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长沙市周南中学2025届高三第二次模拟考试仿真训练
数学（一）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C B A C A AC ABD
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】先利用复数的除法法则求出复数z，再求z的共轭复数.
【详解】因为，
所以z的共轭复数为.
故选：B.
2．D
【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可.
【详解】当时，函数单调递增，所以，
要使得函数的值域为，
则当时，，解得，所以实数的取值范围是
故选：D.
3．C
【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，可得，所以x可能取值为
当时：代入得，又，
所以，此时得到元素；
当时：代入得，，，
此时得到元素；
当时：代入得，.，，
此时得到元素；
当时：代入得，，，
此时得到元素；
当时：代入得，所以，
此时得到元素；
满足条件的元素分别为：
，，，，共11个，
故选：C
4．C
【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则球的半径也为，由题意可得求得，从而可求出母线长，然后利用余弦定理可求得答案
【详解】解：几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则球的半径也为，
因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，
所以，得，
所以，
设圆锥的轴截面的顶角为，则
，
故选：C

5．B
【分析】按照跳高项目安排人数，分成两种情况讨论即可.
【详解】按照跳高项目安排人数，可以分以下两类：
第一类，跳高项目安排1人，共种安排方法，
第二类，跳高项目安排2人，共种安排方法，
由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法.
故选：B.
6．A
【分析】求导，令，求得，进而可得对恒成立，进而令，利用导数求得，可求得实数的取值范围.
【详解】，
，解得，
对任意恒成立，即对任意恒成立，
令，则，
令，解得或，
易得在上单调递增，在上单调递减，故，
故实数的取值范围是.
故选：A.
7．C
【分析】根据奇函数定义可判断A；举出反例判断B；脱出绝对值符号，结合正弦函数性质判断C；数形结合，结合函数的性质可判断D.
【详解】函数的定义域为，
因为，即为偶函数，
所以，，所以，所以不是奇函数，A错
，
则，函数的图象不关于直线对称， B错误；
对于C，当时，，
当时，，当时，；
当时，则，
结合为偶函数，可知的值域为，C正确；
由于为偶函数，图象如图示：
可知不是周期函数，故不是周期函数，D错误，
故选：C
8．A
【分析】设，由题意求出，得出，化简后利用基本不等式求出最值，即可得出离心率.
【详解】由双曲线的对称性，不妨设，如图，
则过点P作两条渐近线的平行线分别为，
令，可得，
所以，，
由，代入得，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，所以.
故选：A
9．AC
【分析】求出圆的圆心和半径，再按直线的斜率是否存在分类，结合圆的切线性质求解.
【详解】圆的圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线与圆相切得：，解得或，
所以直线的方程为：或.
故选：AC
10．ABD
【分析】对于A由即可求解；对于B设，因此，又点在抛物线上，即可求解；对于C直线的方程为，与抛物线联立方程组即可求得点坐标，由两点间的距离公式即可求解；对于D由，得得直线方程为，即可求解.
【详解】因为为，所以，故A正确；
设，因此，由，从而，直线的斜率为，故B正确；
直线的方程为，
所以或，
因此可求得，，可得，故C错误；
由，得，所以直线的斜率为，
方程为，因此，
所以的面积为，故D正确．
故选：ABD．
11．ABD
【分析】根据题意，先利用列举法写出数列，的前几项，再探索数列，的递推公式，再由递推公式求通项公式，即可判断各选项的真假.
【详解】经过1次传球，因为是甲开始发球，所以进过1次传球，不可能回到甲手中，
所以，经过1次传球，可能有甲乙，甲丙，两种情况，所以；
经过两次传球，回到甲手中的传法有：甲乙甲，甲丙甲两种，
所以，不回到甲手中的传法有甲乙丙，甲丙乙两种，故；
……
经过次传球，传回甲手中的传法为，没有传回甲手中的传法有；
经过次传球，若第次在甲手中，则第次传球后，球不会在甲手中；
若第次不在甲手中，则第次传球传给甲的方法只有1种，所以.
又每次传球都有2种传法，所以次传球的方法一共有中，所以.
所以.
当时，，
所以.
所以
， ， …… . 各式相加得： 所以 ， ， …… . 各式相加得： 所以
综上可知：.
所以.
当时，，，所以.
