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§1.6　一元二次方程、不等式
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·威海模拟)设集合A={x||x-1|≥1}，B={x|x2-x-2<0}，则A∩B等于(　　)
A.(-2，0) B.(-1，0)
C.(-2，0] D.(-1，0]
2.若命题“ x∈R，-x2-2mx+2m-3≥0”为真命题，则m的取值范围是(　　)
A.-1≤m≤3 B.-3≤m≤1
C.m≤-1或m≥3 D.m≤-3或m≥1
3.设p：实数m满足-1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2025·桂林模拟)已知实数a为常数，且a≠0，函数f(x)=(ax-1)(x-a)，甲同学：f(x)>0的解集为(-∞，a)∪；乙同学：f(x)<0的解集为(-∞，a)∪；丙同学：f(x)存在最小值.在这三个同学的论述中，只有一个是错误的，则a的取值范围为(　　)
A.a<-1 B.-1C.01
5.当x∈(-1，1)时，不等式2kx2-kx-<0恒成立，则k的取值范围是(　　)
A.(-3，0) B.[-3，0)
C. D.
6.已知关于x的不等式x2-ax+1<0的解集为{x|x1A.-1 B.1
C.3 D.-1或3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-1，2)，则下列结论正确的是(　　)
A.a<0
B.关于x的不等式bx+c>0的解集为(-∞，-2)
C.4a-2b+c>0
D.关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为
8.(2024·南平模拟)下列命题正确的是(　　)
A.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围是(-2，1)
B.若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立，则实数k的取值范围是(-∞，3)
C.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式>0的解集是{x|x>2或x<-1}
D.若+=1(a>0，b>0)，则+的最小值为
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为　　　　.
10.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B=则A∩B的非空子集个数为　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；(6分)
(2)解不等式ax2-(am+b)x+bm<0.(7分)
12.(14分)设函数f(x)=ax2+bx+3，关于x的一元二次不等式f(x)>0的解集为(-3，1).
(1)求不等式x2+ax+b>0的解集；(6分)
(2)若 x∈[-1，3]，f(x)≥mx2，求实数m的取值范围.(8分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)已知k∈Z，若关于x的不等式x2-xA.-1 B.1 C.2 D.3
14.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] D.[-1，+∞)
答案精析
1.D
2.D　[由题意知不等式-x2-2mx+2m-3≥0有解.
即不等式x2+2mx-2m+3≤0有解.
设f(x)=x2+2mx-2m+3，
则函数f(x)的图象开口向上，
要使不等式f(x)≤0有解，
则函数f(x)的图象与x轴有交点，
则Δ=4m2-4(-2m+3)≥0，化简得m2+2m-3≥0，
解得m≤-3或m≥1.]
3.A　[命题q：一元二次方程x2+3x+m+1=0有两个负数根，
所以
解得-1所以p是q的充分不必要条件.]
4.C　[若甲正确，则a>0且>a，
则0若乙正确，则a<0且a<，
则a<-1；
若丙正确，则二次函数的图象开口向上，即a>0；
因为只有一个同学的论述是错误的，所以只能乙的论述错误，故05.D　[当k=0时，满足不等式恒成立；
当k≠0时，令f(x)=2kx2-kx-，则f(x)<0在(-1，1)上恒成立，
函数f(x)图象的对称轴为x=，
当k>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
则有
解得0当k<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，
则有f=--<0，
解得-3综上可知，k的取值范围是.]
6.C　[关于x的不等式x2-ax+1<0的解集为{x|x1则Δ=a2-4>0，
解得a>2或a<-2，
有+1=ax1，+1=ax2，x1+x2=a，x1x2=1，
+=-2x1+1+-2x2+1=ax1-2x1+ax2-2x2=(a-2)(x1+x2)
=a(a-2)=3，
即a2-2a-3=0，
解得a=3(a=-1舍去).]
