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§1.5　基本不等式的综合应用
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知a>0，b>1，ab-a=1，则a+b的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
2.已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12 C.9 D.4
3.已知实数x，y>0+=2，且x+y≥m恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.(-∞，9]
C. D.[9，+∞)
4.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.a< B.0≤a≤
C.a> D.a>
5.(2024·宿州模拟)定义：对于数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m).已知正整数t满足t≡11(mod 6)，将符合条件的所有t的值按从小到大的顺序排列，构成数列{an}.设数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为(　　)
A.12 B.14 C.16 D.18
6.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABC的周长为12，c=4，则此三角形面积最大时，A等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x+y=1，若≤x+2y恒成立，则实数m的可能取值为(　　)
A. B. C.3 D.
8.若a>1，b>1，且ab=e2，则(　　)
A.2e≤a+bB.0C.2-1≤ln a+logab<2
D.aln b的最大值为e
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·南京模拟)若正实数x，y满足x+y=2，且≥M恒成立，则M的最大值为　　　　.
10.已知函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)，其中a>b，则的最小值为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=x+(x>1).
(1)求f(x)的最小值；(6分)
(2)若a2+6a≤f(x)恒成立，求a的取值范围.(7分)
12.(15分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)；(7分)
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？(8分)
每小题5分，共10分
13.(2025·德阳模拟)设双曲线-=1(a>0)的离心率为e，则当e2+a2取最小值时，e等于(　　)
A. B.2 C. D.3
14.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)=2 026x-2 026-x，若m>0，n>1，且f +f =f(sin 2 026π)，则+的最小值为　　　　　　.
答案精析
1.C
2.C　[因为|MF1|+|MF2|=6，
所以|MF1|·|MF2|
≤==9，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立，
所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.]
3.A　[由+=2，可得+=1，
又因为x，y>0，
则x+y=(x+y)·
=+2++
≥+2=，
当且仅当=，
即y=2x=3时取等号，
所以(x+y)min=，
由x+y≥m恒成立，
可得m≤(x+y)min=，
即实数m的取值范围为.]
4.A　[当x∈(0，2]时，由ax2-2x+3a<0，
可得a(x2+3)<2x，
由题意得a<，
因为=≤=，当且仅当x=(x>0)，
即x=时，等号成立，
所以当x∈(0，2]时，的最大值为，故a<.]
5.C　[由题意可知an=6n-1，n∈N*，
则数列{an}是等差数列，
所以Sn==3n2+2n，
可得=
=6+4
≥12+4=16，
当且仅当n=1时，取得最小值16.]
6.C　[由题可知a+b=8，c=4，p=6，
则S==
≤×=4，
当且仅当a=b=4时取等号，
所以此时三角形为等边三角形，
故A=60°.]
7.ABC　[由x>0，y>0，得xy>0，
≤x+2y恒成立，
即≤=+恒成立，
又+=(2x+y)=5++≥5+2=9，
当且仅当x=y=时，等号成立，
故≤9，即-9=≤0，
即
解得m<1或m≥.]
8.ABD　[由a>1，b=>1，
得1因为函数f(a)=a+b=a+在(1，e)上单调递减，在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a+b因为ab=e2，所以有ln a+ln b=2，于是0ln a+logab=ln a+=ln a+=ln a+-1，
设t=ln a∈(0，2)，所以φ(t)=t+-1在(0，)上单调递减，在[，2)上单调递增，
所以φ(t)=t+-1∈[2-1，+∞)，故C错误；
设λ=aln b，所以ln λ=ln aln b=ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确.]
9.1
解析　∵正实数x，y满足x+y=2，
∴xy≤==1，∴≥1，
又≥M恒成立，
∴M≤1，即M的最大值为1.
10.2
解析　函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)，
令ax2+2x+b=0，
则有
即ab=1，且a>0，
所以=
=(a-b)+，
又a>b，所以a-b>0，
则(a-b)+
≥2=2，
当且仅当a-b=，且ab=1，
即a=，b=时等号成立，
即的最小值为2.
