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必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式
分值：73分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2024·厦门模拟)已知集合A={x||x-1|≤4}，B=则A∩( RB)等于(　　)
A.(0，4) B.[0，4)
C.[-3，0]∪(4，5] D.[-3，0)∪(4，5]
2.已知直线a，b和平面α，a α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知集合A={x|xA.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.abb-c
C.an>bn D.b(b-c)5.关于x的不等式ax2-2x+1>0对 x∈R恒成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.a>0 B.a>1
C.02
6.已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为(　　)
A.2 B.4 C.8 D.2
7.已知关于x的一元二次不等式x2-(m+1)x+2m-1<0的解集为{x|x1A.(2，+∞) B.(-∞，2)
C.∪(2，+∞) D.∪(5，+∞)
8.(2025·焦作模拟)已知正实数m，n满足(m-1)·(m+n)=(1+n)(1-n)，则m+n的最大值为(　　)
A.2 B.8 C.12 D.16
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.对于实数a，b，c，d，下列命题是真命题的是(　　)
A.若a>b，cb-d
B.若ac2>bc2，则a>b
C.若a>b>0，c<0，则>
D.若a>b，则ac10.当一个非空数集G满足“如果a，b∈G，则a+b，a-b，ab∈G，且b≠0时∈G”时，我们称G就是一个数域，则下列命题正确的是(　　)
A.0是任何数域的元素
B.若数域G有非零元素，则2 025∈G
C.集合P={x|x=2k，k∈Z}是一个数域
D.有理数集是一个数域
11.已知a>0，b>0且a+b=1，下列结论正确的是(　　)
A.+有最小值为4
B.有最小值为
C.+有最大值为2
D.a2+b2有最小值为
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知p：|x-1|<1，q：x2-(a+1)x+a≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.
13.若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+14.在集合的运算中，一个集合与它在全集中的补集是一一对应的，形成了“集合对”，这种配对方式在解决集合问题时经常用到.现全集U中含有11个元素.对于集合U的k个互不相同的子集A1，A2，…，Ak，它们两两的交集都不是空集，且U的其他子集至少与A1，A2，…，Ak中的一个的交集为空集，那么k=　　　　　　.
答案精析
1.C　[由|x-1|≤4，得-4≤x-1≤4，
∴-3≤x≤5，则A=[-3，5]，
由≥0，得
∴0 RB=(-∞，0]∪(4，+∞)，
故A∩( RB)=[-3，0]∪(4，5].]
2.A　[因为b∥α，则存在c α使得b∥c且b α，
若a∥b且a α，则a∥c，
又a α且c α，所以a∥α，充分性成立；
设β∥α，b β，a β，a∩b=P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件.]
3.A　[因为B={x|x≥1}，
RB={x|x<1}，
因为( RB)∪A=A，
所以( RB) A，
所以a≥1.]
4.D　[对于A，由a>b>0>c，
可得ab>0>bc，所以A错误；
对于B，例如，当a=2，b=1，c=-3时，可得a-b对于C，例如，当a=2，b=1，n=-1时，a-1对于D，由a>b>0>c，可得05.A　[当a=0时，则有-2x+1>0，
解得x<，不符合题意；
当a≠0时，有
解得a>1.
综上所述，关于x的不等式ax2-2x+1>0对 x∈R恒成立的充要条件为a>1，
所以一个必要不充分条件是a>0.]
6.B　[a2+b2=ab+4，则有(a+b)2=3ab+4≤+4，
可得(a+b)2≤16，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立.
所以a+b的最大值为4.]
7.D　[由不等式的解集可得，方程x2-(m+1)x+2m-1=0的根为x1，x2，
可得x1+x2=m+1，x1x2=2m-1，
由Δ=(m+1)2-4(2m-1)>0，
得m>5或m<1，
由+==<1，
得<0，
即(m-2)(2m-1)>0，
解得m>2或m<，
综上，实数m的取值范围是
∪(5，+∞).]
8.A　[依题意得m2+n2-(m+n)+mn=1，
则1=(m+n)2-(m+n)-mn≥(m+n)2-(m+n)-(m+n)2，
即1≥(m+n)2-(m+n)，
则3(m+n)2-4(m+n)-4≤0，且m+n>0，
解得09.ABC　[对于A选项，因为a>b，c-d，由不等式的基本性质可得a-c>b-d，A对；
对于B选项，若ac2>bc2，则c2>0，由不等式的基本性质可得a>b，B对；
对于C选项，因为a>b>0，c<0，则-=>0，所以>，C对；
对于D选项，当c=0时，ac=bc，D错.]
