资源简介

§1.4　基本不等式
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是(　　)
A.9 B.18 C.9 D.27
2.若x>0，则函数y=的最小值为(　　)
A.6 B.7 C.10 D.11
3.(2024·亳州模拟)已知x>0，y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为(　　)
A.8 B.4 C.8 D.4
4.(2025·连云港模拟)设a>0，b>-1，且a+b=1，则+的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
5.(2024·漯河模拟)设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则的最大值为(　　)
A.4 B.2 C.3 D.1
6.已知x>2，且x-y-2=0，则++的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.9
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.若m>0，n>0，且m+2n=1，则下列结论正确的是(　　)
A.mn≤ B.+≥
C.+≥9 D.m2+4n2≤
8.下列说法正确的是(　　)
A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4
B.函数y=的最小值是2
C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6
D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·南京模拟)已知x>则x+的最小值为　　　　　　.
10.已知5x2y2+y4=1(x，y∈R)，则x2+y2的最小值是　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求：
(1)xy的最大值；(6分)
(2)2x+y的最小值.(7分)
12.(15分)已知下列求最小值的方法：
求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值.
解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，即当且仅当x=1时，x3-3x取到最小值-2.
(1)请模仿上述例题，求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a+b+c+d≥4当且仅当a=b=c=d时等号成立)(4分)
(2)求x3-x，x∈[0，+∞)的最小值；(5分)
(3)求出当a>0时，x3-ax，x∈[0，+∞)的最小值.(6分)
每小题5分，共10分
13.正数a，b满足a>b，ab=4，则的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
14.若x1，x2，…，x2 026均为正实数，则x1++++…++的最小值为　　　　　　. 　
答案精析
1.B
2.D　[∵x>0，
∴y==x++1
≥2+1=11，
当且仅当x=，即x=5时，等号成立，
∴函数y=的最小值为11.]
3.A　[方法一　由x>0，y>0，
2x+y=xy，
可得y=>0，则x>1，
则2x+y=2x+=
=
=2(x-1)++4
≥2+4=8，
当且仅当2(x-1)=，
即x=2时，等号成立，
所以2x+y的最小值为8.
方法二　由x>0，y>0，2x+y=xy，得+=1，
所以2x+y=(2x+y)
=++4
≥2+4=8，
当且仅当=，2x+y=xy，
即x=2，y=4时，等号成立，
所以2x+y的最小值为8.]
4.B　[因为a>0，b>-1，则b+1>0，因为a+b=1，则a+(b+1)=2，
所以+
=[a+(b+1)]
=
≥=2，
当且仅当
即时，等号成立，
因此+的最小值为2.]
5.D　[因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy，
所以==
≤=1，
当且仅当=(x>0，y>0)，
即x=y时，等号成立，
故的最大值为1.]
6.D　[由题意得x=y+2>2，所以y>0，
所以+=+=++1
≥2+1=3(当且仅当y=2时取等号)，
所以+的最小值为3.
又因为++=，
所以++的最小值是9.]
7.AC　[对于A，若m>0，n>0，且m+2n=1，则有mn=·m·2n
≤=，
当且仅当m=，n=时等号成立，故A正确；
对于B，=1+2，
由A可得mn≤，故1+2≤2，
所以+≤，故B不正确；
对于C，+=(m+2n)=5++≥5+2=9，
当且仅当m=n=时等号成立，故C正确；
对于D，≥=，即m2+4n2≥，当且仅当m=，n=时等号成立，故D不正确.]
8.ACD　[A选项，对于函数y=2x+(x<0)，
2x+=-
≤-2=-4，
当且仅当-2x=，即x=-1时等号成立，所以A选项正确；
B选项，y==+≥2=2，
当=时，无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误；
C选项，对于函数y=x+(x>-2)，x+2>0，
x+=x+2+-2
≥2-2=6，
当且仅当x+2=，即x=2时等号成立，所以C选项正确；
D选项，由基本不等式得≥，所以x2+y2≥2·=2×22=8，
当且仅当x=y=2时等号成立，所以D选项正确.]
9.
解析　由于x>，所以2x-1>0，
所以x+=++
≥2+=，
当且仅当=，即x=时等号成立，所以x+的最小值为.
10.
解析　方法一　∵5x2y2+y4=1，
∴y≠0且x2=，
∴x2+y2=+y2=+
≥2=，
当且仅当=，
即x2=，y2=时取等号，
∴x2+y2的最小值为.