11.解　(1)f(x)=x+
=x-1++1，
因为x>1，所以x-1>0，
所以x-1++1
≥2+1=7，
当且仅当x-1=，即x=4时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
(2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2+6a≤f(x)恒成立，
所以a2+6a≤7，解得-7≤a≤1，
所以a的取值范围是[-7，1].
12.解　(1)由题意可得W(x)=
所以W(x)=
(2)当0W(x)=-2x2+140x-400，
当x=35时，W(x)取最大值，
W(35)=2 050(万元)；
当40W(x)=-x-+1 700
=-+1 700
≤-2+1 700=1 580，
当且仅当x=60时，等号成立，
因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，所获年利润最大，最大年利润为2 050万元.
13.C　[双曲线-=1(a>0)的离心率为e=，
e2+a2=+a2=2++a2
≥2+2=4，
当且仅当=a2，即a=1时取等号，
此时e==.]
14.2
解析　因为f(x)=2 026x-2 026-x，
所以f(-x)=2 026-x-2 026x
=-(2 026x-2 026-x)=-f(x)，
所以f(x)是奇函数，f(0)=0，
若m>0，n>1，
则f +f
=f(sin 2 026π)=f(0)=0，
所以f =-f
=f，
又f(x)在R上单调递增，
所以-2=-，
即+=2，n+2m=2mn，
则2m=，
所以+
=
=3n+2m-4=3n+-4
=3(n-1)+
≥2=2，
当且仅当3(n-1)=，
即n=1+时，等号成立，
所以+的最小值为2.§1.5　基本不等式的综合应用
课标要求　1.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用.3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
题型一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题
例1　(1)若不等式+≥恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.9
(2)若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+A.{m|-1B.{m|m<-4或m>1}
C.{m|-4D.{m|m<-1或m>4}
思维升华　 x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
跟踪训练1　(1)已知a>0，若关于x的不等式x+≥3在x∈(-1，+∞)上恒成立，则a的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
(2)已知正数x，y满足(x-1)(y-2)=2，不等式3x+2y>m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞，4+6) B.(6+4，+∞)
C.(-∞，7+4) D.(8+4，+∞)
题型二　基本不等式的实际应用
例2　随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)=0.002v2-0.04v+5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).
(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；
(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量=充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).
思维升华　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
跟踪训练2　某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(00)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为(　　)
A.12 B.14 C.22 D.60
题型三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例3　(1)设a>0，b>0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则+的最小值为(　　)
A.6 B.8 C.9 D.12
(2)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离的最大值为(　　)
A. B. C. D.
思维升华　基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
跟踪训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则sin B的取值范围是　　　　　　.
柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
(2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
(3)(a＋b)(c＋d)≥(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
3.一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(＋…＋)(＋…＋)≥(a1b1＋a2b2＋…＋
anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.
4.二维形式的柯西不等式的向量形式
|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立).
典例　(1)实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是(　　)
(2)设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为　　　　　　.
权方和不等式
1.二维形式：已知x，y，a，b均为正数，则有≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立).
2.一般形式：设ai，bi均为正数(i＝1，2，…，n)，实数m>0，则≥，当且仅当＝…＝时等号成立，称之为权方和不等式.m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
典例　(1)若x>0，y>0，＝2，则6x＋5y的最小值为　　　　　　.
(2)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则的最小值为　　　　　　.
答案精析
例1　(1)D　[由题意+≥m恒成立，
即5++≥m恒成立.
又5++≥5+2=9，当且仅当a=b时取等号.
故实数m的最大值为9.]
(2)D　[∵不等式x+∴∵x>0，y>0，+=1，
∴x+=
=++2
≥2+2=4，
当且仅当=，
即x=2，y=8时等号成立，
∴m2-3m>4，
∴(m+1)(m-4)>0，
∴m<-1或m>4，
∴实数m的取值范围是{m|m<-1或m>4}.]
