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§1.2　常用逻辑用语
分值：84分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.“x<0”是“=-x”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.命题“ x∈R，ex>ln x+1”的否定是(　　)
A. x∈R，ex≤ln x+1
B. x∈R，ex≤ln x+1
C. x R，ex>ln x+1
D. x R，ex>ln x+1
3.(2025·常州调研)已知a，b∈R，则“b=ea”是“a=ln b”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2025·朔州模拟)已知A，B为实数，则“AB<0”是“Ax2+By2=1为双曲线方程”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.下列叙述错误的是(　　)
A.命题“ x∈R，x2-1≤-1”的否定是“ x∈R，x2-1>-1”
B.若幂函数y=(m2-2m-2)x2-4m在(0，+∞)上单调递增，则实数m的值为-1
C. x∈(0，+∞)，2x>log2x
D.设a∈R，则“a2>3”是“a>”的充分不必要条件
6.(2024·南通模拟)若“ x∈(0，π)，sin 2x-ksin x<0”为假命题，则k的取值范围为(　　)
A.(-∞，-2] B.(-∞，2]
C.(-∞，-2) D.(-∞，2)
7.(2025·宁波模拟)命题“ x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≤- B.a≤0
C.a≥6 D.a≥8
8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.下列既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A. x∈R，|x|<0
B. x∈Z，cos x=-1
C.至少有一个x∈Z，使x能同时被3和5整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
10.下列说法正确的是(　　)
A.命题“ x≥1，x2>1”的否定是“ x<1，x2≤1”
B.“a>0且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件
D.已知a，b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0”
11.下列说法正确的为(　　)
A.异面直线所成的角的范围是[0，π]
B.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a>4
C.若命题“ x∈R，mx2+mx+1<0”是假命题，则0D.已知p：0三、填空题(每小题5分，共15分)
12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：　　　　　　　　　　　　　.
13.(2025·晋城联考)已知集合P={y|y=x+a，-114.已知命题“ x∈[-1，2]，x2-3x+a>0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　.
15题5分，16题6分，共11分
15.(2025·秦皇岛模拟)下列说法正确的是(　　)
A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件
B.命题“ x∈(0，+∞)，x+>1”的否定是“ x∈(0，+∞)，x+≤1”
C.“ω=π”是“函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件
D.“cos2α+sin2β=1”的充要条件是“α=β”
16.(多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年，由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，则下列命题正确的为(　　)
A.至少存在一组正整数组(x，y，z)是关于x，y，z的方程x3+y3=z3的解
B.关于x，y的方程x3+y3=1有正有理数解
C.关于x，y的方程x3+y3=1没有正有理数解
D.当整数n>3时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn有正实数解
答案精析
1.A　2.A
3.A　[根据指数式和对数式的互化公式可知b=ea a=ln b，所以“b=ea”是“a=ln b”的充要条件.]
4.C　[当Ax2+By2=1表示双曲线时，AB<0，而当AB<0时，Ax2+By2=1表示的是双曲线，所以“AB<0”是“Ax2+By2=1为双曲线方程”的充要条件.]
5.D　[对于A，命题“ x∈R，x2-1≤-1”的否定是“ x∈R，x2-1>-1”，A正确；
对于B，由解得m=-1，B正确；
对于C，当x>0时，函数y=2x的图象在直线y=x上方，函数y=log2x的图象在直线y=x下方，则2x>log2x，C正确；
对于D，由a2>3，得a<-或a>，因此“a2>3”是“a>”的必要不充分条件，D错误.]
6.A　[依题意知命题“ x∈(0，π)，sin 2x-ksin x<0”为假命题，则“ x∈(0，π)，sin 2x-ksin x≥0”为真命题，所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x在x∈(0，π)时恒成立，解得k≤-2，所以k的取值范围为(-∞，-2].]
7.D　[若命题“ x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题，
则命题的否定“ x∈[-2，1]，x2-x-a≤0”为真命题，
即a≥x2-x，x∈[-2，1]恒成立，
对于函数y=x2-x=-，x∈[-2，1]，
当x=-2时，取得最大值y=6，
所以a≥6，选项中只有{a|a≥8}是{a|a≥6}的真子集，
所以命题“ x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件为a≥8.]