方法二　由5x2y2+y4=1，
可得y2(5x2+y2)=1，
即4y2(5x2+y2)=4，
又4=4y2(5x2+y2)
≤
=(x2+y2)2，
∴≥，即x2+y2≥，
当且仅当5x2+y2=4y2=2，
即x2=，y2=时取等号，
∴x2+y2的最小值是.
11.解　(1)因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号)，
令=t(t>0)，
则t2+2t-30≤0，
解得-5≤t≤3，又t>0，
所以0所以0(2)由x+2y+xy=30可知，y=>0，0≥2-5=11，
当且仅当2(x+2)=，
即x=2时取等号，
所以2x+y的最小值为11.
12.解　(1)因为x∈[0，+∞)，
利用a+b+c+d≥4，
当且仅当a=b=c=d时等号成立，
得到x4+1+1+1≥4x，
所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3，
当且仅当x=1时等号成立，
即x4-4x的最小值为-3.
(2)因为x∈[0，+∞)，利用a+b+c≥3，
当且仅当a=b=c时等号成立，
得到x3++≥x，
所以x3-x=x3++--x≥x--x=-，
当且仅当x=1时等号成立，
即x3-x的最小值为-.
(3)因为x∈[0，+∞)，且a>0，
利用a+b+c≥3，
当且仅当a=b=c时等号成立，
得到x3++≥ax，
所以x3-ax=x3++--ax
≥ax--ax=-，
当且仅当x==时等号成立，
即x3-ax的最小值为-.
13.C　[由题意得a>0，b>0，a-b>0，则=
==a-b+
≥2=4，
当且仅当a-b=2且ab=4，即a=+1，b=-1时，等号成立.]
14.4
解析　原式=++…++++x1
≥2++…++++x1=++…++++x1
≥2+…++++x1
=+…++++x1
≥…≥+x1≥2=4，
当且仅当=xi(i=1，2，3，…，2 026，xi>0)，
即x1=x2=…=x2 026=2时，等号成立，
故x1++++…++的最小值为4.§1.4　基本不等式
课标要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当　　　　　时，等号成立.
(3)其中　　　　　叫做正数a，b的算术平均数，　　　　　叫做正数a，b的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值　　　　.
(2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值　　　　　.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=x+的最小值是2.(　　)
(2)y=x(2-x)的最大值是1.(　　)
(3)若x>0，y>0且x+y=xy，则xy的最小值为4.(　　)
(4)函数y=sin x+，x∈的最小值为4.(　　)
2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值，则a等于(　　)
A.1+ B.1+
C.3 D.4
3.(多选)下列命题正确的是(　　)
A.若x<0，则x+≤-2
B.若x>0，则x-≤-2
C.若x∈R且x≠0，则≥2
D.x2+≥1
4.已知x，y∈(0，+∞)，若2x+3y=1，则+的最小值为　　　　　　.
1.灵活应用两个基本不等式的变形公式
(1)+≥2(a，b同号，当且仅当a=b时，等号成立)；
(2)≤≤≤(a>0，b>0，当且仅当a=b时，等号成立).
2.谨防两个易误点
(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误.
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.
题型一　基本不等式的理解及常见变形
例1　(1)(多选)下列说法不正确的是(　　)
A.x+的最小值是4
B.不等式ab≤与≤成立的条件是相同的
C.+的最小值为2
D.存在a，使得a+<2成立
(2)若0A.b>>a> B.b>>>a
C.b>>>a D.b>a>>
思维升华　基本不等式的常见变形
(1)ab≤≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0).
跟踪训练1　(1)已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　)
A.4ab≤(a+b)2 B.≤
C.≤ D.ab≤
题型二　基本不等式的性质
命题点1　直接法
例2　(1)若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
(2)当0命题点2　配凑法
例3　(1)函数f(x)=4x+，x∈(-1，+∞)的最小值为(　　)
A.6 B.8 C.10 D.12
(2)(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且+=1，则a+b的最小值为　　　　.
与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
如图，对于函数f(x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b] (0，＋∞).
(1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()＝＝2；
(2)当(3)当>b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋.
因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当 [a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值.
典例　函数f(x)＝x2＋的最小值是　　　.