跟踪训练1　(1)C　[因为x>-1，x+1>0，
所以x+=x+1+-1
≥2-1=2-1，
当且仅当x+1=，即x=-1时取等号，
所以x+有最小值2-1，
因为不等式x+≥3在x∈(-1，+∞)上恒成立，所以2-1≥3，
解得a≥4，所以a的最小值为4.]
(2)C　[因为(x-1)(y-2)=2，x>0，y>0，
所以xy=2x+y，即+=1，
所以由基本不等式可得
3x+2y=(3x+2y)
=7++
≥7+2=7+4，
当且仅当
即时等号成立，
综上所述，3x+2y的最小值为7+4.
因为不等式3x+2y>m恒成立，所以实数m的取值范围是(-∞，7+4).]
例2　解　(1)设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)=P(v)·=v+-20(60≤v≤120)，
易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，
所以f(v)min=f(60)=>75-5，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B地.
(2)设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h.
若能到达B地，则初始电量+充电电量-消耗电量≥保障电量，
即75+15t2-f(v)≥5，
解得t2≥+-6.
所以t=t1+t2≥++-6
=+-6≥2-6
=.
当且仅当=，即v=100时取等号，
所以该汽车到达B地的最少用时为 h.
跟踪训练2　B　[由题意可得
8x≤(180-x)·8·(1+5x%)，
化简可得a≤++8，
因为++8≥2+8=14，
当且仅当=，即x=60时等号成立，
所以a≤14，即a的最大值为14.]
例3　(1)B　[∵ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，
∴2ln =ln 3a+ln 9b，
即ln 3=ln(3a·9b)=ln 3a+2b
=(a+2b)ln 3，
∴a+2b=1，又a>0，b>0，
∴+=(a+2b)=4++≥4+2=8，
当且仅当=，即a=，b=时等号成立.]
(2)D　[方法一　设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得
d==
=，
显然当λ<0时，有最大值，
此时-=，
因为(-λ)+
≥2=2，
当且仅当λ=-1时等号成立，
所以≤=1，
所以dmax=.
方法二　直线l恒过定点(1，-1)，故原点到直线l距离的最大值为.]
跟踪训练3　
解析　因为a，b，c成等差数列，
所以2b=a+c，
所以cos B=
==.
因为a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取等号，所以3(a2+c2)-2ac≥4ac>0，
所以cos B=≥=.
又y=cos x在区间(0，π)上单调递减，
所以0微拓展
典例　(1)A　[∵实数x，y满足3x2+4y2=12，
∴+=1，
∴(16+9)≥，
即-5≤2x+y≤5，
当且仅当3x=8y，
即当时，左边取等号，
当时，右边取等号，
∴z=2x+y的最小值是-5.]
(2)4
解析　∵a=(1，-2)，b=(x，y)，
∴a·b=x-2y.
由柯西不等式的向量形式可得
[12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2，
即5×16≥(x-2y)2，
∴-4≤x-2y≤4， (*)
当且仅当b=ka，
即时，(*)式中右边等号成立，
或时，(*)式中左边等号成立，
∴当x=，y=-时，a·b的最大值为4.
微拓展
典例　(1)+2
解析　+=+=+
≥=，
即2≥，
因为x>0，y>0，
则6x+5y≥+2，
当且仅当=，
即x=，y=时取等号.
(2)
解析　++
≥=，
当且仅当==，
即x=y=z=时取等号.(共75张PPT)
第一章
§1.5　基本不等式
的综合应用
数学
大
一
轮
复
习
1.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.
2.理解基本不等式在实际问题中的应用.
3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
课标要求
例1　(1)若不等式≥恒成立，则实数m的最大值为
A.2 B.3 C.4 D.9
√
与基本不等式有关的恒(能)成立问题
题型一
由题意≥m恒成立，即5＋≥m恒成立.
又5＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时取等号.
故实数m的最大值为9.