7.BC　[由已知可得a>0且-1，2是方程ax2+bx+c=0的两根，所以A选项不正确；
由根与系数的关系可得
解得b=-a，c=-2a，
则不等式bx+c>0可化为-ax-2a>0，即x+2<0，
所以x<-2，所以B选项正确；
因为4a-2b+c=4a+2a-2a=4a>0，所以C选项正确；
不等式cx2-bx+a>0可化为-2ax2+ax+a>0，即2x2-x-1<0，
解得-故不等式cx2-bx+a>0的解集为，所以D选项不正确.]
8.ACD　[对于A，二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的图象开口向上，
若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，
则f(1)=1+(a2-1)+a-2=a2+a-2<0，解得-2对于B，若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立，
则只需k(x-1)>x2-1，即k>x+1在(1，2)上恒成立即可，
则实数k的取值范围是k≥3，故B错误；
对于C，若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则a>0，a=b，
所以关于x的不等式>0 >0 x<-1或x>2，故C正确；
对于D，若+=1(a>0，b>0)，则+=1≥2，
解得≤，当且仅当a=2，b=4时等号成立，
所以+=-=1-≥1-=，当且仅当a=2，b=4时等号成立，故D正确.]
9.(-2，3)
解析　依题意知，c=-3×2=-6，-b=-3+4=1，即b=-1，因此不等式x2+bx+c<0，
即x2-x-6<0，解得-2所以原不等式的解集为(-2，3).
10.31
解析　x∈N*，
当x=1时，=-7<1，
则1∈B，
当x>2时，不等式<1化为x2-4x-5>0，解得x>5，
所以B={x|x>5，x∈N*或x=1}，
又A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
所以A∩B={1，6，7，8，9}，它的子集有32个，非空子集有31个.
11.解　(1)因为不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1=1，x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个根，
所以
解得
(2)由(1)知原不等式为
x2-(m+2)x+2m<0，
即(x-m)(x-2)<0，
当m>2时，不等式解集为{x|2当m=2时，不等式解集为 ；
当m<2时，
不等式解集为{x|m12.解　(1)因为一元二次不等式f(x)>0的解集为(-3，1)，
所以-3和1是方程ax2+bx+3=0的两个实根，则
解得
因此所求不等式即为x2-x-2>0，解集为{x|x<-1或x>2}.
(2)f(x)≥mx2可化为(m+1)x2≤-2x+3，当x=0时显然成立；
当x≠0时，不等式可化为m+1≤-+3对 x∈[-1，0)∪(0，3]恒成立，令t=∈(-∞，-1]∪，则m+1≤-2t+3t2，
当t=，即x=3时，
=-，
所以m+1≤-，即m≤-.
13.AD　[关于x的不等式x2-x即(x-1)(x-k)<0，
当k=1时，(x-1)(x-k)<0即(x-1)2<0，
解集为空集，不符合题意；
当k>1时，(x-1)(x-k)<0的解满足1由于k∈Z，故k=3；
当k<1时，(x-1)(x-k)<0的解满足k由于k∈Z，故k=-1，
综上，k的可能取值为-1，3.]
14.B　[f(x)=x|x-a|-2a2
=
若a>2,当2所以f(x)<0,不符合题意;
若02时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,
则2a≤2,即0若a=0,当x>2时,f(x)=x2>0恒成立,符合题意;
若a<0,当x>2时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,
则-a≤2,即-2≤a<0.
综上,-2≤a≤1,故a的取值范围是[-2,1].]§1.6　一元二次方程、不等式
课标要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)，不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式的解集
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) 　　　　　　　；
(2)≥0(≤0) 　　　　.
3.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为　　　　　　　　　，|x|0)的解集为　　　　　.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2+bx+c=0无实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(　　)
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)
(3)若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　)
2.(2024·保山模拟)已知不等式x2-3x+2≤0的解集为A，不等式<0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的(　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.若关于x的不等式x2+(2m-1)x+m2-m>0的解集为{x|x<3或x>4}，则m的值为　　　　　　.
