+card(B∩C)+card(A∩C)中，
含有3次card(A∩B∩C)，
所以会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35-3×5=20.]
8.B　[当card(A)=1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当card(A)=2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；
当card(A)=3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}，
综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.]
9.BCD　[如图所示，A∩B≠ ，A选项错误；A (A∪B)，( UA)∪A=U，( UA)∪( UB)= U(A∩B)，BCD选项正确.]
10.BCD　[解一元二次不等式(x-1)(x-2)<0，
得1 RN=(-∞，1]∪[2，+∞)，
由于M={x|x≥0}，结合补集的定义 RM=(-∞，0)，
显然N M，选项A不正确；
同时可得M∪N=M，选项B正确；
由于 RM=(-∞，0)，且N=(1，2)，
可得( RM)∩N= ，选项C正确；
由于M={x|x≥0}，
且 RN=(-∞，1]∪[2，+∞)，
可得M∪( RN)=R，选项D正确.]
11.AB　[对于A，A∩B= ，说明集合A，B没有相同元素，因此card(A∪B)=card(A)+card(B)，反之也成立，故A正确；
对于B，A B，说明集合A的元素都属于集合B，故card(A)≤card(B)，故B正确；
对于C，card(A)≤card(B)，只能说明集合A的元素个数不多于集合B中元素个数，
不能说明集合A的元素都属于集合B，故C错误；
对于D，A=B，说明两集合元素相同，可得到card(A)=card(B)，
反之，两集合元素个数相同，但不能说明两集合元素相同，
故由card(A)=card(B)不能得到A=B，故D错误.]
12.{m|1解析　因为B={y|y=x3，x∈R}=R，
因此，A∩B={m|113.
解析　因为A为非空集合，则a-1<2a+3，解得a>-4， RB={x|x<-2或x>4}，
若A∩( RB)=A，则A ( RB)，
则2a+3≤-2或a-1≥4，
解得a≤-或a≥5，又a>-4，
综上所述，实数a的取值范围为.
14.6　54
解析　由题意，满足S(A)=8的集合A有{1，2，5}，{1，3，4}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，{8}，共6个.
对于S(A)来说，由于它是集合A中的各元素之和，同时A又是集合M的非空真子集，
因为1+2+3+…+10=55，
由题意，易知S(A)将取尽1到54的所有整数，
所以S(A)的所有不同取值的个数为54.
15.C　[由题意，要想n的值最大，则特征值要尽可能的小，可令=0，=1，=2，…，=n-1，则0+1+2+…+(n-1)==120，解得n=16或n=-15(舍去).]
16.A={x∈Q|x<π}，B={x∈Q|x≥π}(答案不唯一)
解析　以无理数分界写出一组即可，如A={x∈Q|x<π}，B={x∈Q|x≥π}(答案不唯一).§1.1　集　合
课标要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：　　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　.
(2)元素与集合的关系是　　　或　　　　　，用符号　　　　或　　　　表示.
(3)集合的表示法：　　　　　、　　　　　　、　　　　　　.
(4)常见数集的记法
集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N*(或N+)
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作　　　　(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作　　　　　　(或BA).
(3)相等：若A B，且　　　　　　，则A=B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是　　　　　　　的子集，是　　　　　　　　　的真子集.
3.集合的基本运算
　表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集
交集
补集
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{-1，0，1}.(　　)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}.(　　)
(3)若1∈{x2，x}，则x=-1或x=1.(　　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).(　　)
2.(2025·潍坊模拟)已知集合A={x|(x-1)(x+2)=0}，B={x|-3<2x-1<3}，则A∩B等于(　　)
A.{-2，1} B.(-2，1)
C.{1} D.(-1，2)
3.(2024·长沙模拟)已知集合M={x|x<1}，N={x|x2<1}，则(　　)
A.M=N B.M N
C.N M D.M∩N=
4.已知集合M={x|-11.掌握有限集子集个数的结论
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个.
2.灵活应用两个常用性质
(1) U(A∩B)=( UA)∪( UB).
(2) U(A∪B)=( UA)∩( UB).
3.牢记两个注意点
(1)在应用条件A∪B=B A∩B=A A B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.
(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
题型一　集合的含义与表示
例1　(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　)
A.M={3，-1}，P={(3，-1)}
B.M={(3，1)}，P={(1，3)}
C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R}
D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R}
(2)已知m∈R，n∈R，若集合={m2，m+n，0}，则m2 025+n2 025的值为(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
思维升华　解决集合含义问题的关键点
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾.
