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(共9张PPT)
12.5 分式方程的应用
第十二章 分式和分式方程
知1－讲
感悟新知
知识点
分式方程的应用
1
1. 列分式方程常用的等量关系
(1) 行程问题： 速度 × 时间 = 路程 .
(2) 销售问题： 利润 = 售价 - 进价；利润率 = × 100%.
(3) 工程问题： 工作量 = 工作时间 × 工作效率；
总工作量 = 各个分工作量之和 .
知1－讲
特别解读
1. 审题时，先寻找题目中的关键词，准确找出等量关系. 当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）数量的等量关系列方程.
2. 设未知数时，一般题中问什么就设什么， 即设直接未知数；若设直接未知数难以列方程，则可设一个相关量为未知数，即设间接未知数；有时设一个未知数无法表示出等量关系，可设多个未知数， 即设辅助未知数.
2. 列分式方程解应用题的一般步骤
(1) 审：即审题，根据题意找出等量关系.
(2) 设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量.
(3) 列： 即列方程，根据等量关系列出分式方程 .
知1－讲
(4) 解： 即解所列的分式方程，求出未知数的值.
(5) 验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方 程，又要检验此解是否符合实际意义. .
(6) 答：即写出答案，注意单位，答案要完整 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是 4 800 kg，今年龙虾的总产量是6 000 kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60 kg，求今年龙虾的平均亩产量.
例1
考向：利用分式方程解决实际问题
知1－练
解：设今年龙虾的平均亩产量是 x kg，则去年龙虾的平均亩产量是( x－60) kg，
由题意，得 = ，解得 x=300.
经检验， x=300 是分式方程的解 .
答：今年龙虾的平均亩产量是 300 kg．
解题秘方：根据去年与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
知1－练
1-1. [ 中考·台州 ]3 月12 日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12 棵；第二组比第一组多 6 人，植树 36 棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 _____人 .
3
变式训练
分式方程的
应用
审、设、列、解、验、答
行程问题
分式方程的应用
一般步骤
常见类型
销售问题
工程问题
方案选择问题(共39张PPT)
12.3 分式的加减
第十二章 分式和分式方程
知1－讲
知识点
同分母分式的加减法
1
同分母的分式加减法法则
同分母的两个分式相加(减) ，分母不变，把分子相加(减) . 用字母表示为 ± = .
可类比同分母分数的加减法法则.
注意：结果应化成最简分式或整式.
知1－讲
特别解读
在计算时，各分子都应用括号括起来，若分子是系数为正的单项式， 则括号可以省略；若分子是多项式，且分子相减时，则括号不能省略， 否则容易出现符号错误.
知1－练
[母题 教材 P14 例 1] 计算：(1) － ；
(2) ＋； (3) ＋－ .
例1
解题秘方：按照同分母分式的加减法法则进行计算即可，结果要化为最简分式或整式.
考向：利用同分母分式的加减法法则计算
知1－练
解： － = == － .
(1) － ；
(2) ＋；
＋= = = .
知1－练
解： ＋－ = － － = =1.
(3) ＋－ .
分母互为相反数，化为同分母时，分式前面的符号要随之改变.
知1－练
1-1. [ 中考·上海 ] 化简 － 的结果为__________ .
2
变式训练
知1－练
1-2.计算： (1) － ；
(2) ＋ － .
知2－讲
知识点
通分
2
1. 分式的通分 把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫作分式的通分，这个相同的分母叫作这几个分式的公分母. 几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母.
知2－讲
2. 确定最简公分母的一般方法：
(1) 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各分母系数的最小公倍数、各分母相同字母的最高次幂、各分母所有不同字母连同其指数的乘积；
(2) 如果各分母中有多项式，就先把多项式分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定.
知2－讲
特别解读
约分与通分的联系与区别：
(1)约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变形之后每个分式的值都不变.
(2)约分是针对一个分式来说的，约分可使分式得以化简，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母的分式化为同分母的分式.
知2－讲
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
知2－练
把下列各组分式通分：
(1) ， ； (2) ， ；
(3) ， ， .
例2
考向：利用通分的步骤对分式进行通分
解题秘方：先确定最简公分母，然后再通分 .
知2－练
解：最简公分母是 12x3y2z3，
= = ，
= = .