命题点3　常数代换法
例4　(多选)已知a，b为正实数，且a>1，b>1，(a-1)(b-1)=1，则下列结论正确的是(　　)
A.+=1
B.ab的最大值为4
C.2a+b的最小值为3+2
D.+的最小值为2
命题点4　消元法
例5　已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是(　　)
A. B.
C.2 D.3
命题点5　构造不等式法
例6　(多选)(2024·郑州模拟)已知正数a，b满足a2+b2=1+ab，则下列结论正确的是(　　)
A.a2+b2的最小值为2
B.a+b的最大值为2
C.+的最小值为2
D.lg a+lg b<0
思维升华　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法.
跟踪训练2　(1)(多选)(2024·威海模拟)已知a>0，b>0，a+b=1，则下列结论正确的是(　　)
A.ab的最大值为
B.+的最小值为9
C.a2+b2的最小值为
D.+的最小值为6
(2)(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab=a+b+8，则下列结论正确的是(　　)
A.a+b≤8 B.ab≥16
C.a+3b≥4+6 D.+≥
答案精析
落实主干知识
1.(2)a=b　(3)　
2.(1)2　(2)S2
自主诊断
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.C　3.ACD　4.5+2
探究核心题型
例1　(1)ABC　[对于A，当x>0时，x+≥2=4(当且仅当x=2时取等号)，
当x<0时，x+=-≤-2=-4(当且仅当x=-2时取等号)，故A错误；
对于B，ab≤恒成立，而≤成立的条件为a>0，b>0，故B错误；
对于C，y=+≥2，等号成立的条件是=，即x2+2=1，显然不能取到，故C错误；
对于D，存在a=-1，使得a+<2成立，故D正确.]
(2)C　[∵0a+b，
∴b>>.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.
故b>>>a.]
跟踪训练1　(1)A
(2)ABD　[A选项，4ab-(a+b)2=-(a-b)2≤0，即4ab≤(a+b)2，故A选项正确；
B选项，当a+b>0时，>0，
则-
==≤0恒成立，即≤恒成立，当a+b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项，当a+b>0时，2ab-=≤0，即2ab≤≤恒成立，当a+b<0时，2ab-=≤0，即2ab≤≥，故C选项错误；
D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确.]
例2　(1)D　[方法一　由xy=1得x2+2y2≥2=2，
当且仅当x2=2y2，
即x2=，y2=时，等号成立，
x2+2y2的最小值为2.
方法二　x2+2y2==+≥2，当且仅当x2=2y2，即x2=，y2=时，等号成立，x2+2y2的最小值为2.]
(2)
解析　由题意及基本不等式可知
3x(3-3x)≤=，当且仅当x=1-x，即x=时取等号.
例3　(1)B　[因为x∈(-1，+∞)，
则x+1>0，
则f(x)=4x+
=4(x+1)+-4
≥2-4=12-4=8，
当且仅当
即x=时，等号成立，
故函数f(x)=4x+，x∈(-1，+∞)的最小值为8.]
(2)2+1
解析　由a>0，b>0，+=1，
得a+b=(a+1)+(b+1)-2
=[(a+1)+(b+1)]-2
=++1
≥2+1
=2+1，
当且仅当=，即a=，b=+1时取等号，所以a+b的最小值为2+1.
微拓展
典例　
解析　由f(x)=x2+
=x2+2+-2，
令x2+2=t(t≥2)，
则有f(t)=t+-2，
由对勾函数的性质知，f(t)在[2，+∞)上单调递增，
所以当t=2时，f(t)min=，
即当x=0时，f(x)min=.
例4　ACD　[因为a>1，b>1，所以a-1>0，b-1>0.
对于A，因为(a-1)(b-1)=1，所以ab=a+b，得+=1，A正确；
对于B，由ab=a+b，得ab=a+b≥2(当且仅当a=b=2时取等号)，所以≥2，ab≥4，
所以ab的最小值为4，B错误；
对于C，2a+b=(2a+b)=3++≥3+2(当且仅当a=1+，b=1+时取等号)，C正确；
对于D，因为(a-1)(b-1)=1，所以+≥2=2(当且仅当a=b=2时取等号)，D正确.]
例5　B　[因为实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，所以x=，
则2x+y=+y=+
≥2=，
当且仅当=，即y=时，等号成立，
所以2x+y的最小值是.]