8.C　[方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn=na1+d，=a1+d=n+a1--=，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
即-==为常数，设为t，
即=t，
则Sn=nan+1-t·n(n+1)，
有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)，n≥2，
两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2tn，
即an+1-an=2t，对n=1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn=na1+d，
则=a1+d=n+a1-，
因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
设数列的公差为D，
则-=D，=S1+(n-1)D，
即Sn=nS1+n(n-1)D，
当n≥2时，
Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D，
上边两式相减得
Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D，
所以an=a1+2(n-1)D，
当n=1时，上式成立，
又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.]
9.BC　[选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，
即|x|≥0，所以A是假命题；
选项B为存在量词命题，当x=2时，满足cos=cos π=-1，所以B既是存在量词命题又是真命题；
选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题；
选项D是全称量词命题，所以D不符合题意.]
10.BC　[对于A，命题的否定是“ x≥1，x2≤1”，故A错误；
对于B，若a>0且Δ=b2-4ac≤0，则不等式的解集为R，充分性成立，若不等式的解集为R，则a>0且Δ=b2-4ac≤0，即必要性成立，故B正确；
对于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a=，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，故C正确；
对于D，例如a=b=0，可以推出|a+b|=|a|+|b|，即|a+b|=|a|+|b|不可以推出ab>0，故D错误.]
11.BD　[对于A，异面直线所成的角的范围是，A错误；
对于B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A真包含于集合B，所以>2，即a>4，B正确；
对于C，若命题是假命题，则“ x∈R，mx2+mx+1≥0”是真命题，故m=0或解得0≤m≤4，C错误；
对于D，由p是q的充分条件，则p q，即对于012.存在一个素数不是奇数
解析　因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.
13.[0，2]
解析　由y=x+a，-1所以P={y|a-1由ln(2-x)<0，即ln(2-x)所以Q={x|1因为x∈P是x∈Q的必要不充分条件，则Q P，
所以
解得0≤a≤2.
所以实数a的取值范围为[0，2].
14.(-∞，-4]
解析　由题意得，“ x∈[-1，2]，x2-3x+a≤0”是真命题，则a≤-x2+3x对 x∈[-1，2]恒成立，在区间[-1，2]上，-x2+3x的最小值为-(-1)2+3×(-1)=-4，所以a≤(-x2+3x)min=-4，即a的取值范围是(-∞，-4].
15.C　[对于A，“若a>b，则a2>b2”是假命题，
例如1>-2，而12<(-2)2，
“若a2>b2，则a>b”是假命题，例如(-2)2>12，而-2<1，
即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，A错误；
对于B，命题“ x∈(0，+∞)，x+>1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“ x∈(0，+∞)，x+≤1”，B错误；
对于D，当α=，β=时，cos2α+sin2β=1成立，因此cos2α+sin2β=1成立，不一定有α=β，D错误；
对于C，当ω=π时，函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2，
当函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2时，ω=π或ω=-π.
所以“ω=π”是“函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件，C正确.]
16.CD　[当正整数n>2时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解，故方程x3+y3=z3没有正整数解，A错误；
x3+y3=z3没有正整数解，即+=1(z≠0)没有正有理数解，B错误，C正确；
方程xn+yn=zn，当x=y=1，z=时满足条件，故有正实数解，D正确.]§1.2　常用逻辑用语
课标要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的　　　　　　条件，q是p的　　　　条件
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的　　　　条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“　　　　”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“　　　”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　)
(4)命题“ x∈R，sin2+cos2=”是真命题.(　　)
2.命题“ x∈R，x2-x+2≥0”的否定为(　　)
A. x∈R，x2-x+2<0
B. x∈R，x2-x+2≤0
C. x∈R，x2-x+2≤0
D. x∈R，x2-x+2<0
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知“p：2≤x<3”是“q：x>m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　.