(1) ， ；
知2－练
解：最简公分母是(x ＋ 1)(x － 1)，
==，
= =.
(2) ，
知2－练
解：最简公分母是 3(x－y) 2，
= = ，
= － = － = － ,
= = = .
(3) ， ， .
知2－练
2-1. (1)分式 ， 的最简公分母是 _________，通分
为 ________________；
(2)分式 ， 的最简公分母是_______________ ，
通分为 __________________________.
3a2b2c
a(a＋1)(a－1)
变式训练
知2－练
2-2.通分： (1) x －y ， ；
知2－练
(2) ， ， .
知3－讲
知识点
异分母的分式加减法
3
1. 异分母的分式加减法法则 异分母的两个分式相加(或相减)，先通分，化为同分母的分式，再相加(或相减).
用字母表示为 ± = ± = .
知3－讲
2. 异分母的分式相加减的一般步骤
(1)通分： 将异分母的分式转化为同分母的分式；
(2)加减：按照同分母分式的加减运算的一般步骤进行计算.
注意异分母分式的加减运算的关键是通分.
特别解读: 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积.
知3－练
[母题 教材 P17 例 3 ]计算：
(1) ＋ ；(2) a＋2－ .
例3
考向：利用异分母分式的加减法法则计算
解题秘方：先找最简公分母，进行通分，变为同分母的分式，再按照同分母分式的加减法法则进行计算.
知3－练
解：原式=－ =
－ =
= = = = － .
(1) ＋ ；
将分母“4-x”变为“x-4” ，提出的“-” 放在分式的前面，使本来的“+”变为“-”.
知3－练
解：原式= －
= － = － .
(2) a＋2－ .
在通分时，把整式看成分母是1，分子是该整式的分式，若该整式是多项式，则看成一个整体，通分时要带上括号.
知3－练
3-1. [ 中考·山西 ] 化简 － 的结果是( )
A. B.a－3
C. a＋3 D.
A
变式训练
知3－练
3-2. [ 中考·临沂 ] 计算 － a － 1 的结果正确的是( )
A. － B.
C. － D.
B
知3－练
3-3.计算：(1)＋；
(2) －；
知3－练
(3) －
知4－讲
知识点
分式的混合运算
4
分式的混合运算顺序
分式的混合运算与数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，最后算加减. 有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行.
知4－讲
特别提醒
1. 将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用运算律.
2. 运算结果是最简分式或整式.
知4－练
[母题 教材 P18 例 4 ]计算：
(1) － ·() 2；
(2) ÷(－ a － 2b) ；
(3)( － )·.
例4
考向：利用分式的混合运算顺序进行计算
知4－练
(1) － ·() 2；
解题秘方：先确定运算顺序，再计算.
解：原式 = － · =
－= －.
知4－练
解：原式 = ÷ [－] = ÷= ·
= － .
(2) ÷(－ a － 2b) ；
将a 与2b 的运算看成一个整体进行通分.
知4－练
解：原式 = ( － ) ·
= · － ·
=a+3－(a－3)
=6 .
(3)( － )·.
知4－练
4-1.化简 (a －) ÷ 的结果是( )
A.a － b B.a ＋ b
C. D.
B
变式训练
知4－练
4-2. (1) [中考·重庆] (1+) ÷ ；
知4－练
(2) [ 中考·青岛 ] () ·；
知4－练
(3) (－ ) ÷ .
分式的加减
与乘除
形成
混合
运算
分式的加减
同分母
异分母
运算顺序
运算律(共64张PPT)
12.1 分 式
第十二章 分式和分式方程
知1－讲
知识点
分式的概念
1
1. 定义 一般地，我们把形如 的代数式叫做分式，其中， A，B 都是整式，且 B 含有字母 . A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母 .
分式的三要素： (1)形如 的代数式； (2) A， B 都为整式；(3)分母 B 含有字母 .
知1－讲
特别解读
1. 分式可看成是两个整式相除的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用.
2.判断一个式子是不是分式，不能将原式子进行变形后再判断，而必须按照本来的“面目”进行判断. 如： 是分式.
2. 分式与分数、整式的关系
(1) 分式的分母含有字母．由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值时的特殊情况..
(2) 分式与整式的根本区别就是分式的分母含有字母.