4.若关于x的不等式x2-2ax+18>0恒成立，则实数a的取值范围为　　　　　　.
谨防三个易误点
(1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏.
(2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
(3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R还是 .
题型一　求解一元二次不等式
命题点1　不含参的不等式
例1　(多选)下列选项中，正确的是(　　)
A.不等式-x2-x+2>0的解集为{x|x<-2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R，则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件
命题点2　含参的不等式
例2　已知函数f(x)=ax2+3x+2.若a>0，解关于x的不等式f(x)>-ax-1.
思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪训练1　解关于x的不等式：
(1)≤3；
(2)ax2-(2a-1)x-2≥0.
题型二　三个二次之间的关系
例3　(1)(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞，1)∪(5，+∞)，则下列结论正确的是(　　)
A.a>0
B.a+b+c>0
C.bx+c>0的解集是
D.cx2-bx+a<0的解集是
(2)若关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1A.-
C.a<- D.-思维升华　已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
跟踪训练2　(1)若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪，则不等式cx2-2x+a≤0的解集是(　　)
A. B.
C.[-2，3] D.[-3，2]
(2)(多选)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的是(　　)
A.x1+x2=2 B.x1x2<-3
C.-14
题型三　一元二次不等式恒成立问题
例4　已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-1.
(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围；
(2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围；
(3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围.
思维升华　恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
跟踪训练3 已知函数f(x)=x2-3x+a.
(1)若f(x)>0在R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)<0在(-1，2)上恒成立，求实数a的取值范围.
答案精析
落实主干知识
1.{x|xx2}
　R
2.(1)f(x)g(x)>0(<0)
(2)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
3.(-∞，-a)∪(a，+∞)　(-a，a)
自主诊断
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.C　3.-3　4.(-3，3)
探究核心题型
例1　BD　[由题知方程-x2-x+2=0的解为x1=1，x2=-2，所以不等式-x2-x+2>0的解集为{x|-2因为 -1≤0，即≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x<2，所以不等式的解集为{x|-3≤x<2}，故B正确；
由|x-2|≥1，
可得x-2≤-1或x-2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；
由|x-1|<1，可得-1例2　解　不等式f(x)>-ax-1可化为ax2+(a+3)x+3>0，
即(ax+3)(x+1)>0.
因为a>0，所以当-<-1，
即0当-=-1，即a=3时，原不等式的解集为{x|x≠-1}；
当->-1，即a>3时，原不等式的解集为.
跟踪训练1　解　(1)由题意-3=≤0，
可得
解得x≤或x>1，
所以不等式的解集为∪(1，+∞).
(2)不等式ax2-(2a-1)x-2≥0可化为(ax+1)(x-2)≥0，
当a=0时，x-2≥0，
不等式的解集为[2，+∞)；
当a>0时，
不等式化为(x-2)≥0，
其解集为∪[2，+∞)；
当a<0时，
不等式化为(x-2)≤0，
①当-<2，即a<-时，
不等式的解集为；
②当-=2，即a=-时，
不等式的解集为{2}；
③当->2，即-不等式的解集为.
例3　(1)CD　[由题意可得1和5是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，
由根与系数的关系可得1+5=-，1×5=，得b=-6a，c=5a，
对于A，因为a<0，故A错误；
对于B，a+b+c=a-6a+5a=0，
故B错误；
对于C，不等式bx+c>0，即-6ax+5a>0，即6x-5>0，得x>，
所以不等式bx+c>0的解集是，故C正确；
对于D，由不等式cx2-bx+a<0，
得a(5x2+6x+1)<0，
即5x2+6x+1>0，
则(5x+1)(x+1)>0，
得x>-或x<-1，
即解集为，故D正确.]