1.谨记两个常用结论
(1)p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
(2)命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
2.理清一个关系
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.
题型一　充分、必要条件的判定
例1　(1)(2024·连云港模拟)“λ=-1”是“直线l1：x+λy+9=0与l2：(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知，p是q的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
思维升华　充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
跟踪训练1　(1)设x∈R，则“cos x=1”是“sin x=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2025·北京房山区模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0，且在[0，+∞)上单调递减，对于实数a，b，则“a2f(b)”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型二　充分、必要条件的应用
例2　(1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.
(2)已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数).若綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是　　　　　　.
思维升华　求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
跟踪训练2　(1)已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A.[0，+∞) B.[1，+∞)
C.(-∞，0] D.(-∞，1]
(2)已知α：-1题型三　全称量词与存在量词
命题点1　含量词的命题的否定
例3　(多选)下列说法正确的是(　　)
A.“菱形是正方形”是全称量词命题
B.“ x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2+y2<0”
C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件
命题点2　含量词的命题的真假判断
例4　(多选)下列命题中，为真命题的是(　　)
A. x∈R，2x-1>0
B. x∈R，x2+1<2x
C. xy>0，x+y≥2
D. x，y∈R，sin(x+y)=sin x+sin y
命题点3　含量词的命题的应用
例5　(1)(2024·台州模拟)若命题“ x∈R，使x2-x-m=0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知命题“ x∈R，ax2-ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.
思维升华　含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
跟踪训练3　(1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p： x∈R，|x+1|>1；命题q： x>0，x3=x，则(　　)
A.p和q都是真命题
B.綈p和q都是真命题
C.p和綈q都是真命题
D.綈p和綈q都是真命题
(2)(多选)(2025·海口模拟)以下说法正确的是(　　)
A.“ x∈R，3x2-2≥0”的否定是“ x∈R，3x2-2<0”
B.“x>3”是“log3(2x+1)>2”的充分不必要条件
C.若命题“ x∈R，x2+(a-1)x+1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是(-1，3)
D.若命题“ x∈R，2ax2+ax-≤0”是真命题，则-3≤a≤0
答案精析
落实主干知识
1.充分　必要　p q且qp　充要
2.(1) 　(2)
3. x∈M，綈p(x)　 x∈M，綈p(x)
自主诊断
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.A　3.C　4.(-∞，2)
探究核心题型
例1　(1)A　[当λ=-1时，直线l2：-3x+3y-3=0，即x-y+1=0，与直线l1：x-y+9=0平行，充分性成立；
直线l1：x+λy+9=0与l2：(λ-2)x+3y+3λ=0平行，有λ(λ-2)=3，解得λ=-1或λ=3，
其中当λ=3时，两直线重合，舍去，故λ=-1，必要性成立.
故“λ=-1”是“直线l1：x+λy+9=0与l2：(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的充要条件.]
(2)C　[已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知q p，而p不能推出q，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不一定相等，则p是q的必要不充分条件.]
跟踪训练1　(1)A
(2)C　[由定义在R上的函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0，得函数f(x)是R上的偶函数，而f(x)在[0，+∞)上单调递减，因此f(a)>f(b) f(|a|)>f(|b|) |a|<|b| a2f(b)”的充要条件.]
例2　(1)(-∞，1)　(-∞，1]
解析　因为p：x≤1，q：x≤a，
若p是q的必要不充分条件，
则(-∞，a](-∞，1]，因此a<1，
即实数a的取值范围是(-∞，1).
若p是q的必要条件，
则(-∞，a] (-∞，1]，
因此a≤1，
即实数a的取值范围是(-∞，1].
(2)[1，+∞)
解析　由已知得綈p：-3≤x≤1，
綈q：x≤a.
设A={x|-3≤x≤1}，B={x|x≤a}，
若綈p是綈q的充分不必要条件，则綈p 綈q，綈q綈p，
所以集合A={x|-3≤x≤1}是集合B={x|x≤a}的真子集.
所以a≥1.
