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查漏知识 03 初中数学中考解题技巧策略
目录
知识一 特殊三角形多解问题解决技巧策略 ......................................................2
模型 1.等腰三角形的角和边不确定 ...................................................................................................................2
模型 2.直角三角形的直角顶点不确定 ...............................................................................................................2
知识二 遇到中点如何添加辅助线问题解决技巧策略 ........................................2
模型 1.构造中位线模型 .......................................................................................................................................2
模型 2.构造中线模型 ...........................................................................................................................................3
模型 3.构造倍长中线(或类中线)模型.................................................................................................................3
知识三 遇到角平分线如何添加辅助线问题解决技巧策略 .................................4
模型 1.运用角平分线定理模型 ...........................................................................................................................4
模型 2.构造等腰三角形模型 ...............................................................................................................................4
模型 3.构造轴对称图形模型 ...............................................................................................................................4
知识四 辅助圆问题解决技巧策略 ....................................................................5
模型 1.定点定长构造辅助圆 ...............................................................................................................................5
模型 2.定弦定角构造辅助圆 ...............................................................................................................................6
模型 3.对角互补造辅助圆（四点共圆） ...........................................................................................................6
模型 4.定角定高构造辅助圆 ...............................................................................................................................6
模型 5.点圆最值构造辅助圆 ...............................................................................................................................7
知识五 线段最值问题解决技巧策略 .................................................................7
模型 1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 .......................................................................................7
模型 2.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 ...........................................................................................8
模型 3.最值模型之将军遛马模型 .......................................................................................................................9
模型 4.最值模型之将军造桥（过桥）模型 .....................................................................................................10
模型 5.最值模型之胡不归模型 .........................................................................................................................10
模型 6.最值模型之阿氏圆模型 .........................................................................................................................11
模型 7.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 .....................................................................................................12
模型 8.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 .....................................................................................................13
知识一 特殊三角形多解问题解决技巧策略
模型 1.等腰三角形的角和边不确定
方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为等腰三角形”这样的表述时，未明确哪两条边为腰，需考虑分
类讨论：①AB=AC(C ,C );②AB=BC(C ,C );③AC=BC(C )
解题方法：①求角度：根据等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段
长：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解，若出现 30°、45°的角时，可考虑用锐
角三角函数或含 30°、45°角的直角三角形的性质求解.
模型 2.直角三角形的直角顶点不确定
方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为直角三角形”这样的表述时，未明确哪个角为直角，需考虑分
类讨论：①∠A=90°(C );②∠B=90°(C );③∠C=90°(C ,C );
解题方法：①求角度：根据直角三角形的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段长：可用勾
股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解；若出现 30°、45°的角时，可考虑用锐角三角函数
或含 30°、45°角的直角三角形的性质求解；若出现中点，可考虑用直角三角形斜边中线的性质或者中位
线的性质求解。
知识二 遇到中点如何添加辅助线问题解决技巧策略
模型 1.构造中位线模型
情形 1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线.
条件:如图,在△ABC 中,点 D,E 分别为 AB,AC 的中点.
辅助线作法：连接 DE.
结论： = 12 , ∥ .
情形 2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线.
①条件:如图 1,在△ABC 中,D 是边 AB 的中点，且已知底边 BC 的长.
辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E(或取 AC 的中点 E,连接 DE).
1
结论： = 2 .
②条件:如图 2,在△ABC 中,D 是边 AB 的中点.辅助线作法:过点 A 作 AF∥CD,交 BC 的延长线于点 F.
1
结论：DC= 2AF;△BDC∽△BAF.
模型 2.构造中线模型
情形 1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线.
条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D 为斜边 AC 的中点.
辅助线作法：连接 BD.
结论： = = = 12
情形 2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题.
条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC 的中点.
辅助线作法：连接 AD.
结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
模型 3.构造倍长中线(或类中线)模型
情形 1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形.
条件:如图 1,在△ABC 中,AD 是 BC 边的中线.
辅助线作法 1:延长 AD 至点 E,使 DE=AD,连接 BE.
辅助线作法 2:过点 B 作 BE∥AC,交 AD 的延长线于点 E.
结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC 等.
情形 2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形.