跟踪训练1　(1)已知集合A={-1，a2-2a+1，a-4}，若4∈A，则a的值可能为(　　)
A.-1，3 B.-1 C.-1，3，8 D.-1，8
(2)(多选)非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x+y∈A，下列判断中，正确的有(　　)
A.-1 A
B.∈A
C.若x，y∈A，则xy∈A
D.若x，y∈A，则x-y∈A
题型二　集合间的基本关系
例2　(1)(2025·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B满足A (A∩B)，则下列关系一定正确的是(　　)
A.A=B B.B A
C.A∩( UB)= D.( UA)∩B=
(2)已知M={x|-2≤x≤2}，A={x|1-a≤x≤1+a}，且A∩M=A，则实数a的取值范围为　　　　　　.
思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2　(1)(多选)已知I为全集，若A∪B=A，则(　　)
A.A B B.B A
C. IA IB D. IB IA
(2)(多选)已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N M，则实数m的值可以为(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
题型三　集合的基本运算
命题点1　集合的运算
例3　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A={x|-5A.{-1，0} B.{2，3}
C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2}
(2)(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则 U(M∪N)等于(　　)
A.{x|x=3k，k∈Z}
B.{x|x=3k-1，k∈Z}
C.{x|x=3k-2，k∈Z}
D.
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4　(1)设集合A={x|xa}，若A∩( RB)=A，则实数a的取值范围为(　　)
A.[0，1] B.[0，1)
C.(0，1) D.(-∞，0]∪[1，+∞)
(2)(2025·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)}，B={x|x≤a}，若( RA)∪B=R，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，+∞) B.[1，+∞)
C.(-∞，1) D.(-∞，1]
思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
命题点3　集合的应用
容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去.
我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A={a，b，c}，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).
例5　某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
思维升华　在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含关系的问题，确保计算结果的准确性.
跟踪训练3　(1)(2025·广东八校联考)设集合A={x|1A.[1，+∞) B.[2，+∞)
C.(-∞，1] D.(-∞，2]
(2)(多选)已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|1A.A∪B=B
B.( RB)∪A=R
C.A∩B={x|1D.( RB)∪( RA)={x|x≤1或x>2}
(3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是　　　　　.
集合中的创新问题
数学思维的创新是思维品质的最高层次，以集合为背景的创新问题是新高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力.
典例　(1)(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是一个数域.下列关于数域的命题中是真命题的为(　　)
A.0，1是任意数域中的元素
B.若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域
C.存在无穷多个数域
D.若数集M，N都是数域，则有理数集Q M∩N
(2)(多选)(2024·泰州模拟)对任意A，B R，记A B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，并称A B为集合A，B的对称差.例如：若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A B＝{1，4}.下列命题中，为真命题的是(　　)
A.若A，B R且A B＝B，则A＝
B.若A，B R且A B＝ ，则A＝B
C.若A，B R且A B A，则A B
D.存在A，B R，使得A B≠ RA RB
答案精析
落实主干知识
1.(1)确定性　互异性　无序性　(2)属于
不属于　∈　 　(3)列举法　描述法
图示法　(4)N　Z　Q　R
2.(1)A B　(2)AB　(3)B A　(4)任何集合　任何非空集合
3.{x|x∈A，或x∈B}　A∪B
{x|x∈A，且x∈B}　A∩B
{x|x∈U，且x A}　 UA
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.C　3.C　4.(-∞，-1]
探究核心题型
例1　(1)ABD　[选项A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞)，P={x|x=t2+1，t∈R}=[1，+∞)，故M=P；
选项D中，M是二次函数y=x2-1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y=x2-1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P.]
(2)B　[因为
={m2，m+n，0}，m≠0，
所以
解得或
当m=1时，不满足集合元素的互异性，
故m=-1，n=0，m2 025+n2 025=(-1)2 025+02 025=-1.]
跟踪训练1　(1)D
(2)ABC　[对于A，假设-1∈A，则令x=y=-1，则=1∈A，
令x=-1，y=1，则x+y=0∈A，
令x=1，y=0，不存在，
即y≠0，矛盾，
∴-1 A，故A对；
对于B，由题知，1∈A，则1+1=2∈A，2+1=3∈A，…，2 024∈A，2 025∈A，
∴∈A，故B对；
对于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A，
∵y∈A，∈A，∴=xy∈A，故C对；
对于D，∵1∈A，2∈A，若x=1，y=2，则x-y=-1 A，故D错.]