跟踪训练2　(1)C
(2)(-∞，0)
解析　因为α是β的充分不必要条件，
所以{x|-1则(不同时取等号)，解得m<0，
所以实数m的取值范围是(-∞，0).
例3　AB　[对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确；
对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“ x，y∈R，x2+y2<0”，故B正确；
对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误；
对于D，因为A=B时，sin A=sin B成立，而sin A=sin B时，A=B不一定成立，如A=，B=，故“A=B”是“sin A=sin B”的充分不必要条件，故D错误.]
例4　AD　[对于A项， x∈R，>0，A项正确；
对于B项，∵x2+1-2x=(x-1)2≥0，∴x2+1≥2x，B项错误；
对于C项，当x<0，y<0时，x+y<0<2，C项错误；
对于D项，取x=y=0，则sin(x+y)=sin 0=0=sin 0+sin 0=sin x+sin y，D项正确.]
例5　(1)C　[因为“ x∈R，x2-x-m=0”是真命题，所以Δ=1-4×(-m)≥0，解得m≥-.]
(2)[0，4)
解析　由题意得不等式ax2-ax+1>0对 x∈R恒成立.
①当a=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意；
②当a≠0时，若不等式ax2-ax+1>0对 x∈R恒成立，
则解得0综上，实数a的取值范围是[0，4).
跟踪训练3　(1)B
(2)AD　[对于A，“ x∈R，3x2-2≥0”的否定是“ x∈R，3x2-2<0”，故A正确；
对于B，log3(2x+1)>2即log3(2x+1)>log39，解得x>4，因为x>4 x>3，且x>3x>4，所以“x>3”是“log3(2x+1)>2”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，命题的否定是假命题，则命题“ x∈R，x2+(a-1)x+1<0”是真命题，即Δ=(a-1)2-4>0，解得a>3或a<-1，故C错误；
对于D，因为“ x∈R，2ax2+ax-≤0”是真命题，即2ax2+ax-≤0对 x∈R恒成立.当a=0时，命题成立；当a≠0时，解得-3≤a<0，综上可得，-3≤a≤0，故D正确.](共70张PPT)
第一章
§1.2　常用逻辑用语
数学
大
一
轮
复
习
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的充分不必要条件 ___________
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的 条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
充分
必要
p q且q p
充要
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.


3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 ___________________ ___________________
x∈M，綈p(x)
x∈M，綈p(x)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　)
(4)命题“ x∈R，sin2＋cos2”是真命题.(　　)
×
√
√
√
2.命题“ x∈R，x2－x＋2≥0”的否定为
A. x∈R，x2－x＋2<0
B. x∈R，x2－x＋2≤0
C. x∈R，x2－x＋2≤0
D. x∈R，x2－x＋2<0
√
命题“ x∈R，x2－x＋2≥0”的否定为命题“ x∈R，x2－x＋2<0”.
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
4.已知“p：2≤x<3”是“q：x>m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　.
(－∞，2)
由题意可知，{x|2≤x<3}是{x|x>m}的真子集，可得m<2，所以实数m的取值范围为(－∞，2).
1.谨记两个常用结论
(1)p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
(2)命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
2.理清一个关系
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(2024·连云港模拟)“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：
(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
充分、必要条件的判定
题型一
当λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0，即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；
直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1或λ＝3，
其中当λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立.
故“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件.
(2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知，p是q的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知q p，而p不能推出q，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不一定相等，则p是q的必要不充分条件.
充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
思维升华
跟踪训练1　(1)设x∈R，则“cos x＝1”是“sin x＝0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
当cos x＝1时，x＝2kπ(k∈Z)，此时sin x＝0；
当sin x＝0时，x＝kπ(k∈Z)，此时cos x＝1或cos x＝－1，
所以“cos x＝1”是“sin x＝0”的充分不必要条件.
(2)(2025·北京房山区模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，对于实数a，b，则“a2f(b)”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
由定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，得函数f(x)是R上的偶函数，而f(x)在[0，＋∞)上单调递减，因此f(a)>f(b) f(|a|)>f(|b|) |a|<|b| a2f(b)”的充要条件.