(2)D　[方法一　显然a≠0；
令f(x)=ax2+(a+2)x+9a，
当a>0时，f(1)<0，
当a<0时，f(1)>0，
故af(1)<0，即a(11a+2)<0，
解得-方法二　因为方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，
所以
因为x1<1所以(x1-1)(x2-1)<0，
即x1x2-(x1+x2)+1<0，
则9++1<0，解得-跟踪训练2　(1)C　[因为不等式ax2+2x+c<0的解集是
∪，
所以-和是方程ax2+2x+c=0的两个实数根，
由
解得
故不等式cx2-2x+a≤0，即2x2-2x-12≤0，
解不等式x2-x-6≤0，得-2≤x≤3，
所求不等式的解集是[-2，3].]
(2)ABD　[由题意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x+1)(x-3)+1=0，即ax2-2ax+1-3a=0的两根，
所以x1+x2=-=2，故A正确；
x1x2==-3<-3，故B正确；
x2-x1===2>4，故D正确；
由x2-x1>4，可得-1例4　解　(1)不等式f(x)<1，
即mx2-(m-1)x+m-2<0，
当m=0时，x-2<0，
解得x<2，不符合题意；
当m≠0时，
有
解得m<，综上所述，m的取值范围为.
(2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，
即m(x2-x+1)≥1-x对一切x∈恒成立，
因为x2-x+1=+>0，
则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立，
由x∈，
得=
==
≤=1，
当且仅当1-x=，
即x=0时等号成立，
所以=1，
所以m≥1，即m的取值范围是[1，+∞).
(3)不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，
即(x2-x+1)m+x-3>0对一切m∈(0，2)恒成立，
令h(m)=(x2-x+1)m+x-3，
因为x2-x+1=+>0，
所以函数h(m)=(x2-x+1)m+x-3在(0，2)上单调递增，
则h(0)=x-3≥0，解得x≥3，
所以x的取值范围为[3，+∞).
跟踪训练3 解　(1)f(x)=x2-3x+a=+a-，
则f(x)min=f=a-，
f(x)>0在R上恒成立，
即f(x)min=a->0，故a>.
故实数a的取值范围是.
(2)f(x)=x2-3x+a
=+a-，
f(x)在[-1，2]上的最大值为f(x)max=f(-1)
=+a-=4+a，
故f(x)在(-1，2)上满足f(x)<4+a，
故4+a≤0，解得a≤-4.
故实数a的取值范围是(-∞，-4].(共79张PPT)
第一章
§1.6　一元二次方程、
不等式
数学
大
一
轮
复
习
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式的解集 _____________ ____________ ___
{x|xx2}
R
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) .
3.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ，|x|0)的解集为 .
f(x)g(x)>0(<0)
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－a，a)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.
(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　)
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
√
×
×
×
2.(2024·保山模拟)已知不等式x2－3x＋2≤0的解集为A，不等式<0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}，
由(x－2)(x－1)<0，解得1所以集合B是集合A的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
3.若关于x的不等式x2＋(2m－1)x＋m2－m>0的解集为{x|x<3或x>4}，则m的值为　　　.
根据题意，方程x2＋(2m－1)x＋m2－m＝0的两根为3和4，
故有解得m＝－3.
－3
4.若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为
　　　 　　　.
由题意有4a2－4×18<0，可得－3(－3，3)
谨防三个易误点
(1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏.
(2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
(3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是 .
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(多选)下列选项中，正确的是
A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
√
求解一元二次不等式
题型一
命题点1　不含参的不等式
√
由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|－2因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3
≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；
由|x－1|<1，可得－1命题点2　含参的不等式
例2　已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2.若a>0，解关于x的不等式f(x)>－ax－1.
不等式f(x)>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0.
因为a>0，
所以当－<－1，即0当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当－>－1，即a>3时，原不等式的解集为.
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
思维升华
跟踪训练1　解关于x的不等式：
(1)≤3；
由题意－3＝≤0，
可得解得x≤或x>1，
所以不等式的解集为∪(1，＋∞).
(2)ax2－(2a－1)x－2≥0.