例6　BC　[对于A，a2+b2=1+ab≤1+，当且仅当a=b时等号成立，则a2+b2≤2，故A不正确；
对于B，由ab≤≤≤1，当且仅当a=b时等号成立，得≤1，即a+b≤2，故B正确；
对于C，由+===+=-，因为0当=1时，+取得最小值为2，故C正确；
对于D，因为0跟踪训练2　(1)BCD　[对于A，1=a+b≥2 ab≤，当且仅当a=b=时取等号，故A错误；
对于B，+=(a+b)=5++≥5+2=9，
当且仅当即a=，b=时取等号，故B正确；
对于C，a2+b2≥=，当且仅当a=b=时取等号，故C正确；
对于D，+=+=2++≥2+2=6，当且仅当即b=，a=时取等号，故D正确.]
(2)BCD　[对于选项A，由a+b+8=ab≤，当且仅当a=b时等号成立，不妨设a+b=t，
则t2-4t-32≥0，
解得t≥8或t≤-4，
因为a>0，b>0，则a+b≥8，故A项错误；
对于选项B，由ab-8=a+b≥2，
当且仅当a=b时等号成立，
不妨设=s，则s2-2s-8≥0，
解得s≥4或s≤-2，
因为s>0，则s≥4，
即ab≥16，故B项正确；
对于选项C，由ab=a+b+8可得a(b-1)=b+8，
则b-1>0，且a=，
则a+3b=+3b=1++3b=4++3(b-1)≥4+2
=4+6，
当且仅当=3(b-1)，即b=+1，a=3+1时取等号，a+3b有最小值4+6，故C项正确；
对于选项D，由ab=a+b+8可得ab-a-b+1=9，即(a-1)(b-1)=9，且a-1>0，b-1>0，
则+≥2=，当且仅当=时等号成立，
由解得
即当且仅当a=，b=7时，+有最小值，故D项正确.](共91张PPT)
第一章
§1.4　基本不等式
数学
大
一
轮
复
习
1.了解基本不等式的推导过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立.
(3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.
a＝b
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 .
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最
大值 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
2
S2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)y＝x(2－x)的最大值是1.(　　)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　　)
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　　)
√
×
√
×
2.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于
A.1＋ B.1＋
C.3 D.4
√
当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3.
3.(多选)下列命题正确的是
A.若x<0，则x＋≤－2
B.若x>0，则x－≤－2
C.若x∈R且x≠0，则≥2
D.x2＋≥1
√
√
√
当x<0时有－x>0，
则x＋＝－≤－2＝－2，
当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立，A选项正确；
当x>0时，y＝x－单调递增，其值域为R，B选项错误；
若x∈R且x≠0，则＝|x|＋≥2＝2，
当且仅当|x|＝，即x＝－1或x＝1时等号成立，C选项正确；
x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝1，
当且仅当x2＋1＝，即x＝0时等号成立，D选项正确.
4.已知x，y∈(0，＋∞)，若2x＋3y＝1，则的最小值为　　　　　.
(2x＋3y)＝5＋≥5＋2，当且仅当，即x＝，y＝时等号成立.
5＋2
1.灵活应用两个基本不等式的变形公式
(1)≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)；
(2)≤≤≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立).
2.谨防两个易误点
(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误.
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列说法不正确的是
A.x＋的最小值是4
B.不等式ab≤与≤成立的条件是相同的
C.的最小值为2
D.存在a，使得a＋<2成立
√
基本不等式的理解及常见变形
题型一
√
√
对于A，当x>0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，
当x<0时，x＋＝－≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故A错误；
对于B，ab≤恒成立，而≤成立的条件为a>0，b>0，故B错误；
对于C，y＝≥2，等号成立的条件是，即x2＋2＝1，显然不能取到，故C错误；
对于D，存在a＝－1，使得a＋<2成立，故D正确.
(2)若0A.b>>a> B.b>>>a
C.b>>>a D.b>a>>
√
∵0a＋b，
∴b>>.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.
故b>>>a.
基本不等式的常见变形
(1)ab≤≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0).
思维升华
跟踪训练1　(1)已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，
∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，
∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴>，∴由p可推出q；
当a<0，b<0时，q也成立，
如a＝－1，b＝－3时，＝5>＝4，
∴由q推不出p，
∴p是q成立的充分不必要条件.