例2　(1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是
　　　　　　.
充分、必要条件的应用
题型二
(－∞，1)
(－∞，1]
因为p：x≤1，q：x≤a，
若p是q的必要不充分条件，则(－∞，a] (－∞，1]，因此a<1，
即实数a的取值范围是(－∞，1).
若p是q的必要条件，则(－∞，a] (－∞，1]，
因此a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1].
(2)已知p：x>1或x<－3，q：x>a(a为实数).若綈q的一个充分不必要条件是綈p，则实数a的取值范围是　　　　　　.
[1，＋∞)
由已知得綈p：－3≤x≤1，綈q：x≤a.
设A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|x≤a}，
若綈p是綈q的充分不必要条件，则綈p 綈q，綈q 綈p，
所以集合A＝{x|－3≤x≤1}是集合B＝{x|x≤a}的真子集.
所以a≥1.
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是
A.[0，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，0] D.(－∞，1]
√
由>1可得x(x－1)<0，解得0记A＝{x|0m}，
若p是q的充分条件，
则A是B的子集，所以m≤0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0].
(2)已知α：－1因为α是β的充分不必要条件，
所以{x|－1则(不同时取等号)，解得m<0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0).
(－∞，0)
例3　(多选)下列说法正确的是
A.“菱形是正方形”是全称量词命题
B.“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”
C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件
√
命题点1　含量词的命题的否定
全称量词与存在量词
题型三
√
对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确；
对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”，故B正确；
对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故C错误；
对于D，因为A＝B时，sin A＝sin B成立，而sin A＝sin B时，A＝B不一定成立，如A＝，B＝，故“A＝B”是“sin A＝sin B”的充分不必要条件，故D错误.
例4　(多选)下列命题中，为真命题的是
A. x∈R，2x－1>0
B. x∈R，x2＋1<2x
C. xy>0，x＋y≥2
D. x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x＋sin y
命题点2　含量词的命题的真假判断
√
√
对于A项， x∈R，>0，A项正确；
对于B项，∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，B项错误；
对于C项，当x<0，y<0时，x＋y<0<2，C项错误；
对于D项，取x＝y＝0，则sin(x＋y)＝sin 0＝0＝sin 0＋sin 0＝sin x＋sin y，D项正确.
命题点3　含量词的命题的应用
例5　(1)(2024·台州模拟)若命题“ x∈R，使x2－x－m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
√
因为“ x∈R，x2－x－m＝0”是真命题，所以Δ＝1－4×(－m)≥0，解得m≥－.
(2)已知命题“ x∈R，ax2－ax＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.
由题意得不等式ax2－ax＋1>0对 x∈R恒成立.
①当a＝0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意；
②当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对 x∈R恒成立，
则解得0综上，实数a的取值范围是[0，4).
[0，4)
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则
A.p和q都是真命题
B.綈p和q都是真命题
C.p和綈q都是真命题
D.綈p和綈q都是真命题
√
对于命题p，取x＝－1，
则有|x＋1|＝0<1，
故p是假命题，綈p是真命题，
对于命题q，取x＝1，
则有x3＝13＝1＝x，
故q是真命题，綈q是假命题，
综上，綈p和q都是真命题.
(2)(多选)(2025·海口模拟)以下说法正确的是
A.“ x∈R，3x2－2≥0”的否定是“ x∈R，3x2－2<0”
B.“x>3”是“log3(2x＋1)>2”的充分不必要条件
C.若命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值
范围是(－1，3)
D.若命题“ x∈R，2ax2＋ax－≤0”是真命题，则－3≤a≤0
√
√
对于A，“ x∈R，3x2－2≥0”的否定是“ x∈R，3x2－2<0”，故A正确；
对于B，log3(2x＋1)>2即log3(2x＋1)>log39，解得x>4，因为x>4 x>3，且x>3 x>4，所以“x>3”是“log3(2x＋1)>2”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，命题的否定是假命题，则命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1，故C错误；
对于D，因为“ x∈R，2ax2＋ax－≤0”是真命题，即2ax2＋ax－≤0
对 x∈R恒成立.当a＝0时，命题成立；当a≠0时，解得
－3≤a<0，综上可得，－3≤a≤0，故D正确.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A C D A D C
题号 9 10 11 12 13 答案 BC BC BD 存在一个素数不是奇数 [0，2] 题号 14 15 　16 答案 (-∞，-4] C CD 一、单项选择题
1.“x<0”是“＝－x”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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知识过关
答案
＝－x x≤0，因为x<0 x≤0，但x≤0 x<0，所以“x<0”是“＝－x”的充分不必要条件.