例2　(1)C　[因为集合A，B满足A (A∩B)，故可得A B，
对A，当A为B的真子集时，不成立；
对B，当A为B的真子集时，也不成立；
对C，A∩( UB)= ，恒成立；
对D，当A为B的真子集时，不成立.]
(2){a|a≤1}
解析　因为A∩M=A，所以A M，
又因为A={x|1-a≤x≤1+a}，
当A= 时，1-a>1+a，解得a<0；
当A≠ 时，
解得0≤a≤1，
综上，实数a的取值范围是{a|a≤1}.
跟踪训练2　(1)BC
(2)BCD　[当N= 时，满足N M，此时m=0；
当N≠ 时，m≠0，
解mx=1可得，x=.
因为N M，所以=-1或=1.
当=-1时，m=-1；
当=1时，m=1.
综上所述，m=0或m=-1或m=1.]
例3　(1)A　[因为A={x|-B={-3，-1，0，2，3}，
且1<<2，-2<-<-1，
所以A∩B={-1，0}.]
(2)A　[方法一　M={…，-2，1，4，7，10，…}，N={…，-1，2，5，8，11，…}，
所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以 U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，
即 U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}.
方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.]
例4　(1)A　[因为B={x|x>a}，
所以 RB={x|x≤a}，
又A∩( RB)=A，所以A RB，
又A={x|x解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1].]
(2)B　[由题可知A={x|y=ln(1-x2)}={x|-1 RA={x|x≤-1或x≥1}，
所以由( RA)∪B=R，得a≥1.]
例5　C　[设集合A={x|x是参加足球队的学生}，
集合B={x|x是参加排球队的学生}，
集合C={x|x是参加游泳队的学生}，
则card(A)=25，card(B)=22，
card(C)=24，
card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9.
设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)=m，card(A∪B∪C)=46，
所以由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)，
即46=25+22+24-12-8-9+m，
解得m=4，
故三项都参加的有4人.]
跟踪训练3　(1)B
(2)CD　[由x2-3x+2≤0，
即(x-2)(x-1)≤0，
解得1≤x≤2，
所以A={x|x2-3x+2≤0}
={x|1≤x≤2}，
由B={x|1所以A∪B={x|1≤x≤3}，故A错误；
A∩B={x|1又 RB=(-∞，1]∪(3，+∞)，所以( RB)∪A=(-∞，2]∪(3，+∞)，故B错误；
RA=(-∞，1)∪(2，+∞)，
所以( RB)∪( RA)=(-∞，1]∪(2，+∞)，故D正确.]
(3)281
解析　由题意，用A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，
则card(A)=203，card(B)=179，
card(C)=165，
card(A∩B)=143，card(B∩C)=97，card(A∩C)=116，
card(A∩B∩C)=90，
因此card(A∪B∪C)
=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)
-card(A∩C)+card(A∩B∩C)
=203+179+165-143-97-116+90=281.
所以参加竞赛的学生总人数是281.
微拓展
典例　(1)ACD　[对于A选项，由定义可知，对任意的数域P，至少含有两个数，则至少有一个元素a≠0∈P，所以有a-a=0∈P，=1∈P，故A正确；
对于B选项，假设数域M={a+b|a，b∈Q}，N={a+b|a，b∈Q}，则当x=∈M，y=∈N时，x∈M∪N，y∈M∪N，x+y=+ M且x+y=+ N，
故x+y=+ M∪N，故B错误；
对于C选项，可以利用题中的数域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z，
集合P={a+b|a，b∈Q}都是数域，这样就有无穷多个数域，故C正确；
对于D选项，在A选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集Q P.
因为0，1是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差，
故所有整数都属于数域P，又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属于数域P，即Q P，
所以Q M，Q N，即Q M∩N，故D正确.]
