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(共19张PPT)
4.5 课时2 垂线段
与点到直线的距离
1.通过画已知直线的垂线，掌握垂线的基本事实；
2.理解垂线段的概念；
3.知道垂线段最短是定义点到直线的距离的依据，能
度量点到直线的距离.
垂线的定义：
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是 ，则称这两条直线互相垂直. 其中一条直线叫作另一条直线的 ，它们的 叫作垂足.
直角
垂线
交点
问题1：用三角板过直线 l 上的一点 A 画直线 l 的垂线，可以
画几条？
1条
l
A
垂线的基本事实
问题2：用三角板过直线 l 外的一点 A 画直线 l 的垂线，可以
画几条？
1条
l
A
无论点 A 在直线 l 上还是直线 l 外，过点 A 都只能画出直线 l 的一条垂线.
由问题1、2，你能提出什么猜想？
假如过点 A 还有一直线 AC 能使 AC⊥l，
则根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可知，AB∥AC.
又直线 AB与直线 AC有公共点 A，
因此这是不可能的.
点 A在直线 l 外时同理.
l
A
C
B
为什么过点 A 只能画出一条直线 l 的垂线？
验证猜想：
垂线的基本事实：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
AO 垂直于直线 l，O 为垂足，线段 AO 叫作点 A 到直线 l 的垂线段．
经过点A的其他直线分别交直线 l 于点B，C，D， ···，线段AB，AC，AD，··· 都不是垂线段，称为斜线段．
注意：垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是已知点，另一端是垂足.
O
B
C
D
垂线段
l
A
问题1：画出线段 AO，AB，AC，AD ，量一量哪一条线段最短.
问题2：如何用一句话表示这个结论呢？
垂线段AO最短.
想一想
O
B
C
D
l
A
结论：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
简称：垂线段最短 .
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
线段 AO 的长度就是点 A 到直线 l 的距离.
点到直线的距离
O
B
C
D
l
A
(教材117页)(1) 量出点 P 到直线 AB 的距离.
做一做
(2) 要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处,建在哪个位置才最节省水管？为什么？
垂线段最短
(3) 由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？
求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.
P
A
B
例1 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13.求：
(1) 点 A 到直线 BC 的距离；
解：因为∠ABC = 90°，
所以 AB⊥BC， 点 B为垂足，
所以线段 AB 即为点 A 到直线 BC 的垂线段.
因为AB = 5，
所以点 A 到直线 BC 的距离为 5.
解：因为 BD⊥AC， 垂足为点 D，
所以线段 BD 的长度即为点 B 到直线 AC 的距离.
例1 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13.求：
(2) 点 B 到直线 AC 的距离.
因为S△ABC = ·BC·AB= ·AC·BD ,
所以BD = ，
所以点B到直线AC的距离为 .
当直接求点到直线的距离不容易时，可以考虑等面积法.
等面积法：
S△ABC = ·BC·AB= ·AC·BD
1. 下列过点 P 向线段 AB 所在直线作垂线正确的是（ ）
C
A
B
C
D
2.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，P 是边 BC 上的动点，则线段 AP 的长不可能是（ ）
A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5
A
B
C
P
A
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离
B. 线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 AC 的距离
C. 线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离
D. 线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离
A
B
C
D
D
1.垂线的画法
2.垂线的基本事实
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.点到直线的距离 (垂线段的长度)
3.关于垂线段的结论
垂线段最短.

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