知1－讲
知1－练
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
， － 2x2， ， ，， ， (3x － y)， ， .
例1
考向：利用分式的概念识别分式
知1－练
解：分式有 ， ， ， ；
整式有－ 2x2， ，，
(3x － y)， .
解题秘方：利用分式的三要素进行判断即可 .
从原代数式的形式上判断，
不能对其化简结果进行判断.
π 是常数，不能当字母看.
知1－练
方法点拨：判断一个式子是不是分式的方法：
首先要具有 的形式，其次 A， B 是整式，最后看分母中是否含有字母.分式只注重形式而不注重结果，分母中含有字母是判断分式的必要条件.
知1－练
变式训练
1-1.式子 x， ， ， ， 中，属于分式的有 _____个 .
3
知1－练
1-2. [模拟·秦皇岛]已知四张卡片上面分别写有6， x － 1，x2 － 1，π ＋ 1，从中任选两张卡片，可以组成的一个分式为___________ . (写出一个即可)
知2－讲
知识点
分式有意义和无意义的条件
2
1. 分式有意义的条件分式的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即当 B ≠ 0 时，分式 才有意义 .
分母不能为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0.
知2－讲
2. 分式无意义的条件
分式的分母为 0，即当 B= 0 时，分式 无意义 .
知2－讲
特别提醒
分式是否有意义， 只与分式的分母是不是0 有关，而与分式的分子是不是0 无关.
知2－练
考向：利用分式有意义和无意义的条件确定字母的值或取值范围
类型1：分式有意义的条件在求字母取值范围中的应用
知2－练
[母题 教材 P4 练习 T1 ]当 x 满足什么条件时，下列分式有意义？
(1) ；(2) ； (3) ；
(4) .
例2
解题秘方：分母的值不等于 0 时，分式有意义 .
(1)
(2)
知2－练
解：当 5x－3 ≠ 0，即 x ≠ 时，分式 有意义 .
当 |x|－1 ≠ 0，即 x ≠ ± 1 时，分式 有意义 .
(3)
(4) .
知2－练
解：因为不论 x 取什么值，都有 x 2＋3>0，所以 x 取任何数，分式 都有意义 .
当(x－2)( x＋4) ≠ 0，即 x ≠ 2 且 x ≠－4 时，分式有意义 .
只能对原分母进行讨论，不能先约分化简，否则会使取值范围扩大.
知2－练
2-1. [期末·廊坊霸州市] 要使分式 有意义，则 x 应满足的条件是_________ .
x≠3
变式训练
知2－练
2-2.当 x= － 1 时，下列分式中有意义的是( )
A. B.
C. D.
C
知2－练
分式 中的 x 满足什么条件时，分式无意义？
例3
解题秘方：分母的值等于 0 时，分式无意义 .
解：要使分式 无意义，则分母 x2 － 16=0，
即 x 2=16，解得 x=± 4. 所以当 x=± 4 时，分式 无意义 .
类型2 分式无意义的条件在求字母的值中的应用
知2－练
3-1. [ 期末·邯郸 ] 已知当 x=2 时，分式 无意义，则□所表示的代数式可以是( )
A. x － 2 B. x ＋ 2
C. x D. 2x
A
变式训练
知3－讲
知识点
分式的值为 0 的条件
3
1. 分式的值为 0 的条件
当分式的分子等于 0 且分母不等于 0 时，分式的值为 0. 即对于分式 ，当 A=0 且 B ≠ 0 时， =0.
知3－讲
2. 对常见的几种特殊分式值情况的讨论(拓展)
(1)若 的值为正数，则 或 ；
(2)若 的值为负数，则 或 ；
(3)若 的值为 1，则 A=B，且 B ≠ 0；
(4)若 的值为 －1，则 A=－B，且 B ≠ 0.
知3－讲
特别提醒
1. 分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的，所以分式的值为0的条件：A=0 且 B ≠ 0，二者缺一不可 .
2. 对分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母.
知3－练
当 x 取何值时，下列分式的值为 0 ？
(1) ； (2) ； (3) .
例4
解题秘方：分式的值为 0 的条件是分子为 0，分母不为 0.
考向：利用分式的值为0 的条件求字母的值
知3－练
解：由得 x= － 2，所以当 x= － 2 时，分式 的值为 0.