(2)AB　[对于A，因为A B=B，所以B={x|x∈A∪B，x A∩B}，
所以A B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A= ，即A正确；
对于B，因为A B= ，所以 ={x|x∈A∪B，x A∩B}，
即A∪B与A∩B是相同的，所以A=B，即B正确；
对于C，因为A B A，所以{x|x∈A∪B，x A∩B} A，
所以B A，当A≠B时，A B不成立，即C错误；
对于D，由于( RA) ( RB)={x|x∈( RA)∪( RB)，x ( RA)∩( RB)}={x|x∈ R(A∩B)，x R(A∪B)}={x|x∈A∪B，x A∩B}，
而A B={x|x∈A∪B，x A∩B}，故A B=( RA) ( RB)，即D错误.](共74张PPT)
第一章
§1.1　集　合
数学
大
一
轮
复
习
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.
2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.
3.会求两个集合的并集、交集与补集.
4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性： 、 、 .
(2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示.
(3)集合的表示法： 、 、 .
(4)常见数集的记法
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈

列举法
描述法
图示法
集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ___ N*(或N＋) ___ ___ ___
N
Z
Q
R
A B
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 (或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作 (或B A).
(3)相等：若A B，且 ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是 的子集，是 的真子集.
A B
B A
任何集合
任何非空集合
3.集合的基本运算
表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 _______________ ______
交集 _______________ ______
补集 _______________ _____
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
{x|x∈U，且x A}
UA
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}.(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).(　　)
√
×
×
×
2.(2025·潍坊模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|－3<2x－1<3}，则A∩B等于
A.{－2，1} B.(－2，1)
C.{1} D.(－1，2)
√
A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}＝{1，－2}，
B＝{x|－3<2x－1<3}＝{x|－1∴A∩B＝{1}.
3.(2024·长沙模拟)已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}，则
A.M＝N B.M N
C.N M D.M∩N＝
√
由题意集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}＝{x|－14.已知集合M＝{x|－1(－∞，－1]
因为M∩N＝M，所以M N，所以a≤－1.
1.掌握有限集子集个数的结论
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个.
2.灵活应用两个常用性质
(1) U(A∩B)＝( UA)∪( UB).
(2) U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
3.牢记两个注意点
(1)在应用条件A∪B＝B A∩B＝A A B时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论.
(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是
A.M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
√
集合的含义与表示
√
√
题型一
选项A中，M＝{3，－1}是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，故M＝P；
选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P.
(2)已知m∈R，n∈R，若集合＝{m2，m＋n，0}，则m2 025＋
n2 025的值为
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
因为＝{m2，m＋n，0}，m≠0，所以
解得
当m＝1时，不满足集合元素的互异性，
故m＝－1，n＝0，m2 025＋n2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1.
解决集合含义问题的关键点
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知集合A＝{－1，a2－2a＋1，a－4}，若4∈A，则a的值可能为
A.－1，3 B.－1 C.－1，3，8 D.－1，8
√
由题意，若a2－2a＋1＝4，解得a＝3或a＝－1，若a－4＝4，解得a＝8，
当a＝－1时，A＝{－1，4，－5}满足题意，
当a＝3时，A＝{－1，4，－1}违背了集合中元素间的互异性，
当a＝8时，A＝{－1，4，49}满足题意，
综上所述，a的值可能为－1，8.
(2)(多选)非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A，下列判断中，正确的有
A.－1 A
B.∈A
C.若x，y∈A，则xy∈A
D.若x，y∈A，则x－y∈A
√
√
√
对于A，假设－1∈A，则令x＝y＝－1，则＝1∈A，
令x＝－1，y＝1，则x＋y＝0∈A，
令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，
∴－1 A，故A对；
对于B，由题知，1∈A，则1＋1＝2∈A，2＋1＝3∈A，…，2 024∈A，
2 025∈A，
∴∈A，故B对；
对于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A，
∵y∈A，∈A，∴＝xy∈A，故C对；
对于D，∵1∈A，2∈A，若x＝1，y＝2，则x－y＝－1 A，故D错.
例2　(1)(2025·青岛模拟)已知全集U＝R，集合A，B满足A (A∩B)，则下列关系一定正确的是
A.A＝B B.B A
C.A∩( UB)＝ D.( UA)∩B＝
√
集合间的基本关系
题型二
因为集合A，B满足A (A∩B)，故可得A B，
对A，当A为B的真子集时，不成立；
对B，当A为B的真子集时，也不成立；
对C，A∩( UB)＝ ，恒成立；
对D，当A为B的真子集时，不成立.
(2)已知M＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，且A∩M＝A，则实数a的取值范围为　　　　　.