不等式ax2－(2a－1)x－2≥0可化为(ax＋1)(x－2)≥0，
当a＝0时，x－2≥0，不等式的解集为[2，＋∞)；
当a>0时，不等式化为(x－2)≥0，其解集为∪[2，＋∞)；
当a<0时，不等式化为(x－2)≤0，
①当－<2，即a<－时，不等式的解集为；
②当－＝2，即a＝－时，不等式的解集为{2}；
③当－>2，即－例3　(1)(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是
A.a>0
B.a＋b＋c>0
C.bx＋c>0的解集是
D.cx2－bx＋a<0的解集是
三个二次之间的关系
题型二
√
√
由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，
由根与系数的关系可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a，
对于A，因为a<0，故A错误；
对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误；
对于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，得x>，
所以不等式bx＋c>0的解集是，故C正确；
对于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0，
则(5x＋1)(x＋1)>0，得x>－或x<－1，
即解集为，故D正确.
(2)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1A.－
C.a<－ D.－√
方法一　显然a≠0；
令f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋9a，
当a>0时，f(1)<0，当a<0时，f(1)>0，
故af(1)<0，即a(11a＋2)<0，
解得－方法二　因为方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
所以
因为x1<1所以(x1－1)(x2－1)<0，
即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
则9＋＋1<0，解得－已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
思维升华
跟踪训练2　(1)若不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，则不等式cx2－2x＋a≤0的解集是
A. B.
C.[－2，3] D.[－3，2]
√
因为不等式ax2＋2x＋c<0的解集是∪，
所以－和是方程ax2＋2x＋c＝0的两个实数根，
由解得
故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0，
解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
所求不等式的解集是[－2，3].
(2)(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的是
A.x1＋x2＝2 B.x1x2<－3
C.－14
√
√
√
由题意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根，
所以x1＋x2＝－＝2，故A正确；
x1x2＝－3<－3，故B正确；
x2－x1＝＝2>4，故D正确；
由x2－x1>4，可得－1例4　已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.
(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围；
一元二次不等式恒成立问题
题型三
不等式f(x)<1，
即mx2－(m－1)x＋m－2<0，
当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意；
当m≠0时，有
解得m<，
综上所述，m的取值范围为.
(2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围；
不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，
即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立，
因为x2－x＋1＝>0，
则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立，
由x∈，
得≤＝1，
当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立，
所以＝1，
所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞).
(3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围.
不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，
即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0，2)恒成立，
令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3，
因为x2－x＋1＝>0，
所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上单调递增，
则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，
所以x的取值范围为[3，＋∞).
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
思维升华
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－3x＋a.
(1)若f(x)>0在R上恒成立，求实数a的取值范围；
f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－，
则f(x)min＝f＝a－，
f(x)>0在R上恒成立，
即f(x)min＝a－>0，故a>.
故实数a的取值范围是.
(2)若f(x)<0在(－1，2)上恒成立，求实数a的取值范围.
f(x)＝x2－3x＋a＝＋a－，
f(x)在[－1，2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝＋a－＝4＋a，
故f(x)在(－1，2)上满足f(x)<4＋a，
故4＋a≤0，解得a≤－4.
故实数a的取值范围是(－∞，－4].
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C D C BC ACD
题号 9 10 13 　14
答案 (-2，3) 31 AD 　B
(1)因为不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1=1，x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个根，
所以
解得
11.
答案
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(2)由(1)知原不等式为
x2-(m+2)x+2m<0，
即(x-m)(x-2)<0，
当m>2时，不等式解集为{x|2当m=2时，不等式解集为 ；
当m<2时，
不等式解集为{x|m11.
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(1)因为一元二次不等式f(x)>0的解集为(-3，1)，
所以-3和1是方程ax2+bx+3=0的两个实根，则
解得
因此所求不等式即为x2-x-2>0，解集为{x|x<-1或x>2}.
12.