(1)
(2)
由得 x= － 3，
所以当 x= － 3 时，分式 的值为 0.
若AB ≠ 0，则A≠ 0
且B≠ 0.
知3－练
解：由得 x=3，
所以当 x=3 时，分式的值为 0.
(3) .
若 AB=0，
则 A=0 或 B=0.
知3－练
教你一招：求使分式值为0 的字母值的方法：
解题时可以先求出使分子为 0 的字母的值，再检验这个值是否使分母的值为0，当分母的值不为0 时，这个值就是所要求的字母的值. 切记使分母的值为 0 的值必须舍去 . 若有多个值使分式的值为 0，则这几个值之间用“或”连接 .
知3－练
4-1. [ 中考·湖州 ] 若分式 的值为 0，则 x 的值是( )
A.1 B.0
C. －1 D. －3
A
变式训练
知3－练
4-2.当 x=1 时， 下列分式的值为 0 的是( )
A. B.
C. D.
B
知3－练
4-3. [期中·秦皇岛海港区 ] 若 a， b 为有理数，且 =0，求 3a － b 的值 .
知4－讲
知识点
分式的基本性质
4
分式的基本性质 分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变 .
用字母表示为 = ， = . 其中， M 是不等于 0 的整式 .
知4－讲
特别解读
1. 应用性质时，要理解“ 同” 的含义：一是要同时进行乘法（或除法）运算；二是乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0 的整式 .
2. 分式的符号法则（拓展）：= = － ；
－ = = = .
知4－讲
考向：利用分式的基本性质对分式进行变形
类型1 分式的基本性质在分式变形中的应用
知4－练
[母题 教材 P5 习题 T3 ] 写出下列等式中未知的分子或分母：
(1) = ；(2) = ；
(3) = ；(4) = .
例5
5y
a 2＋2ab
x－y
－x－y
知4－练
解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子 .
解：右边的分子 3x 是由左边的分子 15x 2y 除以 5 x y 得到的，所以右边的分母由左边的分母 25xy2 除以 5x y 得到，结果是 5y.
(1) =
知4－练
解：右边的分母 a 2b2 是由左边的分母 ab2 乘 a 得到的，所以右边的分子由左边的分子 a+2b 乘 a 得到，结果是 a2+2ab.
(2) =
(3) =
右边的分子 3 是由左边的分子 3x 除以 x 得到的，所以右边的分母由左边的分母 x 2－xy 除以 x 得到，结果是 x－y.
知4－练
解：右边的分母 x2－y2 是由左边的分母 y－x 乘 －x－y 得到的，所以右边的分子由左边的分子 1 乘 －x－y 得到，结果是 －x－y.
(4) = .
知4－练
5-1.下列分式与分式相等的是( )
A. B. C. － D.
D
变式训练
知4－练
5-2.根据分式的基本性质填空：
(1) = ； (2) =；
(3) =； (4) = .
3b　
m2－n2
x2
2x2
知4－练
不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母的首项系数都不含“－” .
(1) ；(2) ；(3) ；(4) － .
例6
解题秘方：分式的分子、分母及分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变 .
类型2 分式的基本性质在改变分式的符号中的应用
知4－练
解：=.
(1) ；
(2) ；
= －.
(3) ；
(4) － .
知4－练
解： = －.
－ = .
知4－练
6-1.下列分式 中，与 的值相等的是( )
A. B.
C. D.
D
变式训练
知4－练
[ 期中·石家庄新华区] 把分式 ( n ≠ 0)中的 m 和 n 同时扩大为原来的 2 倍，那么分式的值( )
A. 扩大为原来的 2 倍 B. 不变
C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的
例7
类型3 分式中字母的取值变化对分式值的影响
知4－练
解题秘方：将分式中的 m 和 n 同时扩大为原来的 2 倍，再代入原分式，利用分式的基本性质变形 .
知4－练
解：把分式 ( n ≠ 0)中的 m 和 n 同时扩大为原来的2 倍，可将分式变为 = = ，因此分式的值缩小为原来的 .
答案： C
知4－练
7-1.若分式 中的 x 和 y 都扩大为原来的 3 倍后，分式的值不变， 则 A 可能是( )
A. 3x ＋ 2y B. 3x ＋ 3
C. 2xy D. 3
A
变式训练
知4－练
不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数:
(1) ； (2) .