(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.4ab≤(a＋b)2 B.≤
C.≤ D.ab≤
√
√
√
A选项，4ab－(a＋b)2＝－(a－b)2≤0，即4ab≤(a＋b)2，故A选项正确；
B选项，当a＋b>0时，>0，则≤0恒成立，即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项，当a＋b>0时，2ab－≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b<0时，2ab－≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误；
D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确.
命题点1　直接法
例2　(1)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为
A.1 B. C.2 D.2
基本不等式的性质
题型二
√
方法一　由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2，
当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2.
方法二　x2＋2y2＝≥2，当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2.
(2)当0由题意及基本不等式可知
3x(3－3x)≤，
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号.
命题点2　配凑法
例3　(1)函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为
A.6 B.8 C.10 D.12
√
因为x∈(－1，＋∞)，则x＋1>0，
则f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝12－4＝8，
当且仅当即x＝时，等号成立，
故函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为8.
(2)(2025·咸阳模拟)已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　 　.
2＋1
由a>0，b>0，＝1，
得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2
＝[(a＋1)＋(b＋1)]－2
＝＋1≥2＋1
＝2＋1，
当且仅当，即a＝，b＝＋1时取等号，所以a＋b的最小值为2＋1.
如图，对于函数f(x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b] (0，＋∞).
(1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()
＝＝2；
(2)当f(x)min＝f(a)＝a＋；
(3)当>b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋.
因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当 [a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值.
与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
微拓展
典例　函数f(x)＝x2＋的最小值是　　　.
由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2，
由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝，
即当x＝0时，f(x)min＝.
例4　(多选)已知a，b为正实数，且a>1，b>1，(a－1)(b－1)＝1，则下列结论正确的是
A.＝1
B.ab的最大值为4
C.2a＋b的最小值为3＋2
D.的最小值为2
命题点3　常数代换法
√
√
√
因为a>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0.
对于A，因为(a－1)(b－1)＝1，所以ab＝a＋b，得＝1，A正确；
对于B，由ab＝a＋b，得ab＝a＋b≥2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以≥2，ab≥4，
所以ab的最小值为4，B错误；
对于C，2a＋b＝(2a＋b)＝3＋≥3＋2，C正确；
对于D，因为(a－1)(b－1)＝1，所以≥2＝2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，D正确.
命题点4　消元法
例5　已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是
A. B. C.2 D.3
√
因为实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，
所以x＝，
则2x＋y＝＋y＝≥2，
当且仅当，即y＝时，等号成立，
所以2x＋y的最小值是.
命题点5　构造不等式法
例6　(多选)(2024·郑州模拟)已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是
A.a2＋b2的最小值为2
B.a＋b的最大值为2
C.的最小值为2
D.lg a＋lg b<0
√
√
对于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋，当且仅当a＝b时等号成立，则a2＋b2≤2，故A不正确；
对于B，由ab≤≤≤1，当且仅当a＝b时等号成立，得≤1，即a＋b≤2，故B正确；
对于C，由，因为0当＝1时，取得最小值为2，故C正确；
对于D，因为0(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有五种方法：一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法.
思维升华
跟踪训练2　(1)(多选)(2024·威海模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是
A.ab的最大值为
B.的最小值为9
C.a2＋b2的最小值为
D.的最小值为6
√
√
√
对于A，1＝a＋b≥2 ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故A错误；
对于B，(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当即a＝，b＝时取等号，故B正确；
对于C，a2＋b2≥，
当且仅当a＝b＝时取等号，故C正确；
对于D，＝2＋≥2＋2＝6，当且仅当即b＝，a＝时取等号，故D正确.
(2)(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是
A.a＋b≤8 B.ab≥16
C.a＋3b≥4＋6 D.≥
√
√
√
对于选项A，由a＋b＋8＝ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，不妨设a＋b＝t，
则t2－4t－32≥0，
解得t≥8或t≤－4，
因为a>0，b>0，则a＋b≥8，故A项错误；
对于选项B，由ab－8＝a＋b≥2，
当且仅当a＝b时等号成立，
不妨设＝s，则s2－2s－8≥0，
解得s≥4或s≤－2，
因为s>0，则s≥4，
即ab≥16，故B项正确；
对于选项C，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，则b－1>0，且a＝，
则a＋3b＝＋3b＝1＋＋3b＝4＋＋3(b－1)≥4＋2＝4＋6，
当且仅当＝3(b－1)，即b＝＋1，a＝3＋1时取等号，a＋3b有最小值4＋6，故C项正确；
对于选项D，由ab＝a＋b＋8可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1>0，b－1>0，
则≥2，当且仅当时等号成立，
由解得
即当且仅当a＝，b＝7时，有最小值，故D项正确.