10.ABD　[对于A，根据当a∈G时，则a-a∈G，即0∈G，所以0是任何数域的元素，故A正确；
对于B，根据当b≠0时，b∈G，则∈G，即1∈G，进而1+1=2∈G，2+1=3∈G，…，2 024+1=2 025∈G，故B正确；
对于C，对2∈P，4∈P，但= P，不满足题意，所以集合P={x|x=2k，k∈Z}不是一个数域，故C不正确；
对于D，若a，b是有理数，则a+b，a-b，ab，(b≠0)都是有理数，故有理数集是一个数域，故D正确.]
11.AD　[对于A，因为正实数a，b满足a+b=1，所以+=(a+b)·=2++≥2+2=4，当且仅当=，即a=b=时取等号，因此本选项正确；
对于B，因为正实数a，b满足a+b=1，所以1=a+b≥2 ≤，当且仅当a=b=时取等号，即有最大值，因此本选项不正确；
对于C，因为正实数a，b满足a+b=1，所以≤== +≤，当且仅当a=b=时取等号，因此本选项不正确；
对于D，因为正实数a，b满足a+b=1，所以≥= a2+b2≥，
当且仅当a=b=时取等号，因此本选项正确.]
12.(0，2)
解析　由|x-1|<1，解得0对于q：x2-(a+1)x+a≤0，
即(x-1)(x-a)≤0，
若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分条件，
则a<2，所以1若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分条件，
则a>0，所以0若a=1，则q为{x|x=1}，符合题意，所以实数a的取值范围是(0，2).
13.(-∞，-1)∪(2，+∞)
解析　由两个正实数x，y满足4x+y=2xy，
得+=2，
则x+=
=
≥=2，
当且仅当=，即y=4x=4时取等号，
由不等式x+得m2-m>2，解得m<-1或m>2，
所以实数m的取值范围是(-∞，-1)∪(2，+∞).
14.1 024
解析　由全集U中含有11个元素，则有211个子集，其中按互补关系可配成210对，
(1)根据题意，每对不能同时取，否则它们的交集为空集，不符合题意；
(2)每对不能都不取，否则设集合A，B互补且都没有取，
若A不被取，因为已取的集合中有与集合A交集为空集的C，其中C一定是B的子集；
若B不被取，因为已取的集合中有与集合B交集为空集的D，其中D一定是A的子集，
而集合C与D的交集为空集，却都被取得了，此时与题意矛盾，
综上可得，实数k=210=1 024.(共28张PPT)
第一章
必刷小题1　集合、常用逻辑
用语、不等式
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A D A B D A
题号 9 10 11 12 13 14
答案 ABC ABD AD (0，2) (-∞，-1)∪(2，+∞) 1 024
一、单项选择题
1.(2024·厦门模拟)已知集合A＝{x||x－1|≤4}，B＝，则A∩( RB)等于
A.(0，4) B.[0，4)
C.[－3，0]∪(4，5] D.[－3，0)∪(4，5]
√
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答案
由|x－1|≤4，得－4≤x－1≤4，
∴－3≤x≤5，则A＝[－3，5]，
由≥0，得
∴0故A∩( RB)＝[－3，0]∪(4，5].
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答案
2.已知直线a，b和平面α，a α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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答案
因为b∥α，则存在c α使得b∥c且b α，
若a∥b且a α，则a∥c，
又a α且c α，所以a∥α，充分性成立；
设β∥α，b β，a β，a∩b＝P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件.
3.已知集合A＝{x|xA.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
√
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因为B＝{x|x≥1}， RB＝{x|x<1}，
因为( RB)∪A＝A，所以( RB) A，
所以a≥1.
答案
4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是
A.abb－c
C.an>bn D.b(b－c)√
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答案
对于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A错误；
对于B，例如，当a＝2，b＝1，c＝－3时，可得a－b对于C，例如，当a＝2，b＝1，n＝－1时，a－1对于D，由a>b>0>c，可得05.关于x的不等式ax2－2x＋1>0对 x∈R恒成立的一个必要不充分条件是
A.a>0 B.a>1
C.02
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当a＝0时，则有－2x＋1>0，解得x<，不符合题意；
当a≠0时，有解得a>1.
综上所述，关于x的不等式ax2－2x＋1>0对 x∈R恒成立的充要条件为a>1，
所以一个必要不充分条件是a>0.
答案
6.已知a2＋b2＝ab＋4，则a＋b的最大值为
A.2 B.4 C.8 D.2
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a2＋b2＝ab＋4，则有(a＋b)2＝3ab＋4≤＋4，
可得(a＋b)2≤16，即a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立.
所以a＋b的最大值为4.