2.命题“ x∈R，ex>ln x＋1”的否定是
A. x∈R，ex≤ln x＋1
B. x∈R，ex≤ln x＋1
C. x R，ex>ln x＋1
D. x R，ex>ln x＋1
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根据存在量词命题的否定为全称量词命题，则命题“ x∈R，ex>ln x＋1”的否定为“ x∈R，ex≤ln x＋1”.
3.(2025·常州调研)已知a，b∈R，则“b＝ea”是“a＝ln b”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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根据指数式和对数式的互化公式可知b＝ea a＝ln b，
所以“b＝ea”是“a＝ln b”的充要条件.
答案
4.(2025·朔州模拟)已知A，B为实数，则“AB<0”是“Ax2＋By2＝1为双曲线方程”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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当Ax2＋By2＝1表示双曲线时，AB<0，而当AB<0时，Ax2＋By2＝1表示的是双曲线，所以“AB<0”是“Ax2＋By2＝1为双曲线方程”的充要条件.
答案
5.下列叙述错误的是
A.命题“ x∈R，x2－1≤－1”的否定是“ x∈R，x2－1>－1”
B.若幂函数y＝(m2－2m－2)x2－4m在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值
为－1
C. x∈(0，＋∞)，2x>log2x
D.设a∈R，则“a2>3”是“a>”的充分不必要条件
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对于A，命题“ x∈R，x2－1≤－1”的否定是“ x∈R，x2－1>－1”，A正确；
对于B，由解得m＝－1，B正确；
对于C，当x>0时，函数y＝2x的图象在直线y＝x上方，函数y＝log2x的图象在直线y＝x下方，则2x>log2x，C正确；
对于D，由a2>3，得a<－或a>，因此“a2>3”是“a>”的必要不充分条件，D错误.
答案
6.(2024·南通模拟)若“ x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，则k的取值范围为
A.(－∞，－2] B.(－∞，2]
C.(－∞，－2) D.(－∞，2)
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依题意知命题“ x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，则“ x∈(0，π)，sin 2x－ksin x≥0”为真命题，所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x在x∈(0，π)时恒成立，解得k≤－2，所以k的取值范围为(－∞，－2].
答案
7.(2025·宁波模拟)命题“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题的一个充分不必要条件是
A.a≤－ B.a≤0
C.a≥6 D.a≥8
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若命题“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题，
则命题的否定“ x∈[－2，1]，x2－x－a≤0”为真命题，
即a≥x2－x，x∈[－2，1]恒成立，
对于函数y＝x2－x＝，x∈[－2，1]，
当x＝－2时，取得最大值y＝6，
所以a≥6，选项中只有{a|a≥8}是{a|a≥6}的真子集，
所以命题“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题的一个充分不必要条件为a≥8.
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8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
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方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
即为常数，设为t，
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即＝t，
则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，
有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
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方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn＝na1＋d，
则＝a1＋d＝n＋a1－，
因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
设数列的公差为D，
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则＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，
所以an＝a1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
答案
二、多项选择题
9.下列既是存在量词命题又是真命题的是
A. x∈R，|x|<0
B. x∈Z，cos x＝－1
C.至少有一个x∈Z，使x能同时被3和5整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
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选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，
即|x|≥0，所以A是假命题；
选项B为存在量词命题，当x＝2时，满足cos＝cos π＝－1，所以B既是存在量词命题又是真命题；
选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题；
选项D是全称量词命题，所以D不符合题意.