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课时精练
对一对
答案
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13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A B D D AC ACD
题号 9 10 13 　14
答案 C 　4
(1)因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号)，
令=t(t>0)，
则t2+2t-30≤0，
解得-5≤t≤3，又t>0，
所以0所以011.
答案
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14
(2)由x+2y+xy=30可知，y=>0，0≥2-5=11，
当且仅当2(x+2)=，
即x=2时取等号，
所以2x+y的最小值为11.
11.
答案
1
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14
(1)因为x∈[0，+∞)，
利用a+b+c+d≥4，
当且仅当a=b=c=d时等号成立，
得到x4+1+1+1≥4x，
所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3，
当且仅当x=1时等号成立，
即x4-4x的最小值为-3.
12.
答案
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(2)因为x∈[0，+∞)，利用a+b+c≥3，
当且仅当a=b=c时等号成立，
得到x3++≥x，
所以x3-x=x3++--x≥x--x=-，
当且仅当x=1时等号成立，
即x3-x的最小值为-.
12.
答案
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14
(3)因为x∈[0，+∞)，且a>0，利用a+b+c≥3，
当且仅当a=b=c时等号成立，得到x3++≥ax，
所以x3-ax=x3++--ax≥ax--ax=-，
当且仅当x==时等号成立，
即x3-ax的最小值为-.
12.
答案
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14
一、单项选择题
1.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是
A.9 B.18 C.9 D.27
√
知识过关
因为m>0，n>0，
由基本不等式m＋n≥2得，
m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，
所以m＋n的最小值是18.
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答案
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14
答案
2.若x>0，则函数y＝的最小值为
A.6 B.7 C.10 D.11
√
∵x>0，∴y＝＝x＋＋1≥2＋1＝11，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，
∴函数y＝的最小值为11.
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答案
3.(2024·亳州模拟)已知x>0，y>0，2x＋y＝xy，则2x＋y的最小值为
A.8 B.4 C.8 D.4
√
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14
方法一　由x>0，y>0，2x＋y＝xy，
可得y＝>0，则x>1，
则2x＋y＝2x＋＝＝2(x－1)＋＋4
≥2＋4＝8，
当且仅当2(x－1)＝，即x＝2时，等号成立，
所以2x＋y的最小值为8.
答案
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方法二　由x>0，y>0，2x＋y＝xy，得＝1，
所以2x＋y＝(2x＋y)＋4≥2＋4＝8，
当且仅当，2x＋y＝xy，
即x＝2，y＝4时，等号成立，
所以2x＋y的最小值为8.
答案
4.(2025·连云港模拟)设a>0，b>－1，且a＋b＝1，则的最小值为
A.1 B.2 C.4 D.8
√
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答案
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11
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13
14
因为a>0，b>－1，则b＋1>0，因为a＋b＝1，则a＋(b＋1)＝2，
所以[a＋(b＋1)]
＝≥＝2，
当且仅当即时，等号成立，
因此的最小值为2.
答案
5.(2024·漯河模拟)设正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则的最大
值为
A.4 B.2 C.3 D.1
√
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答案
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12
13
14
因为正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则z＝x2＋y2－xy，
所以≤＝1，
当且仅当(x>0，y>0)，即x＝y时，等号成立，故的最大值为1.
答案
6.已知x>2，且x－y－2＝0，则的最小值是
A.2 B.3 C.4 D.9
√
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答案
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14
由题意得x＝y＋2>2，所以y>0，
所以＋1≥2＋1＝3(当且仅当y＝2时取等号)，
所以的最小值为3.
又因为，
所以的最小值是9.
答案
二、多项选择题
7.若m>0，n>0，且m＋2n＝1，则下列结论正确的是
A.mn≤ B.≥
C.≥9 D.m2＋4n2≤
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√
答案
√
对于A，若m>0，n>0，且m＋2n＝1，则有mn＝·m·2n≤，
当且仅当m＝，n＝时等号成立，故A正确；
对于B，＝1＋2，
由A可得mn≤，故1＋2≤2，
所以≤，故B不正确；
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答案
对于C，(m＋2n)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当m＝n＝时等号成立，故C正确；
对于D，≥，即m2＋4n2≥，当且仅当m＝，n＝时等号成立，故D不正确.