例8
解题秘方：利用分式的基本性质将分子、分母同时乘同一个数，使系数都化为整数 .
类型4 分式的基本性质在化系数为整数中的应用
知4－练
解： = =.
(1) ；
(2) .
= = .
知4－练
教你一招：利用分式的基本性质化系数为整数的方法：
若各项系数都是小数，则分子、分母同乘 10 的正整数倍；若各项系数都是分数，则分子、分母同乘分子和分母中所含分数的分母的最小公倍数； 若各项系数既有小数又有分数，则要先统一成小数或者分数，然后化为整数 . 注意将系数化为整数的过程中不要漏项 .
知4－练
8-1.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．
(1) ； (2) .
变式训练
知5－讲
知识点
约分和最简分式
5
1. 分式的约分
把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分 .
注意： 约分不改变分式的值，但可能改变分式中字母的取值范围，因此在确定分式中字母的取值范围时，不能约分 .
知5－讲
2. 找公因式的方法
(1) 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；
(2) 当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，把分子、分母化为几个因式的积后，再找出分子、分母的公因式 .
知5－讲
3. 最简分式
分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式 .
知5－讲
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和分母的公因式.
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式.
3. 约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式 .
知5－练
[母题 教材 P6 例 2 ]约分：
(1) ；(2) ； (3) .
例9
考向：利用约分的方法对分式约分
类型1 分式的约分在化简中的应用
知5－练
解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；
(1) ；
解： = =－ .
知5－练
解题秘方：(2)中把 x － y 看成一个整体进行约分；
(2) ；
解： ==.
知5－练
解题秘方： (3)中的分子、分母都是多项式，先将分子、分母分解因式，再进行约分 .
(3) .
解： =
= = －.
知5－练
9-1.约分： (1) ；
(2 .
变式训练
知5－练
下列各式中，最简分式有 ________________.
， ， ， ，
例10
和
解题秘方：根据最简分式的定义识别 .
类型2 最简分式的定义在识别最简分式中的应用
知5－练
解： = =；
==；
==.
所以最简分式有 和 .
答案： 和
知5－练
10-1.下列分式中，哪些是最简分式？哪些不是最简分式？如果不是最简分式，请你将其化成最简分式.
(1) ；
(2) ；
(3) ．
解：是最简分式．
变式训练
分 式
约分
分式的基
本性质
分 式
分式有意义
的条件
分式的值为
0的条件(共28张PPT)
12.2 分式的乘除
第十二章 分式和分式方程
知1－讲
知识点
分式的乘法
1
分式的乘法法则
分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 . 用字母表示为 · = .
可类比分数的乘法运算.
知1－讲
特别解读
1. 运算的结果应为最简分式或整式.
2. 分式的乘法法则可以推广到多个分式相乘，如 · · ·… · = .
知1－练
[母题 教材 P8 例 1 ] 计算：
(1) · ； (2) · (－4xy2)；
(3) · .
例1
考向：利用分式的乘法法则进行分式的乘法计算
整式的分母可看成1.
解题秘方：利用分式的乘法法则进行计算.
知1－练
解： ·==.
(1) ·
(2) ·( － 4xy2)
(3) ·.
·( － 4xy2) =－ ·4xy 2=－.
结果化为最简形式 .
先确定积的符号，再运算.
· =·= .
分子或分母是多项式的，先分解因式.
知1－练
1-1.计算 · 的结果是( )
A. 2(m－n) 2
B. 2(m2－n2)
C. 2(m－n)
D. 2( m＋n)
C
变式训练
知2－讲
知识点
分式的乘方
2
分式的乘方法则 分式乘方就是把分子、分母分别乘方 .用字母表示为() n= ( n 为正整数) .
知2－讲
说明：
(1) 分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同；
(2) 分式乘方时，一定要将分子、分母分别乘方，不能将() n= 错写成 () n= ；
知2－讲
(3) 分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现 () n= 的错误 .
知2－讲
特别解读
1. 分式乘方是分式乘法中因式相同时的一种特殊情况，因此分式乘方都可转化为分式乘法进行计算.
2. 在计算时先确定结果的符号，再把分子、分母分别乘方.
