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4.5 课时1 垂线
1.理解垂线的概念；
2.掌握垂线的两条性质并能运用其解决相关的数学问题.
下列图片中，直线相交成什么特殊角？
当两条直线相交成直角时，它们的位置关系在数学中如何定义？这样的关系会使得图形具有哪些性质？
直角
A
B
C
D
将宣传栏的上下边框与两侧边框均看作直线，如图所示，则上下两条直线与左右两条直线分别相交成多少度的角？
垂线的概念
垂直符号：⊥
它们的交点叫做垂足．
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线.
直线 AB 与CD互相垂直(O为垂足)，
记作“AB⊥CD”.
A
B
C
D
O
读做“AB 垂直于 CD”.
知识要点
两条直线互相垂直的情形在生活中随处可见，举出教室内一些互相垂直的实例.
议一议
若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其中一条直线为另一条直线的斜线.
如图，直线 CD 是 直线AB 的斜线，
同样，直线 AB 也是直线 CD 的斜线.
总结：两直线相交，则其中一条直线是另一条直线的垂线
或斜线.
(1) 如图，在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么 a // b 吗？请说明理由.
解：因为 a⊥l， b⊥l，
所以 ∠1 ＝∠2 ＝ 90 ° ，
所以 a∥b (同位角相等，两直线平行)．
垂线的性质
(2) 如图，在同一平面内，如果直线 a∥b，l⊥a，那么 l ⊥ b 吗？请说明理由.
解：因为 l⊥a，所以∠1 ＝ 90°．
因为 a∥b，
所以∠2＝∠1＝90°(两直线平行，同位角相等)，
因此 l ⊥ b．
知识要点
1. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
2. 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条.
垂线的性质：
例1 在如图的简易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1 ＝ 60°，求∠2 的度数．
解: 因为 BD，AE 都垂直于 CG，
所以 BD∥AE (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)，
从而∠2 ＝∠1 ＝ 60°(两直线平行， 同位角相等)．
例2 如图，在△ABC中，CD⊥ AB于点 D，∠1＝∠2，求∠BEF的度数．
解: 因为 CD⊥AB，
所以∠BDC = 90° (垂直的定义).
又因为∠1 =∠2，
所以 DC∥EF (同位角相等，两直线平行)，
所以∠BEF =∠BDC = 90° (两直线平行，同位角相等).
解：因为 EO⊥CD，
所以∠DOE=90°(垂直的定义)，
因为∠BOE = 60°，
所以∠BOD = 30° (余角的定义)，
所以 ∠AOC = ∠BOD = 30° (对顶角的性质).
1. 直线 AB，CD 相交于点 O， EO⊥CD， ∠BOE ＝ 60°，求∠1 的度数．
60°
1
2. 如图， DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，求∠C的度数．
解：因为 DA⊥AB， CD⊥DA，
所以 CD∥AB (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
所以∠B +∠C=180° (两直线平行，同旁内角互补)，
所以∠C = 180°－ 56°=124°.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.
垂
线
定义
性质
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角，则称这两条直线互相垂直. 其中一条直线叫作另一条直线的垂线.

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