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答案
8.下列说法正确的是
A.函数y＝2x＋(x<0)的最大值是－4
B.函数y＝的最小值是2
C.函数y＝x＋(x>－2)的最小值是6
D.若x＋y＝4，则x2＋y2的最小值是8
√
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答案
√
√
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A选项，对于函数y＝2x＋(x<0)，
2x＋＝－≤－2＝－4，
当且仅当－2x＝，即x＝－1时等号成立，所以A选项正确；
B选项，y＝≥2＝2，
当时，无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误；
答案
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C选项，对于函数y＝x＋(x>－2)，x＋2>0，
x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，
当且仅当x＋2＝，即x＝2时等号成立，所以C选项正确；
D选项，由基本不等式得≥，
所以x2＋y2≥2·＝2×22＝8，
当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以D选项正确.
答案
三、填空题
9.(2025·南京模拟)已知x>，则x＋的最小值为　　　　.
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14
答案
由于x>，所以2x－1>0，
所以x＋≥2，
当且仅当，即x＝时等号成立，所以x＋的最小值为.
10.已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是　　　　.
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方法一　∵5x2y2＋y4＝1，
∴y≠0且x2＝，
∴x2＋y2＝＋y2＝≥2，
当且仅当，即x2＝，y2＝时取等号，
∴x2＋y2的最小值为.
答案
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方法二　由5x2y2＋y4＝1，
可得y2(5x2＋y2)＝1，即4y2(5x2＋y2)＝4，
又4＝4y2(5x2＋y2)≤＝(x2＋y2)2，
∴≥，即x2＋y2≥，
当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，∴x2＋y2的最小值是.
答案
四、解答题
11.已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：
(1)xy的最大值；
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答案
因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，
令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0，
解得－5≤t≤3，又t>0，
所以0所以0(2)2x＋y的最小值.
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答案
由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0，0当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号，
所以2x＋y的最小值为11.
12.已知下列求最小值的方法：
求x3－3x，x∈[0，＋∞)的最小值.
解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a＋b＋c≥3
(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，得到x3＋1＋1≥3x，于是x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3x－3x－2＝－2，当且仅当x＝1时等号成立，即当且仅当x＝1时，x3－3x取到最小值－2.
(1)请模仿上述例题，求x4－4x，x∈[0，＋∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a＋b＋c＋d≥4，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立)
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答案
因为x∈[0，＋∞)，
利用a＋b＋c＋d≥4，
当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立，
得到x4＋1＋1＋1≥4x，
所以x4－4x＝x4＋1＋1＋1－4x－3≥4x－4x－3＝－3，
当且仅当x＝1时等号成立，
即x4－4x的最小值为－3.
(2)求x3－x，x∈[0，＋∞)的最小值；
因为x∈[0，＋∞)，利用a＋b＋c≥3，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，
得到x3＋≥x，
所以x3－x＝x3＋－x≥x－－x＝－，
当且仅当x＝1时等号成立，
即x3－x的最小值为－.
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答案
(3)求出当a>0时，x3－ax，x∈[0，＋∞)的最小值.
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答案
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14
答案
因为x∈[0，＋∞)，且a>0，
利用a＋b＋c≥3，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，
得到x3＋≥ax，
所以x3－ax＝x3＋－ax≥ax－－ax＝－，
当且仅当x＝时等号成立，
即x3－ax的最小值为－.
13.正数a，b满足a>b，ab＝4，则的最小值为
A.2 B.3 C.4 D.6
1
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答案
√
由题意得a>0，b>0，a－b>0，则＝a－b＋≥2＝4，
当且仅当a－b＝2且ab＝4，即a＝＋1，b＝－1时，等号成立.
能力拓展
14.若x1，x2，…，x2 026均为正实数，则x1＋＋…＋的最小值为　　　.
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答案
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答案
原式＝＋…＋＋x1
≥2＋…＋＋x1
＝＋…＋＋x1
≥2＋…＋＋x1
＝＋…＋＋x1≥…≥＋x1≥2＝4，
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答案
当且仅当＝xi(i＝1，2，3，…，2 026，xi>0)，
即x1＝x2＝…＝x2 026＝2时，等号成立，
故x1＋＋…＋的最小值为4.
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