知2－练
[母题 教材 P10 习题T4 ]计算：
(1)() 4；(2) () 3；(3) () 3；
(4) () 2.
例2
考向：利用分式的乘方法则进行分式的乘方运算
解题秘方：先运用分式乘方的法则将分子、分母分别乘方，再运用幂的乘方和积的乘方的性质进行计算 .
知2－练
解： () 4 ==.
(1) () 4
(2) () 3
() 3 == － .
负数的奇数次方为负.
知2－练
解： () 3 ==.
(3) () 3
(4) () 2
() 2 = =.
知2－练
2-1. [ 期中·石家庄桥西区] 计算：
(1) () 3；
(2) () 5.
变式训练
知3－讲
知识点
分式的除法
3
分式的除 法法则 把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘.
用字母表示为 ÷=·= .
知3－讲
特别解读
1. 分式的除法与分数的除法类似，可类比分数的除法计算.
2. 当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的分式进行运算.
知3－练
[母题 教材 P11 例 3] 计算：
(1) ÷ ； (2) ÷(－2xy2)；
(3)( a2－ab) ÷ ； (4) ÷.
例3
解题秘方：利用分式的除法法则将分式的除法运算转化为分式的乘法运算.
考向：利用分式的除法法则进行分式的除法计算
(1) ÷
(2) ÷(－2xy2)
知3－练
解：原式= ==－ .
原式= ·=－= － .
知3－练
解：原式=a (a－b) ÷ =
a (a－b) · = － a2b.
(3)(a2－ab) ÷
知3－练
解：原式=·
=
=.
(4) ÷.
知3－练
3-1. [月考·保定莲池区]计算： (1) ÷ ；
(2) ÷ ( x ＋ 3) .
变式训练
知4－讲
知识点
分式的乘除混合运算
4
分式的乘除混合运算
在运算时，乘、除是同一级运算，若没有其他附加条件（如括号等），则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算.
知4－讲
特别提醒
1. 分式的乘除、乘方混合运算关键有两点：
一是正确选择运算顺序；二是正确运用运算法则.
2. 运算的结果应化为最简分式或整式.
知4－练
[母题 教材P13 习题T3] 计算：
(1) ÷ · ；
(2) ÷( x ＋ 1) · ；
例4
考向：利用分式的乘除运算法则进行分式的混合运算
知4－练
解题秘方：分式乘除混合运算统一为分式乘法运算.
解：原式 = · · =.
(1) ÷ · ；
知4－练
解：原式 = ·· (－ )
= －
= － .
(2) ÷( x ＋ 1) · ；
知4－练
4-1. 计算：(1)· ÷；
(2) ÷(x ＋ 2)·；
变式训练
分式的乘除
转化
分式的乘法
混合运算
分式的乘除
分式的乘方
分式的除法
转化(共31张PPT)
12.4 分式方程
第十二章 分式和分式方程
知1－讲
知识点
分式方程的概念
1
1. 分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程 .
2. 判断一个方程是分式方程的条件
(1)是方程；
(2)含有分母；
(3)分母中含有未知数 . 以上三者缺一不可 .
知1－讲
特别解读
1. 方程的分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据.
2. 识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的性质变形.
知1－练
判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.
(1) =8；(2) = ；
(3) =1；(4) = ； (5) －2=x( a 为非零常数) .
例1
考向：利用分式方程的概念识别分式方程
知1－练
解：(1)不是分式方程，因为分母中不含未知数.
(2)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(3)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(4)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(5)不是分式方程，因为分母中的a 是非零常数，不是未知数.
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有未知数进行识别 .
知1－练
1-1.下列关于 x 的方程是分式方程的是( )
A. =1 － B. =2 ＋ x
C. ＋ =1 D. =1
D
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知2－讲
知识点
分式方程的解法
2
1. 分式方程的解
使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫作分式方程的解(也叫作分式方程的根).
知2－讲
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
特别提醒
1. 解分式方程的关键是去分母.去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来 .
2. 解分式方程一定要检验，对于使最简公分母为0的解必须舍去.
知2－讲
3. 检验方程解的方法
(1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
(2)将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确.
一般选用方法 (1)
知2－练
[母题 教材 P23 练习T1]解下列方程：
(1) = ； (2) － =1；
(3) ＋ =.