{a|a≤1}
因为A∩M＝A，所以A M，
又因为A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，
当A＝ 时，1－a>1＋a，解得a<0；
当A≠ 时，解得0≤a≤1，
综上，实数a的取值范围是{a|a≤1}.
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
思维升华
跟踪训练2　(1)(多选)已知I为全集，若A∪B＝A，则
A.A B B.B A
C. IA IB D. IB IA
√
√
因为A∪B＝A，所以B A，所以 IA IB.
(2)(多选)已知集合M＝{－1，1}，N＝{x|mx＝1}，且N M，则实数m的值可以为
A.－2 B.－1 C.0 D.1
√
√
√
当N＝ 时，满足N M，此时m＝0；
当N≠ 时，m≠0，
解mx＝1可得，x＝.
因为N M，所以＝－1或＝1.
当＝－1时，m＝－1；
当＝1时，m＝1.
综上所述，m＝0或m＝－1或m＝1.
例3　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|－5A.{－1，0} B.{2，3}
C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}
√
命题点1　集合的运算
集合的基本运算
题型三
因为A＝{x|－且1<<2，－2<－<－1，所以A∩B＝{－1，0}.
(2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)等于
A.{x|x＝3k，k∈Z}
B.{x|x＝3k－1，k∈Z}
C.{x|x＝3k－2，k∈Z}
D.
√
方法一　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，
所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以 U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，
即 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}.
方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4　(1)设集合A＝{x|xa}，若A∩( RB)＝A，则实数a的取值范围为
A.[0，1] B.[0，1)
C.(0，1) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
√
因为B＝{x|x>a}，所以 RB＝{x|x≤a}，
又A∩( RB)＝A，所以A RB，
又A＝{x|x解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1].
(2)(2025·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若( RA) ∪B＝R，则实数a的取值范围为
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
√
由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1 RA＝{x|x≤－1或x≥1}，
所以由( RA)∪B＝R，得a≥1.
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
思维升华
命题点3　集合的应用
容斥原理是一种数学计数方法，用于处理在计数过程中出现的重叠问题.其基本思想是先不考虑重叠的情况，将所有对象数目计算出来，然后再将重复计算的数目排除出去.
我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.例如，A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).
例5　某校初一(4)班有学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为
A.2 B.3 C.4 D.5
√
设集合A＝{x|x是参加足球队的学生}，集合B＝{x|x是参加排球队的学生}，
集合C＝{x|x是参加游泳队的学生}，
则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，
card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9.
设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)＝m，card(A∪B∪C)＝46，
所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，
即46＝25＋22＋24－12－8－9＋m，
解得m＝4，故三项都参加的有4人.
在解决数量关系问题、阴影面积问题时，通过应用容斥原理，可以有效地解决涉及重叠或包含关系的问题，确保计算结果的准确性.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2025·广东八校联考)设集合A＝{x|1A.[1，＋∞) B.[2，＋∞)
C.(－∞，1] D.(－∞，2]
√
由A∩B＝A知A B，
又A＝{x|1(2)(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|1A.A∪B＝B
B.( RB)∪A＝R
C.A∩B＝{x|1D.( RB)∪( RA)＝{x|x≤1或x>2}
√
√
由x2－3x＋2≤0，即(x－2)(x－1)≤0，解得1≤x≤2，
所以A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
由B＝{x|1所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，故A错误；
A∩B＝{x|1又 RB＝(－∞，1]∪(3，＋∞)，所以( RB)∪A＝(－∞，2]∪(3，＋∞)，故B错误；
RA＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，所以( RB)∪( RA)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)，故D正确.
(3)某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是　　　.
281
由题意，用A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，
则card(A)＝203，card(B)＝179，card(C)＝165，
card(A∩B)＝143，card(B∩C)＝97，card(A∩C)＝116，card(A∩B∩C)＝90，
因此card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)
－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)＝203＋179＋165－143－97－116＋90＝281.
所以参加竞赛的学生总人数是281.
数学思维的创新是思维品质的最高层次，以集合为背景的创新问题是新高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力.