条件:如图 2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是 AB 上一点,连接 DE.
辅助线作法 1:延长 ED 至点 F,使 DF=DE,连接 CF.
辅助线作法 2:过点 C 作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F.
结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF 等
知识三 遇到角平分线如何添加辅助线问题解决技巧策略
模型 1.运用角平分线定理模型
条件：如图，P 是∠MON 的平分线上一点，已知 PA⊥OM,垂足为 A.
辅助线作法:过点 P 作 PB⊥ON 于点 B.
结论:PA=PB.
模型 2.构造等腰三角形模型
1.条件:如图 1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点.
辅助线作法:过点 P 作 PQ∥OB,交 OA 于点 Q.结论：△POQ 是等腰三角形.
2.条件:如图 2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D 是 OA 上一点.
辅助线作法：过点 D 作 DE∥OC，交 BO 的延长线于点 E.
结论：△DOE 是等腰三角形.
3.条件：如图 3，P 是∠MON 平分线上一点，已知 AP⊥OP.
辅助线作法：延长 AP，交 ON 于点 B.
结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分 AB
模型 3.构造轴对称图形模型
1.截长法
条件:如图 1,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,且 AD 平分∠BAC.
辅助线作法:在 AB 上截取 AF=AC,连接 DF.结论:△ACD≌△AFD.
2.补短法
条件:如图 2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且 AD 平分∠BAC.
辅助线作法:延长 AC 至点 E,使 AE=AB,连接 DE.
结论:△AED≌△ABD
知识四 辅助圆问题解决技巧策略
模型 1.定点定长构造辅助圆
利用定点定长构造辅助圆的几种常见类型
类 一点作圆 三点定圆 旋转作圆 折叠作圆
型
图
示
特 平面内,点 0 为定点,点 A 0A=0B=0C △ABC 绕点 A 旋转得到△ 将ΔBEF 沿 EF 折叠 ,
点 为动点，且 OA 的长度 AB'C' 点 E 是定点,点 B 的对
固定 应点为点 G
作
法
结 点 A 在以点 0 为圆心， 点 A,B,C 均在 点 B,C 的运动轨迹分别是以点 点 G 的运动轨迹是以
论 0A 长为半径的圆上运动 eO 上 A 为圆心,以 AB,AC 的长为半径 点
的圆 E 为圆心,BE 长为半径
的一段圆弧
模型 2.定弦定角构造辅助圆
定弦定角构造辅助圆的几种常见类型
类型 定角为直角 定角为锐角 定角为钝角
图示
特点 在△ABC 中,已知 AB 的长, 在△ABC 中,已知 AB 的长,点 C 在△ABC 中,已知 AB 的长,点 C
点 C 为动点,且保持∠ 为动点,且保持∠ACB=a(a 为锐 为动点,且保持∠ACB=a(a 为钝
ACB=90° 角) 角)
动点
运动
轨迹
结论 点 C 在以点 0 为圆心，AB 点 C 在以点 0 为圆心,圆心角为 点 C 在以点 0 为圆心,圆心角为
长为直径的圆上运动 2a 的优弧 AB 上运 动(点 0,C (360°-2a)的劣弧 AB 上运动(点
在 AB 同侧) 0,C 在 AB 异侧)
模型 3.对角互补造辅助圆（四点共圆）
模型 如图①和②，Rt△ABC 和 Rt△ABD 共斜边，取 AB 的中点 O，连接 OC，OD，根据直角三角形斜边
描述 上的中线等于斜边的一半，可得 OC＝OD＝OA＝OB；
如图③，在四边形 ABCD 中，∠A＋∠C＝180°(或∠B ＋∠D＝180°)
模型
呈现
模型 (1)A，B，C，D 四点共圆；
结论 (2)在判断四点共圆后，可以根据圆周角定理等得到角度相等，完成角度之间等量关系的转换，此
模型是证明角相等的重要途径之一
模型 4.定角定高构造辅助圆
定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路:
图示
在△ABC 中，∠ACB 为定角，CD 是 AB 边上的高，且 CD 为定值
作法
作△ABC 的外接圆
结论 当构成等腰三角形(AC=BC)时,①AB 的长最小:②ΔABC 的周长最小;③△ABC 的面积最小
模型 5.点圆最值构造辅助圆
已知平面内一定点 D 和☉O，E 是☉O 上一动点，设点 O 与点 D 之间的距离为 d，☉O 的半
模型
径为 r，
描述
当 D，O，E 三点共线时，线段 DE 有最大(小)值
点 D 在☉O 内 点 D 在☉O 上 点 D 在☉O 外
模型
呈现
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