例2
考向：利用解分式方程的步骤解分式方程
解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，得到分式方程的解.
知2－练
解：方程两边同乘( x－4)( x－6)，
得 x(x－6) =(x＋2)(x－4)，解得 x=2 .
检验：当 x=2 时，( x－4)( x－6) ≠ 0.
所以原分式方程的解为 x=2 .
(1) = ；
知2－练
解：方程两边同乘 3( x－1)，
得 4x＋6－3(5x－4) =3( x－1)， 解得 x= .
检验： 当 x= 时， 3(x－1) ≠ 0.
所以原分式方程的解为 x= .
(2) － =1
知2－练
解：原方程可化为 ＋ =.
方程两边同乘 x( x＋2)(x－2)，
得 4(x－2)+7x=6 ( x＋2) ，解得 x=4.
检验：当 x=4 时， x ( x＋2)(x－2)≠ 0.
所以原分式方程的解为 x=4.
(3) ＋ =.
知2－练
2-1. [ 中考·淮安 ]方程=1 的解是________ .
x＝－2
变式训练
知2－练
2-2.当 x=______ 时，代数式 的值比 的值大 1.
知2－练
2-3.解方程： (1) =2 － ；
知2－练
(2) － =1.
解：去分母，得2＋x(x＋2)＝x2－4，
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，x2－4≠0，
∴原分式方程的解为x＝－3.
知2－练
2-4.对于任意的数a， b，规定新运算：a※ b=(a ＋ b)÷ b. 若 ※ () +1= ，求 m 的值 .
知2－练
知3－讲
知识点
分式方程的增根
3
1. 增根 在解分式方程时，首先通过去分母将分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程，然后将整式方程的根代入分式方程 (或公分母) 中检验. 当分母的值不等于0 时，这个整式方程的根就是分式方程的根；当分母的值为0 时，分式方程无解，我们把这样的根叫作分式方程的增根.
知3－讲
2. 分式方程产生增根的原因 事实上，解分式方程产生增根， 主要是在去分母时造成的. 根据等式的性质，等式的两边同乘(或除以)一个不等于0 的数，所得的结果仍是等式. 而在解分式方程时，由于去分母是将方程左右两边同乘公分 母，但此时还无法确定所乘的公分母的值是不是0，于是， 未知数的取值范围可能就扩大了. 如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母的值为0，就产生了增根. 增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.
知3－讲
特别解读
对增根的理解：
(1) 增根一定是分式方程化为的整式方程的解；
(2)若分式方程有增根，则它使最简公分母的值为0.
知3－练
[母题 教材 P21 观察与思考] 解方程： +=1.
例3
考向：利用增根的定义求解
题型1 解有增根的分式方程
解：方程两边同乘(x － 1)(x ＋ 1)，
得( x ＋ 1) 2 － 4=( x － 1)(x ＋ 1), 得 x=1.
检验：当 x=1 时，( x － 1)(x ＋ 1) = 0，
所以 x=1 是原分式方程的增根，原分式方程无解 .
知3－练
3-1. 解分式方程： (1) [期末·廊坊安次区] +3= ；
解：去分母，得x＋3(x－2)＝4－x，解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，
∴x＝2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
变式训练
知3－练
(2) － =.
解：去分母，得2(x＋2)－4＝x－2，解得x＝－2.
检验：当x＝－2时，x2－4＝0，
∴x＝－2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
知3－练
若关于 x 的分式方程 2＋ = 有增根，则增根是________ ， m 的值是 ________.
例4
题型2：利用分式方程的增根求方程中字母的值
x=2
3
知3－练
解：分式方程 2＋ = 的最简公分母为 x － 2.
∵ 分式方程有增根，
∴ x － 2=0，解得 x=2， ∴ 增根是 x=2.
分式方程去分母，得 2( x － 2) +1 － m= － x，
把 x=2 代入方程，得 2×( 2 － 2) +1 － m= － 2，解得 m=3.
知3－练
4-1. [ 期中·石家庄新华区] 已知点 A， B 在数轴上所对应的数分别为 ， ， A， B 两点关于原点对称．
(1)当m=2 时，求 x的值；
变式训练
知3－练
(2)若不存在满足条件的x，求 m 的值．
分式方程
产生
分式方程
解法
增根

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