10.下列说法正确的是
A.命题“ x≥1，x2>1”的否定是“ x<1，x2≤1”
B.“a>0且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”
的充要条件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件
D.已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是“ab>0”
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对于A，命题的否定是“ x≥1，x2≤1”，故A错误；
对于B，若a>0且Δ＝b2－4ac≤0，则不等式的解集为R，充分性成立，若不等式的解集为R，则a>0且Δ＝b2－4ac≤0，即必要性成立，故B正确；
对于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a＝，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，故C正确；
对于D，例如a＝b＝0，可以推出|a＋b|＝|a|＋|b|，即|a＋b|＝|a|＋|b|不可以推出ab>0，故D错误.
答案
11.下列说法正确的为
A.异面直线所成的角的范围是[0，π]
B.已知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充
分不必要条件，则实数a的取值范围是a>4
C.若命题“ x∈R，mx2＋mx＋1<0”是假命题，则0D.已知p：0值范围为m≥6
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对于A，异面直线所成的角的范围是，A错误；
对于B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A真包含于集合B，所以>2，即a>4，B正确；
对于C，若命题是假命题，则“ x∈R，mx2＋mx＋1≥0”是真命题，故m＝0或解得0≤m≤4，C错误；
答案
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对于D，由p是q的充分条件，则p q，即对于0答案
三、填空题
12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：___________
____________.
存在一个素
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因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.
答案
数不是奇数
13.(2025·晋城联考)已知集合P＝{y|y＝x＋a，－11
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答案
[0，2]
由y＝x＋a，－1所以P＝{y|a－1由ln(2－x)<0，即ln(2－x)所以Q＝{x|1因为x∈P是x∈Q的必要不充分条件，则Q P，
所以
解得0≤a≤2.
所以实数a的取值范围为[0，2].
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答案
14.已知命题“ x∈[－1，2]，x2－3x＋a>0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　 　.
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(－∞，－4]
答案
由题意得，“ x∈[－1，2]，x2－3x＋a≤0”是真命题，则a≤－x2＋3x对 x∈[－1，2]恒成立，在区间[－1，2]上，－x2＋3x的最小值为－(－1)2
＋3×(－1)＝－4，所以a≤(－x2＋3x)min＝－4，即a的取值范围是(－∞，－4].
15.(2025·秦皇岛模拟)下列说法正确的是
A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件
B.命题“ x∈(0，＋∞)，x＋>1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，x＋≤1”
C.“ω＝π”是“函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2”的充分不必要
条件
D.“cos2α＋sin2β＝1”的充要条件是“α＝β”
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√
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能力拓展
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对于A，“若a>b，则a2>b2”是假命题，
例如1>－2，而12<(－2)2，
“若a2>b2，则a>b”是假命题，例如(－2)2>12，而－2<1，
即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，A错误；
对于B，命题“ x∈(0，＋∞)，x＋>1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“ x∈(0，＋∞)，x＋≤1”，B错误；
答案
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对于D，当α＝，β＝时，cos2α＋sin2β＝1成立，因此cos2α＋sin2β＝1成立，不一定有α＝β，D错误；
对于C，当ω＝π时，函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2，
当函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2时，ω＝π或ω＝－π.
所以“ω＝π”是“函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件，C正确.
答案
16.(多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”.经历三百多年，由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，则下列命题正确的为
A.至少存在一组正整数组(x，y，z)是关于x，y，z的方程x3＋y3＝z3的解
B.关于x，y的方程x3＋y3＝1有正有理数解
C.关于x，y的方程x3＋y3＝1没有正有理数解
D.当整数n>3时，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn有正实数解
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答案
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当正整数n>2时，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解，故方程x3＋y3＝z3没有正整数解，A错误；
x3＋y3＝z3没有正整数解，即＝1(z≠0)没有正有理数解，B错误，C正确；
方程xn＋yn＝zn，当x＝y＝1，z＝时满足条件，故有正实数解，D正确.
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答案

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