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(共18张PPT)
4.6 两条平行线间的距离
1. 理解公垂线、公垂线段的概念；
2. 在实践活动中，掌握公垂线段都相等的性质；
3. 理解两条平行线之间距离的本质是公垂线段的长度，能度量两条平行线之间的距离.
1. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短.
2.从直线外一点到这条直线的 的长度叫做点到直线的距离.
垂线段
垂线段
思考：什么是两条平行线间的距离？
活动1：用直尺量一量自己的数学课本的宽度.
平行. 直尺与课本的两边互相垂直．
问题2：测量的结果是多少？
公垂线和公垂线段
A
E
F
C
D
B
问题1：AB 和 CD 平行吗？测量时，你的直尺与课本的两边成什么角度？
18.4 cm.
测量的结果都相同.
与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线的公垂线，
这时连接两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的公垂线段．
直尺所在直线 EF是平行线 AB 与 CD 的公垂线.
线段 EF 是平行线 AB 与 CD 的公垂线段.
A
E
F
C
D
B
活动2：把一把三角尺的一条直角边沿着直线 b 移动，观察三角尺的另一条直角边与直线 a 交点处的刻度.
a
b
问题2：由此你能提出什么猜想？
问题1：刻度有改变吗？
没有
几何语言：
因为 a∥b，AC，BD 是 a，b 的公垂线段，
所以 AC = BD.
两条平行线的所有公垂线段都相等.
公垂线段的性质：
a
b
A
B
C
D
两条平行线间的距离
定义：两条平行线的公垂线段的长度叫做两条平行线间的距离.
a
b
A
B
如图，线段 AB 的长度就是平行线 a，b 间的距离.
思考：直线a上任一点 A 到直线 b 的距离是什么？由此你能提出什么猜想？
因为线段 AB 是两条平行线 a 与 b 的公垂线段，
即线段 AB 的长度是平行线 a 与 b 之间的距离.
又线段 AB 的长度是点A到直线b的距离，
因此，平行线 a 与 b 之间的距离等于直线 a 上任一点 A 到直线 b 的距离.
平行线 a 与 b 之间的距离等于直线 a 上任一点到直线 b 的距离.
下面来说明这个猜想是正确的.
a
b
A
B
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.
两条平行线间距离的性质：
例1 如图，AB∥DC，AB = DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，那么线段 AE 与 CF 相等吗？
A
B
C
D
E
F
判断AE=CF？
已知AB = DC，
判断DF = EB？
判断 DF，EB 是平行线 DE，FB 的公垂线段？
分析：
解：因为AB∥DC，DE⊥AB，
所以 DE⊥DC.
又 AB∥DC，BF⊥CD，
于是 BF⊥AB. 因而 DE∥FB.
又 DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，
从而线段 DF，EB 都是平行线 DE 与 FB 的公垂线段. 故 DF = EB.
又 AB = DC，所以 AB – EB = DC - DF，即 AE = CF.
例1 如图，AB∥DC，AB = DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，那么线段 AE 与 CF 相等吗？
A
B
C
D
E
F
解：在 a 上任取一点 A，过点 A 作 AC⊥a，分别与 b，c 相交于 B，C 两点.
所以 AC = AB + BC = 5 + 2 = 7.
A
b
c
B
C
a
5
2
因此 a 与 c 的距离是 7 .
例2 如图，设 a，b，c 是三条互相平行的直线. 已知 a 与 b 的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ，求 a 与 c 的距离．
因为 a，b，c是三条互相平行的直线，
所以 AB⊥a，AB⊥b，BC⊥b，BC⊥c，AC⊥c，
所以 AB，BC，AC 分别表示 a 与 b，b 与 c，a 与 c 的公垂线段，
例2 如图，设 a，b，c 是三条互相平行的直线. 已知 a 与 b 的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ，求 a 与 c 的距离．
(1) 如图 1，由 AB = 5，BC = 2，得 AC = 7.
解：有两种情况：
(2) 如图 2，由 AB = 5，BC = 2，得 AC = 3.
综上可知，a 与 c 的距离为 7 或 3.
直线 c 与直线 a，b 的位置关系有哪几种情况呢？
a
b
c
图 1
A
B
C
a
b
c
图 2
A
B
C
例3 如图，MN∥AB，P，Q 为直线 MN 上的任意两点，△PAB 和△QAB 的面积有什么关系？为什么？
解：△PAB 与△QAB 面积相等. 理由如下：
因为 MN∥AB，
作 PM⊥AB于点M，QN⊥AB于点N.
所以 PM = QN.
所以 S△PAB = S△QAB.
A
B
M
N
Q
P
M
N
因为 S△PAB = AB·PM，S△QAB= AB·QN，
2. 点 P，M 分别在直线 AB 和直线 CD 上，且 AB∥CD，点 P 到 CD 的距离为 5 cm，则点 M 到 AB 的距离 ( 　)
A. 大于 5 cm B. 小于 5 cm C. 等于 5 cm D. 不能确定
1. 两平行线的公垂线段有（ ）
A. 1 条 B. 2 条 C. 无数条 D. 一条也没有
C
C
4. 已知 a∥b∥c，a 与 b 之间的距离为 3 cm，b 与 c 之间的距离为 4 cm，则 a 与 c 之间的距离为　　　cm.
3. 如图，已知直线 MN∥PQ，BC = 4 cm，若△ABC 的面积为 6 cm ，则平行线 MN，PQ 的距离是　　 cm.
3
7 或 1
A
M
N
Q
P
B
C
两
条
平
行
线
间
的
距
离
概念
性质
公垂线
公垂线段
平行线间的距离
1. 两条平行线的所有公垂线段都相等.
2. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.

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