答案
7.已知关于x的一元二次不等式x2－(m＋1)x＋2m－1<0的解集为{x|x1A.(2，＋∞) B.(－∞，2)
C.∪(2，＋∞) D.∪(5，＋∞)
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由不等式的解集可得，方程x2－(m＋1)x＋2m－1＝0的根为x1，x2，
可得x1＋x2＝m＋1，x1x2＝2m－1，
由Δ＝(m＋1)2－4(2m－1)>0，得m>5或m<1，
由<1，得<0，
即(m－2)(2m－1)>0，解得m>2或m<，
综上，实数m的取值范围是∪(5，＋∞).
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8.(2025·焦作模拟)已知正实数m，n满足(m－1)(m＋n)＝(1＋n)(1－n)，则m＋n的最大值为
A.2 B.8 C.12 D.16
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依题意得m2＋n2－(m＋n)＋mn＝1，
则1＝(m＋n)2－(m＋n)－mn≥(m＋n)2－(m＋n)－(m＋n)2，
即1≥(m＋n)2－(m＋n)，则3(m＋n)2－4(m＋n)－4≤0，且m＋n>0，
解得0答案
二、多项选择题
9.对于实数a，b，c，d，下列命题是真命题的是
A.若a>b，cb－d
B.若ac2>bc2，则a>b
C.若a>b>0，c<0，则>
D.若a>b，则ac1
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对于A选项，因为a>b，c－d，由不等式的基本性质可得a－c>b－d，A对；
对于B选项，若ac2>bc2，则c2>0，由不等式的基本性质可得a>b，B对；
对于C选项，因为a>b>0，c<0，则>0，所以>，C对；
对于D选项，当c＝0时，ac＝bc，D错.
10.当一个非空数集G满足“如果a，b∈G，则a＋b，a－b，ab∈G，且b≠0时，∈G”时，我们称G就是一个数域，则下列命题正确的是
A.0是任何数域的元素
B.若数域G有非零元素，则2 025∈G
C.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域
D.有理数集是一个数域
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对于A，根据当a∈G时，则a－a∈G，即0∈G，所以0是任何数域的元素，故A正确；
对于B，根据当b≠0时，b∈G，则∈G，即1∈G，进而1＋1＝2∈G，2
＋1＝3∈G，…，2 024＋1＝2 025∈G，故B正确；
对于C，对2∈P，4∈P，但 P，不满足题意，所以集合P＝{x|x＝2k，
k∈Z}不是一个数域，故C不正确；
对于D，若a，b是有理数，则a＋b，a－b，ab，(b≠0)都是有理数，故
有理数集是一个数域，故D正确.
答案
11.已知a>0，b>0且a＋b＝1，下列结论正确的是
A.有最小值为4 B.有最小值为
C.有最大值为2 D.a2＋b2有最小值为
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答案
对于A，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当，即a＝b＝时取等号，因此本选项正确；
对于B，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2 ≤，当且仅当a＝b＝时取等号，即有最大值，因此本选项不正确；
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对于C，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以≤ ≤，当且仅当a＝b＝时取等号，因此本选项不正确；
对于D，因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以≥ a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时取等号，因此本选项正确.
三、填空题
12.已知p：|x－1|<1，q：x2－(a＋1)x＋a≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　.
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答案
由|x－1|<1，解得0对于q：x2－(a＋1)x＋a≤0，即(x－1)(x－a)≤0，
若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分条件，则a<2，所以1若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分条件，则a>0，所以0若a＝1，则q为{x|x＝1}，符合题意，所以实数a的取值范围是(0，2).
13.若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋1
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答案
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
由两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，得＝2，
则x＋＝≥＝2，
当且仅当，即y＝4x＝4时取等号，
由不等式x＋得m2－m>2，解得m<－1或m>2，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
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14.在集合的运算中，一个集合与它在全集中的补集是一一对应的，形成了“集合对”，这种配对方式在解决集合问题时经常用到.现全集U中含有11个元素.对于集合U的k个互不相同的子集A1，A2，…，Ak，它们两两的交集都不是空集，且U的其他子集至少与A1，A2，…，Ak中的一个的交集为空集，那么k＝　　　　.
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答案
由全集U中含有11个元素，则有211个子集，其中按互补关系可配成210对，
(1)根据题意，每对不能同时取，否则它们的交集为空集，不符合题意；
(2)每对不能都不取，否则设集合A，B互补且都没有取，
若A不被取，因为已取的集合中有与集合A交集为空集的C，其中C一定是B的子集；
若B不被取，因为已取的集合中有与集合B交集为空集的D，其中D一定是A的子集，
而集合C与D的交集为空集，却都被取得了，此时与题意矛盾，
综上可得，实数k＝210＝1 024.

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