资源简介

2025年5月福建省闽东教科联盟高中毕业班最后一卷
数学试题参考答案
一、选择题（1~8每小题5分，共40分；9~11每小题6分，共18分。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11
答案 A B C A A B B AD BCD ACD
二、填空题（每小题5分，共15分。）
12． 13．33 14．
三、解答题（共77分）
15.（13分）
解：（1）依题意，设等差数列的公差为，，
由，
得，
由成等比数列，
得，
即，
则，
整理得，而，
解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，
则，
因此，
两式相减得
，
则，
所以的前n项和.
（15分）
解：（1）设零假设为该球队胜利与甲球员参赛无关.
则.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该球队赢球与该球员参赛有关联.
（2）由题意，随机变量所有可能取值为
则
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2
数学期望
方差
17.（15分）
（1）证明：取的中点，连接，
因为，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以为等边三角形，则，
所以，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又平面，，
所以平面，
又平面，所以；
（2）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
由（1）知，，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
设，
则，
设平面的法向量为，
则有，
所以，令，则，
所以，
则，
化简得，
解得或，
经检验，当时，二面角为钝二面角，
所以，
所以.
18.（17分）
解：（1）时，.
显然，在区间上单调递增.
所以，
即.所以在区间上单调递减.
在上存在极值.
即在上有变号零点.
令，则，
记，
即与的图像在上有交点.
又，
易知在上恒成立，
所以在上为增函数且.
所以，从而，
当时，存在唯一实数，使得成立当时在上单调递增；
当时，在上单调递减.所以为函数的极值，
综上，若函数在上存在极值，的取值范围为.
（3）证明：当时，要证，即证.
令，显然.
令，
当时，；
当时，.
所以在时单调递减；在时单调递增.
所以
所以，
即.
所以时，，得证.
19.（17分）
（1）解：由题知，直线的方程为，
联立消去y，
得，
则由抛物线定义知.
（2）证明：设，且i为整数，
，，，，
直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，
得
消去x后整理，得，
所以，，
同理可得，.
所以直线的斜率为，
直线的方程为，
又，则，
整理得.
同理可得，直线的方程为，
联立直线和直线的方程消去，
得，
整理得，
代入，，
得，
即，
又，所以，
即点的纵坐标为，
所以点，，，…，在同一条直线上，得证.
（3）解：由（2）知，即线段的中点的纵坐标为，
同理可知，线段的中点的纵坐标为，
故点，，，…，和点，，，…，都在直线上.
因为，轴，
所以.
因为，
所以，，
有，，，
所以.
由（2）知，
同理可得，.
故有
，
故.2025年5月福建省闽东教科联盟高中毕业班最后一卷
数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）
A．4 B．4 C．4i D．4i
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．若向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．某活动现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者A去甲活动场地，志愿者B不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ）
A. 18种 B. 12种 C. 9种 D. 6种
6．已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知二项展开式，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为 B．存在点使得
C．若，则 D．面积的最大值为12
11．已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为 .
13．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，若在前消除了的污染物，当污染物减少时，所需时间约为 （精确到，参考数据：，，）．
14．如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线：
（其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前n项和．
16．（15分）
为研究某篮球运动员对球队的贡献情况，现统计某赛季该球员出场情况与比赛结果的数据如下表：
球队赢球 球队输球 总计
参加 30 12 42
未参加 20 20 40
总计 50 32 82
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与该球员参赛有关联？
(2)为进一步研究该球员对球队的影响作用，现从他参赛的10场比赛（其中赢球场次3场，输球场次7场）中随机抽取2场，用随机变量表示赢球的场数．求随机变量的分布列，数学期望与方差．
参考公式：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
17．（15分）
如图，在四棱雉中，平面为棱的中点，为棱上的动点．
(1)证明：．
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
18．（17分）
已知函数，其中为自然对数的底数.
当时，判断函数在区间上的单调性；
令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
(3)求证：当时，.
19．（17分）
已知抛物线，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为k（k为常数）的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方）；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；…；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在x轴的上方），直线和相交于点；过点作斜率为k的直线与抛物线C相交于，两点（在轴的上方），直线和相交于点.
(1)若，求；
(2)证明：点，，，…，在一条直线上；
(3)记线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，…，线段的中点为，求（用k，n表示）.

展开更多......

收起↑