集合中的创新问题
微拓展
典例　(1)(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是一个数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是一个数域.下列关于数域的命题中是真命题的为
A.0，1是任意数域中的元素
B.若数集M，N都是数域，则M∪N是一个数域
C.存在无穷多个数域
D.若数集M，N都是数域，则有理数集Q M∩N
√
√
√
对于A选项，由定义可知，对任意的数域P，至少含有两个数，则至少有一个元素a≠0∈P，所以有a－a＝0∈P，＝1∈P，故A正确；
对于B选项，假设数域M＝{a＋b|a，b∈Q}，N＝{a＋b|a，b∈Q}，则当x＝∈M，y＝∈N时，x∈M∪N，y∈M∪N，x＋y＝ M且x＋y＝ N，
故x＋y＝ M∪N，故B错误；
对于C选项，可以利用题中的数域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z，
集合P＝{a＋b|a，b∈Q}都是数域，这样就有无穷多个数域，故C正确；
对于D选项，在A选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集Q P.
因为0，1是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差，
故所有整数都属于数域P，
又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属于数域P，即Q P，
所以Q M，Q N，即Q M∩N，故D正确.
(2)(多选)(2024·泰州模拟)对任意A，B R，记A B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，并称A B为集合A，B的对称差.例如：若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A B＝{1，4}.下列命题中，为真命题的是
A.若A，B R且A B＝B，则A＝
B.若A，B R且A B＝ ，则A＝B
C.若A，B R且A B A，则A B
D.存在A，B R，使得A B≠ RA RB
√
√
对于A，因为A B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，
所以A B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝ ，即A正确；
对于B，因为A B＝ ，所以 ＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，
即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，即B正确；
对于C，因为A B A，所以{x|x∈A∪B，x A∩B} A，
所以B A，当A≠B时，A B不成立，即C错误；
对于D，由于( RA) ( RB)＝{x|x∈( RA)∪( RB)，x ( RA)∩( RB)}
＝{x|x∈ R(A∩B)，x R(A∪B)}＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，
而A B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，故A B＝( RA) ( RB)，即D错误.
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课时精练
对一对
答案
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3
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9
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11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D D D B B
题号 9 10 11 12 13
答案 BCD BCD AB {m|1题号 14 15 16
答案 6　54 C A={x∈Q|x<π}，B={x∈Q|x≥π}(答案不唯一)
一、单项选择题
1.(2025·大同模拟)设集合A＝{x|－14}，则A∩( RB)等于
A.{x|－1≤x<2} B.{x|－1C.{x|－2≤x≤2} D.{x|－2√
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知识过关
答案
由题意可得 RB＝{x|0≤x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩( RB)＝{x|－12.设集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则下列选项中正确的是
A.A B B.A B
C.A＝B D.B＝
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√
答案
由题意，在B＝{y|y＝x2，x∈A}中，A＝{－1，0，1}，(－1)2＝1，02＝0，12＝1，∴B＝{0，1}，∴A B.
3.(2024·怀化模拟)已知集合M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，P＝M∩N，则P的真子集共有
A.3个 B.6个 C.7个 D.8个
√
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2
3
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因为M＝{－1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，所以P＝M∩N＝{1，2，4}，所以P的真子集共有23－1＝7(个).
答案
4.(2024·宝鸡模拟)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则实数a等于
A.1 B.0 C.2 D.0或1
√
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16
当a＝0时，由ax2－2x＋1＝0可得x＝，满足题意；
当a≠0时，由ax2－2x＋1＝0只有一个根需满足Δ＝(－2)2－4a＝0，解得a＝1.
综上，实数a的值为0或1.
答案
5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知集合A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}，B＝{x|log2(x－2)<2}.则图中阴影部分表示的集合为
A.{3，4，5} B.{1，2}
C.{3，4，5，6} D.{1，2，6}
√
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15
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由题意知A＝{x∈N*|x2－5x－14<0}＝{x∈N*|－2因为函数y＝log2x是增函数，
所以B＝{x|log2(x－2)<2}＝{x|0所以A∩B＝{3，4，5}，所以图中阴影部分表示的集合为{1，2，6}.
答案
6.(2025·攀枝花模拟)已知集合A＝{1，a2}，B＝{1，4，a}，若A B，则实数a组成的集合为
A.{－2，－1，0，2} B.{－2，2}
C.{－1，0，2} D.{－2，0，2}
√
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15
16
由A B，则有解得a＝2或a＝－2或a＝0，
实数a组成的集合为{－2，0，2}.