(2)若两个正实数x，y满足＝1，且不等式x＋A.{m|－1B.{m|m<－4或m>1}
C.{m|－4D.{m|m<－1或m>4}
√
∵不等式x＋∴0，y>0，＝1，
∴x＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当，即x＝2，y＝8时等号成立，
∴m2－3m>4，∴(m＋1)(m－4)>0，
∴m<－1或m>4，
∴实数m的取值范围是{m|m<－1或m>4}.
x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知a>0，若关于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为
A.1 B.2 C.4 D.8
√
因为x>－1，x＋1>0，
所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝2－1，
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号，
所以x＋有最小值2－1，
因为不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2－1≥3，
解得a≥4，所以a的最小值为4.
(2)已知正数x，y满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是
A.(－∞，4＋6) B.(6＋4，＋∞)
C.(－∞，7＋4) D.(8＋4，＋∞)
√
因为(x－1)(y－2)＝2，x>0，y>0，
所以xy＝2x＋y，即＝1，
所以由基本不等式可得
3x＋2y＝(3x＋2y)＝7＋≥7＋2＝7＋4，
当且仅当
即时等号成立，
综上所述，3x＋2y的最小值为7＋4.
因为不等式3x＋2y>m恒成立，
所以实数m的取值范围是(－∞，7＋4).
例2　随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为
75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).
基本不等式的实际应用
题型二
(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；
设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)＝P(v)·＝v＋－20(60≤v≤120)，
易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，
所以f(v)min＝f(60)＝>75－5，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B地.
(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量＝充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).
设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h.
若能到达B地，则初始电量＋充电电量－消耗电量≥保障电量，
即75＋15t2－f(v)≥5，
解得t2≥－6.
所以t＝t1＋t2≥－6＝－6≥2－6＝.
当且仅当，即v＝100时取等号，
所以该汽车到达B地的最少用时为 h.
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
思维升华
跟踪训练2　某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(00)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为
A.12 B.14 C.22 D.60
√
由题意可得8x≤(180－x)·8·(1＋5x%)，化简可得a≤＋8，
因为＋8≥2＋8＝14，
当且仅当，即x＝60时等号成立，
所以a≤14，即a的最大值为14.
例3　(1)设a>0，b>0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则的最小值为
A.6 B.8 C.9 D.12
√
基本不等式与其他知识交汇的最值问题
题型三
∵ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，
∴2ln ＝ln 3a＋ln 9b，
即ln 3＝ln(3a·9b)＝ln 3a＋2b＝(a＋2b)ln 3，
∴a＋2b＝1，又a>0，b>0，
∴(a＋2b)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当，即a＝，b＝时等号成立.
(2)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距离的最大
值为
A. B. C. D.
√
方法一　设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得
d＝，
显然当λ<0时，有最大值，
此时－，
因为(－λ)＋≥2＝2，当且仅当λ＝－1时等号成立，
所以≤＝1，所以dmax＝.
方法二　直线l恒过定点(1，－1)，故原点到直线l距离的最大值为.
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
思维升华
跟踪训练3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，
c成等差数列，则sin B的取值范围是　　　　　.
因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，
所以cos B＝.
因为a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时取等号，所以3(a2＋c2)－2ac≥4ac>0，
所以cos B＝≥.
又y＝cos x在区间(0，π)上单调递减，
所以01.二维形式的柯西不等式
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
(2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
(3)(a＋b)(c＋d)≥(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
柯西不等式
微拓展
3.一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(＋…＋)(＋…＋)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.
4.二维形式的柯西不等式的向量形式
|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立).
典例　(1)实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是
A.－5 B.－6 C.3 D.4
√
∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
∴＝1，
∴(16＋9)≥，
即－5≤2x＋y≤5，当且仅当3x＝8y，
即当时，左边取等号，当时，右边取等号，
∴z＝2x＋y的最小值是－5.
(2)设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为　　　.
4
∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，
∴a·b＝x－2y.