模型 如图①，DE 的最大值为 d＋
如图③，DE 的最大值为 2r；如图⑤，DE 的最大值为 d＋r；
r；如图②，DE 的最小值为 r－
如图④，DE 的最小值为 0 如图⑥，DE 的最小值为 d－r
结论 d
知识五 线段最值问题解决技巧策略
模型 1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值
条件：A，B 为定点，m 为定直线，P 为直线 m 上的一个动点，求 AP+BP 的最小值。
模型（1）点 A、B 在直线 m 两侧： 模型（2）点 A、B 在直线同侧：
A
A
m
B
B m
模型（1）点 A、B 在直线 m 两侧： 模型（2）点 A、B 在直线同侧：
A
A
B
m
m P
P
B A'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结 AB,根据两点之间线段最短，AP+BP 的最小值即为：线段 AB 的长度。
模型（2）：如图（2），作点 A 关于定直线 m 的对称点 A’,连结 A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP 的最小
值即为：线段 A’B 的长度。
模型 2.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B 为定点，在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。
两个点都在直线外侧（图 1-1）；内外侧各一点（图 1-2）；两个点都在内侧（图 1-3）
A
m
A m
m A n
n AB B
B n n m
图 1-1 图 1-1 图 1-1 图 2
模型（2）：一定点+两动点
条件：如图 2，A 为定点，在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使三角形 APQ 的周长（AP+PQ+QA）最小。
A
m
A n
P' P m
A'
m A'
A
P AP
B Q
Q nQ' B m
Q n Q
P
n
B B' B' A"
图 1-1 图 1-1 图 1-1 图 2
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结 AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB 的最小值即为：线段 AB 的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（ 1-2 ），作点 B 关于定直线 n 的对称点 B’, 连结 AB’, 根据对称得到： QB=QB’ ，故
PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB 的最小值即为：线段 AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点 B 关于定直线 n 的对称点 B’,作点 A 关于定直线 m 的对称点 A’,连结 A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故 PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB 的最小值即为：线段 A’B’的长度。
模型（2）：如图（2），作点 A 分别关于定直线 m、n 的对称点 A’、A’’,连结 A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故 PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到 PA+PQ+QA 的最小值即为：线段 A’A’’的长度。
模型 3.最值模型之将军遛马模型
将军遛马模型：已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧，且 PQ 间长度恒定，
在直线 m 上要求 P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。
点 A、B 在直线 m 异侧（图 1-1）；点 A、B 在直线 m 同侧 （图 1-2）；
A
A
B
m
P Q
m
B P Q
图 1-1 图 1-2
将军遛马模型（异侧型）：如图 1-1，过 A 点作 AC∥m,且 AC=PQ，连接 BC，交直线 m 于 Q，Q 向左平移 PQ
长，即为 P 点，此时 P、Q 即为所求的点。
∵PQ 为定值，∴求 PA+PQ+QB 的最小值，即求 PA+QB 的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形 APQC 为平行四边形，故 AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得 PA+QB 的最小值为 CB，故 PA+PQ+QB 的最小值=PQ+CB.