答案
7.某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为
A.15 B.20 C.25 D.35
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15
16
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答案
设A＝{x|x是会打乒乓球的教师}，B＝{x|x是会打羽毛球的教师}，C＝{x|x是会打篮球的教师}，
由题意得card(A)＝30，card(B)＝60，card(C)＝20，card(A∪B∪C)＝80，card(A∩B∩C)＝5，
所以card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，
所以card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)＝30＋60＋20＋5－80＝35，
而card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(A∩C)中，含有3次card(A∩B∩C)，
所以会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35－3×5＝20.
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答案
8.设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A I；②card(A)≤ min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为
A.7 B.8 C.9 D.10
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当card(A)＝1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当card(A)＝2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，
{3，7}，{5，7}；
当card(A)＝3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}，
综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.
答案
二、多项选择题
9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是
A.A∩B＝ B.A (A∪B)
C.( UA)∪A＝U D.( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)
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答案
如图所示，A∩B≠ ，A选项错误；
A (A∪B)，( UA)∪A＝U，( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)，BCD选项正确.
10.若集合M＝{x|x≥0}，N＝{x|(x－1)(x－2)<0}，则
A.M N B.M∪N＝M
C.( RM)∩N＝ D.M∪( RN)＝R
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解一元二次不等式(x－1)(x－2)<0，得1 RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，
由于M＝{x|x≥0}，结合补集的定义 RM＝(－∞，0)，
显然N M，选项A不正确；
同时可得M∪N＝M，选项B正确；
由于 RM＝(－∞，0)，且N＝(1，2)，可得( RM)∩N＝ ，选项C正确；
由于M＝{x|x≥0}，且 RN＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，
可得M∪( RN)＝R，选项D正确.
答案
11.有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合，下列选项正确的是
A.A∩B＝ card(A∪B)＝card(A)＋card(B)
B.A B card(A)≤card(B)
C.A B card(A)≤card(B)
D.A＝B card(A)＝card(B)
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对于A，A∩B＝ ，说明集合A，B没有相同元素，
因此card(A∪B)＝card(A)＋card(B)，反之也成立，故A正确；
对于B，A B，说明集合A的元素都属于集合B，故card(A)≤card(B)，故B正确；
对于C，card(A)≤card(B)，只能说明集合A的元素个数不多于集合B中元素个数，
不能说明集合A的元素都属于集合B，故C错误；
对于D，A＝B，说明两集合元素相同，可得到card(A)＝card(B)，
反之，两集合元素个数相同，但不能说明两集合元素相同，
故由card(A)＝card(B)不能得到A＝B，故D错误.
答案
三、填空题
12.已知集合A＝{m|1{m|11
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因为B＝{y|y＝x3，x∈R}＝R，
因此，A∩B＝{m|1答案
13.(2025·南京模拟)已知非空集合A＝{x|a－14}.A∩( RB)＝A，则实数a的取值范围为　　　　　 .
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因为A为非空集合，则a－1<2a＋3，
解得a>－4， RB＝{x|x<－2或x>4}，
若A∩( RB)＝A，则A ( RB)，
则2a＋3≤－2或a－1≥4，
解得a≤－或a≥5，又a>－4，
综上所述，实数a的取值范围为.
答案
14.已知集合M＝{1，2，3，4，…，10}，A是集合M的非空真子集，把集合A中的各元素之和记为S(A)，则满足S(A)＝8的集合A的个数为　　　；S(A)的所有不同取值的个数为　　　.
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由题意，满足S(A)＝8的集合A有{1，2，5}，{1，3，4}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，{8}，共6个.
对于S(A)来说，由于它是集合A中的各元素之和，同时A又是集合M的非空真子集，
因为1＋2＋3＋…＋10＝55，
由题意，易知S(A)将取尽1到54的所有整数，
所以S(A)的所有不同取值的个数为54.
答案
15.设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA＝M－m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知A1，A2，A3，…，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且＋…＋＝120，则n的最大值为
A.14 B.15 C.16 D.18
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能力拓展
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由题意，要想n的值最大，则特征值要尽可能的小，可令＝0，＝1，＝2，…，＝n－1，则0＋1＋2＋…＋(n－1)＝＝120，解得n＝16或n＝－15(舍去).
答案
16.戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足A∪B＝Q，A∩B＝ ，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素.请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割_______________
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A＝{x∈Q|x<π}，
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B＝{x∈Q|x≥π}(答案不唯一)
以无理数分界写出一组即可，如A＝{x∈Q|x<π}，B＝{x∈Q|x≥π}(答案不唯一).
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答案

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