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(2)f(x)≥mx2可化为(m+1)x2≤-2x+3，当x=0时显然成立；
当x≠0时，不等式可化为m+1≤-+3对 x∈[-1，0)∪(0，3]恒成立，令t=∈(-∞，-1]∪，则m+1≤-2t+3t2，
当t=，即x=3时，=-，
所以m+1≤-，即m≤-.
12.
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一、单项选择题
1.(2024·威海模拟)设集合A＝{x||x－1|≥1}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩B等于
A.(－2，0) B.(－1，0)
C.(－2，0] D.(－1，0]
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知识过关
答案
由题意得A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|－1所以A∩B＝{x|－11
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答案
2.若命题“ x∈R，－x2－2mx＋2m－3≥0”为真命题，则m的取值范围是
A.－1≤m≤3 B.－3≤m≤1
C.m≤－1或m≥3 D.m≤－3或m≥1
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答案
由题意知不等式－x2－2mx＋2m－3≥0有解.
即不等式x2＋2mx－2m＋3≤0有解.
设f(x)＝x2＋2mx－2m＋3，则函数f(x)的图象开口向上，
要使不等式f(x)≤0有解，则函数f(x)的图象与x轴有交点，
则Δ＝4m2－4(－2m＋3)≥0，化简得m2＋2m－3≥0，
解得m≤－3或m≥1.
3.设p：实数m满足－1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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答案
命题q：一元二次方程x2＋3x＋m＋1＝0有两个负数根，
所以解得－1所以p是q的充分不必要条件.
4.(2025·桂林模拟)已知实数a为常数，且a≠0，函数f(x)＝(ax－1)(x－a)，甲同学：f(x)>0的解集为(－∞，a)∪；乙同学：f(x)<0的解集为(－∞，a)∪；丙同学：f(x)存在最小值.在这三个同学的论述中，只有一个是错误的，则a的取值范围为
A.a<－1 B.－1C.01
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若甲正确，则a>0且>a，则0若乙正确，则a<0且a<，则a<－1；
若丙正确，则二次函数的图象开口向上，即a>0；
因为只有一个同学的论述是错误的，所以只能乙的论述错误，故0答案
5.当x∈(－1，1)时，不等式2kx2－kx－<0恒成立，则k的取值范围是
A.(－3，0) B.[－3，0)
C. D.
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当k＝0时，满足不等式恒成立；
当k≠0时，令f(x)＝2kx2－kx－，则f(x)<0在(－1，1)上恒成立，
函数f(x)图象的对称轴为x＝，
当k>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
则有解得0答案
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当k<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，
则有f<0，解得－3综上可知，k的取值范围是.
答案
6.已知关于x的不等式x2－ax＋1<0的解集为{x|x1A.－1 B.1
C.3 D.－1或3
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关于x的不等式x2－ax＋1<0的解集为{x|x1则Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2，
有＋1＝ax1，＋1＝ax2，x1＋x2＝a，x1x2＝1，
－2x1＋1＋－2x2＋1＝ax1－2x1＋ax2－2x2＝(a－2)(x1＋x2)
＝a(a－2)＝3，
即a2－2a－3＝0，解得a＝3(a＝－1舍去).
答案
二、多项选择题
7.关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，2)，则下列结论正确的是
A.a<0
B.关于x的不等式bx＋c>0的解集为(－∞，－2)
C.4a－2b＋c>0
D.关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集为
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由已知可得a>0且－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以A选项不正确；
由根与系数的关系可得
解得b＝－a，c＝－2a，
则不等式bx＋c>0可化为－ax－2a>0，即x＋2<0，
所以x<－2，所以B选项正确；
因为4a－2b＋c＝4a＋2a－2a＝4a>0，所以C选项正确；
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不等式cx2－bx＋a>0可化为－2ax2＋ax＋a>0，即2x2－x－1<0，
解得－故不等式cx2－bx＋a>0的解集为，所以D选项不正确.