由柯西不等式的向量形式可得
[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，
即5×16≥(x－2y)2，
∴－4≤x－2y≤4， (*)
当且仅当b＝ka，
即时，(*)式中右边等号成立，
或时，(*)式中左边等号成立，
∴当x＝，y＝－时，a·b的最大值为4.
1.二维形式：已知x，y，a，b均为正数，则有≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立).
2.一般形式：设ai，bi均为正数(i＝1，2，…，n)，实数m>0，则≥，
当且仅当＝…＝时等号成立，称之为权方和不等式.m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
权方和不等式
微拓展
典例　(1)若x>0，y>0，＝2，则6x＋5y的最小值为　　　　 .
＋2
≥，即2≥，
因为x>0，y>0，则6x＋5y≥＋2，
当且仅当，
即x＝，y＝时取等号.
(2)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则的最小值为　　　.
≥，
当且仅当，
即x＝y＝z＝时取等号.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A A C C ABC ABD
题号 9 10 13 　14
答案 1 2 C 2
(1)f(x)=x+=x-1++1，
因为x>1，所以x-1>0，
所以x-1++1≥2+1=7，
当且仅当x-1=，即x=4时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
11.
答案
1
2
3
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6
7
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11
12
13
14
(2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2+6a≤f(x)恒成立，
所以a2+6a≤7，解得-7≤a≤1，
所以a的取值范围是[-7，1].
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
14
(1)由题意可得W(x)=
所以W(x)=
12.
答案
1
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11
12
13
14
(2)当0当x=35时，W(x)取最大值，W(35)=2 050(万元)；
当40W(x)=-x-+1 700=-+1 700≤-2+1 700=1 580，
当且仅当x=60时，等号成立，因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，所获年利润最大，最大年利润为2 050万元.
12.
答案
1
2
3
4
5
6
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11
12
13
14
一、单项选择题
1.已知a>0，b>1，ab－a＝1，则a＋b的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.5
√
1
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知识过关
答案
1
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5
6
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14
答案
方法一　因为ab－a＝1，所以b＝＋1，所以a＋b＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时，等号成立，所以a＋b的最小值为3.
方法二　因为b>1，所以b－1>0.
因为ab－a＝a(b－1)＝1，所以a＋b－1≥2＝2，
当且仅当a＝b－1，即a＝1，b＝2时，等号成立，
故a＋b的最小值为3.
1
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12
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14
答案
2.已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·
|MF2|的最大值为
A.13 B.12 C.9 D.4
√
因为|MF1|＋|MF2|＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤＝9，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，
所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.
3.已知实数x，y>0，＝2，且x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为
A. B.(－∞，9]
C. D.[9，＋∞)
√
1
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答案
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7
8
9
10
11
12
13
14
由＝2，可得＝1，
又因为x，y>0，
则x＋y＝(x＋y)·＋2＋≥＋2，
当且仅当，即y＝2x＝3时取等号，所以(x＋y)min＝，
由x＋y≥m恒成立，可得m≤(x＋y)min＝，
即实数m的取值范围为.
答案
4.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2－2x＋3a<0成立，则实数a的取值范围是
A.a< B.0≤a≤
C.a> D.a>
√
1
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5
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答案
1
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7
8
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11
12
13
14
当x∈(0，2]时，由ax2－2x＋3a<0，
可得a(x2＋3)<2x，由题意得a<，
因为≤，当且仅当x＝(x>0)，即x＝时，等号成立，
所以当x∈(0，2]时，的最大值为，
故a<.
答案
5.(2024·宿州模拟)定义：对于数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m).已知正整数t满足t≡11(mod 6)，将符合条件的所有t的值按从小到大的顺序排列，构成数列{an}.设数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为
A.12 B.14 C.16 D.18
√
1
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3
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7
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答案
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12
13
14
由题意可知an＝6n－1，n∈N*，
则数列{an}是等差数列，
所以Sn＝＝3n2＋2n，
可得＝6＋4≥12＋4＝16，
当且仅当n＝1时，取得最小值16.