A E
A C
B
m m
P Q P Q
B B'
图 1-1 图 1-2
将军遛马模型（同侧型）：如图 1-2，过 A 点作 AE∥m,且 AE=PQ，作 B 关于 m 的对称点 B’，连接 B’E，交直
线 m 于 Q，Q 向左平移 PQ 长，即为 P 点，此时 P、Q 即为所求的点。
∵PQ 为定值，∴求 PA+PQ+QB 的最小值，即求 PA+QB 的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形 APQE 为平行四边形，故 AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得 QB’=QB，即 QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得 QE+QB’的最小值为 EB’，故 PA+PQ+QB 的最小值=PQ+EB’。
模型 4.最值模型之将军造桥（过桥）模型
将军造桥（过桥）模型:已知，如图 2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建
造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。
将军 A
将军 A
M M
河 A' 河
N N
B 军营 B 军营
图 2-1 图 2-2
将军造桥（过桥）模型：如图 2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN 为定值，∴求 AM+MN+NB 的最小值，即求 AM+NB 的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得 AM+NB 的最小值为 A’B，故 AM+MN+NB 的最小值=A’B+MN。
模型 5.最值模型之胡不归模型
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽
然从他此刻位置 A 到家 B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙
子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
B
砂石地 V1
V1
A V C
驿道
2
模型 6.最值模型之阿氏圆模型
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点 A、B，动点 P 满足 PA/PB=k（k 为常数，且 k≠1）），
那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯
圆，简称为阿氏圆。
P
A B O
如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A OP、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 r=k·OB（即 k ），
OB
连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？最小值是多少呢？
如图 2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r OC k OP k OP OC（即 ），∵ ，∴ ，
OP OB OB OP
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP PC，∴ k ，即 k·PB=PC。
PB
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与 A 与 C 为定点，P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小，如图 3 所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在
于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于 1）；点在圆内：向外取点（系数大于 1）；一内
一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中 P 点
轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
模型 7.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨
迹相同。
只要满足：
1 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹、两“动”，一“定”
长度的比和它们到定点的距离比相同。
2、两动点与定点的连线夹角是定角
3、两动点到定点的距离比值是定值
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直
线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
模型 1）如图，P 是直线 BC 上一动点，A 是直线 BC 外一定点，连接 AP，取 AP 中点 Q，当点 P 在直线上
运动时，则 Q 点轨迹也是一条直线。
A A
Q Q
B P C B P N M C
证明：分别过 A、Q 向 BC 作垂线，垂足分别为 M、N，在运动过程中，
因为 AP=2AQ，所以 QN 始终为 AM 的一半，即 Q 点到 BC 的距离是定值，故 Q 点轨迹是一条直线．
模型 2）如图，在△APQ 中 AP=AQ，∠PAQ= 为定值，当点 P 在直线 BC 上运动时，则 Q 点轨迹也是一条
直线。
证明：在 BC 上任取一点 P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1= ，AQ1=AP1，连结 Q1Q 交 BC 于点 N，
∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ= ， APP1 AQQ1 ，∴∠APP1=∠AQQ1，
∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ= ，即 Q 点所在直线与 BC 的夹角为定值，故 Q 点轨迹是一条直线．
模型 8.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一
个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”
线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋
转、全等和相似。
模型（1）、运动轨迹为圆弧
模型（1-1）. 如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，Q 为 AP 中点．Q 点轨迹是？
分析：如图，连接 AO，取 AO 中点 M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点 Q 是以 M 为圆心，MQ 为半径的圆。
P
Q
A Q P O A M O
模型（1-2）. 如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，作 AQ⊥AP 且 AQ=AP，当点 P 在圆 O 上
运动时，Q 点轨迹是？
分析：如图，连结 AO，作 AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且 MQ=PO。
则动点 Q 是以 M 为圆心，MQ 为半径的圆。
Q
M
Q
P
A P O
A O
模型（1-3）. 如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且 AP=k AQ，当 P 在圆 O 运动时，Q 点轨迹是？
分析：如图，连结 AO，作 AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为 k。
则动点 Q 是以 M 为圆心，MQ 为半径的圆。
Q M
Q
P P
A O A O
模型（1-4）.为了便于区分动点 P、Q，可称 P 为“主动点”，Q 为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；②主动点、从动
点到定点的距离之比是定量（AP：AQ 是定值）。
Q Q
M
P
α α P
A O A α O
分析：如图，连结 AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点 Q 是以 M 为圆心，MQ 为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若 P 为动点，但 AB=AC=AP，则 B、C、P 三点共圆，则动点 P 是以 A 圆心，AB 半径的圆或圆弧。
P
P PP P
P
A B
O
A B
（2） 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若 P 为动点，AB 为定值，∠APB=90°，则动点 P 是以 AB 为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若 P 为动点，AB 为定值，∠APB 为定值，则动点 P 的轨迹为圆弧。

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