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答案
8.(2024·南平模拟)下列命题正确的是
A.若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一个根比1大且另一个根比1小，
则a的取值范围是(－2，1)
B.若关于x的不等式x2－kx＋k－1<0在(1，2)上恒成立，则实数k的取值范
围是(－∞，3)
C.若关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式
>0的解集是{x|x>2或x<－1}
D.若＝1(a>0，b>0)，则的最小值为
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对于A，二次函数f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2的图象开口向上，
若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一个根比1大且另一个根比1小，
则f(1)＝1＋(a2－1)＋a－2＝a2＋a－2<0，解得－2对于B，若关于x的不等式x2－kx＋k－1<0在(1，2)上恒成立，
则只需k(x－1)>x2－1，即k>x＋1在(1，2)上恒成立即可，
则实数k的取值范围是k≥3，故B错误；
答案
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对于C，若关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则a>0，a＝b，
所以关于x的不等式>0 >0 x<－1或x>2，故C正确；
对于D，若＝1(a>0，b>0)，则＝1≥2，解得≤，当且仅当a＝2，b＝4时等号成立，
所以＝1－≥1－，当且仅当a＝2，b＝4时等号成立，故D正确.
答案
三、填空题
9.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3，4).那么原不等式的解集为　　　　 .
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答案
(－2，3)
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答案
依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，因此不等式x2＋bx＋c<0，
即x2－x－6<0，解得－2所以原不等式的解集为(－2，3).
10.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B＝，则A∩B的非空子集个数为　　　.
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x∈N*，
当x＝1时，＝－7<1，则1∈B，
当x>2时，不等式<1化为x2－4x－5>0，解得x>5，
所以B＝{x|x>5，x∈N*或x＝1}，
又A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
所以A∩B＝{1，6，7，8，9}，它的子集有32个，非空子集有31个.
答案
四、解答题
11.已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
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答案
因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，
所以解得
(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0.
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答案
由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
当m>2时，不等式解集为{x|2当m＝2时，不等式解集为 ；
当m<2时，不等式解集为{x|m12.设函数f(x)＝ax2＋bx＋3，关于x的一元二次不等式f(x)>0的解集为(－3，1).
(1)求不等式x2＋ax＋b>0的解集；
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答案
因为一元二次不等式f(x)>0的解集为(－3，1)，
所以－3和1是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，则
解得
因此所求不等式即为x2－x－2>0，解集为{x|x<－1或x>2}.
(2)若 x∈[－1，3]，f(x)≥mx2，求实数m的取值范围.
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答案
f(x)≥mx2可化为(m＋1)x2≤－2x＋3，当x＝0时显然成立；
当x≠0时，不等式可化为m＋1≤－＋3对 x∈[－1，0)∪(0，3]恒成立，
令t＝∈(－∞，－1]∪，则m＋1≤－2t＋3t2，
当t＝，即x＝3时，＝－，
所以m＋1≤－，即m≤－.
13.(多选)已知k∈Z，若关于x的不等式x2－xA.－1 B.1 C.2 D.3
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答案
能力拓展
√
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关于x的不等式x2－x即x2－(k＋1)x＋k<0，
即(x－1)(x－k)<0，
当k＝1时，(x－1)(x－k)<0即(x－1)2<0，
解集为空集，不符合题意；
当k>1时，(x－1)(x－k)<0的解满足1要使得关于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝3；
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答案
当k<1时，(x－1)(x－k)<0的解满足k要使得关于x的不等式x2－x由于k∈Z，故k＝－1，
综上，k的可能取值为－1，3.
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答案
14.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则实数a的取值范围是
A.(-∞,1] B.[-2,1]
C.[-1,2] D.[-1,+∞)
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答案
√
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答案
f(x)=x|x-a|-2a2=
若a>2,当2所以f(x)<0,不符合题意;
若02时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,
则2a≤2,即0若a=0,当x>2时,f(x)=x2>0恒成立,符合题意;
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答案
若a<0,当x>2时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,
则-a≤2,即-2≤a<0.
综上,-2≤a≤1,故a的取值范围是[-2,1].
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