答案
6.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABC的周长为12，c＝4，则此三角形面积最大时，A等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
√
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答案
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14
由题可知a＋b＝8，c＝4，p＝6，
则S＝≤×＝4，
当且仅当a＝b＝4时取等号，
所以此时三角形为等边三角形，故A＝60°.
答案
二、多项选择题
7.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若≤x＋2y恒成立，则实数m的可能取值为
A. B. C.3 D.
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√
答案
√
√
由x>0，y>0，得xy>0，
≤x＋2y恒成立，
即≤恒成立，
又(2x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当x＝y＝时，等号成立，
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答案
故≤9，即－9＝≤0，
即
解得m<1或m≥.
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14
答案
8.若a>1，b>1，且ab＝e2，则
A.2e≤a＋bB.0C.2－1≤ln a＋logab<2
D.aln b的最大值为e
√
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答案
√
√
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14
由a>1，b＝>1，得1因为函数f(a)＝a＋b＝a＋在(1，e)上单调递减，在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a＋b因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0答案
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14
ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1，
设t＝ln a∈(0，2)，所以φ(t)＝t＋－1在(0，)上单调递减，在[，2)上单调递增，
所以φ(t)＝t＋－1∈[2－1，＋∞)，故C错误；
设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确.
答案
三、填空题
9.(2024·南京模拟)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为　　　.
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答案
1
∵正实数x，y满足x＋y＝2，
∴xy≤＝1，∴≥1，
又≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值为1.
10.已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，其中a>b，则的最小值为　　　.
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答案
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14
函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，
令ax2＋2x＋b＝0，
则有即ab＝1，且a>0，
所以＝(a－b)＋，
又a>b，所以a－b>0，
答案
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14
则(a－b)＋≥2＝2，
当且仅当a－b＝，且ab＝1，
即a＝，b＝时等号成立，
即的最小值为2.
答案
四、解答题
11.已知函数f(x)＝x＋(x>1).
(1)求f(x)的最小值；
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答案
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14
答案
f(x)＝x＋＝x－1＋＋1，
因为x>1，所以x－1>0，
所以x－1＋＋1≥2＋1＝7，
当且仅当x－1＝，即x＝4时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
(2)若a2＋6a≤f(x)恒成立，求a的取值范围.
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答案
由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2＋6a≤f(x)恒成立，
所以a2＋6a≤7，解得－7≤a≤1，
所以a的取值范围是[－7，1].
12.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需
另投入成本G(x)万元，且G(x)＝由市
场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
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答案
(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
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答案
由题意可得W(x)＝
所以W(x)＝
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
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答案
当0当x＝35时，W(x)取最大值，W(35)＝2 050(万元)；
当40≤－2＋1 700＝1 580，
当且仅当x＝60时，等号成立，因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，所获年利润最大，最大年利润为2 050万元.
13.(2025·德阳模拟)设双曲线＝1(a>0)的离心率为e，则当e2＋a2取最小值时，e等于
A. B.2 C. D.3
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答案
能力拓展
√
双曲线＝1(a>0)的离心率为e＝，
e2＋a2＝＋a2＝2＋＋a2≥2＋2＝4，
当且仅当＝a2，即a＝1时取等号，
此时e＝.
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答案
14.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)＝2 026x－2 026－x，若m>0，n>1，且f＋f＝f(sin 2 026π)，则的最小值为　　　　.
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2
答案
因为f(x)＝2 026x－2 026－x，
所以f(－x)＝2 026－x－2 026x＝－(2 026x－2 026－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，f(0)＝0，
若m>0，n>1，则f＋f＝f(sin 2 026π)＝f(0)＝0，
所以f＝－f＝f，
又f(x)在R上单调递增，
所以－2＝－，即＝2，n＋2m＝2mn，
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答案
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14
答案
则2m＝，
所以＝3n＋2m－4＝3n＋－4
＝3(n－1)＋≥2＝2，
当且仅当3(n－1)＝，即n＝1＋时，等号成立，
所以的最小值为2.

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