由.
所以选项ABD正确，C错误.
故选：ABD
12．/
【分析】根据题意可得，再根据正态分布的对称性即可得解.
【详解】因为随机变量的概率分布密度函数，
所以，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】根据两角和差公式及二倍角余弦公式计算求解.
【详解】因为，
则．
故答案为：.
14．
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，由，得到，得到点在空间中的轨迹为一个球，进而点在侧面内的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分，求得，得到，进而求得点的轨迹长度.
【详解】以为原点，以的方向为轴，建立空间直角坐标系，
可得，因为，可得，
设，因为，即，
可得，整理得，
所以点在空间中的轨迹是以为球心，半径为的球，
又因为在侧面内，过点作平面于点，则为的中心，
点在侧面内的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分，
（如图所示的圆的虚线部分），
因为，所以，
所以，则，
所以点的轨迹长度为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）由正弦定理求出，再由余弦定理及求出、，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为
由正弦定理得．
所以，
因为，所以．
所以．
因为，所以，
因为，所以．
（2）因为外接圆半径为，
由正弦定理得，由（1）知，即，所以，
由余弦定理得，所以，
因为，代入上式得．
因为，所以，则，所以．
16．(1)
(2)分布列见解析，
(3)不能，建议见解析
【分析】）（1）利用比例关系即可求出概率.
（2）利用二项分布求出的分布列，利用期望公式即可得到答案.
（3）利用条件概率求出今年冰块的利用率约为0.67，即可得到判断给出建议.
【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块
中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.
因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5，
所以若只取1块，它是B队所采的概率为.
（2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响，
即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.
设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的，
与（1）同理可求得若只取1块，则，
由B，C两队所采的概率为.
依题意可知的取值为0，1，2，且.
所以，，，
所以的分布列为：
0 1 2
P
数学期望.
（3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，.
所以，，.
又
，即今年冰块的利用率约为0.67.
可见，今年冰块的利用率比往年提升了约.
但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，
可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断.
17．(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）时，可求得，配方发现其恒正，故在上单调递增，又，利用单调性即可求出的解集；
（2）若有极值，则在上有变号零点，转化为二次函数在上有变号零点，发现二次函数的对称轴为，所以只需，由此可解得实数的取值范围；
（3）由题干条件可得，设，利用导数找到的最小值，则，得到关于的不等式，构造新函数找到其零点范围，由此可求得的最大值.
【详解】（1）当时，因为，
所以，
所以在上单调递增，又，
所以当时，；当时，，
故的解集为.
（2）因为有极值，
所以在上有变号零点，
即在上有变号零点，
因为的对称轴为，所以只需，
所以.
（3）由，得，
设，
则，
令，得（舍去），或，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
因为，所以，即，
令，
因为与在上都单调递减，
所以在上单调递减，
又，
所以在存在唯一的零点，
当时，，
所以由可得，
又，所以的最大值为2.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知，证得平面，平面，可得A，D，O，E四点共面；
（2）以O为坐标原点，以OA，OB分别为x、y轴，以过点O且垂直于平面ABC的直线空间直角坐标系，利用线面角的向量表示，然后结合辅助角公式和三角函数的有界性求出最值即可
【详解】（1）连接DO、AO、EO，
因为，，都是等边三角形，
所以，
又在平面内交于点O，在平面内交于点O，
所以平面，平面，
因为过O只有一个平面与垂直，且平面与平面有公共点O，
所以平面与平面是同一平面，
即A，D，O，E四点共面；
（2）连接DO、AO、EO，AD，
以OA，OB分别为x、y轴，
以过点O且垂直于平面ABC的直线空间直角坐标系，
则，
因为是等边三角形，边长，点为中点，
所以，所以
又，
设，
所以，解得，
所以，
因为是等边三角形，边长，点为中点，
所以，又，
设，
所以，解得，
由(1)得为二面角平面角，
设，则点，
故，
设平面的法向量为，
则，
取得，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
其中，
当时，取得最大值为，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值.
19．(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）直接代入公式求解即可；
（2）①根据椭圆方程和切点坐标得出两条切线方程，然后联立得出的坐标，代入求解即可得出答案.
②利用弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形的底和高，然后分析函数性质，求值域即可.
【详解】（1）由题得；
（2）
①
当时，得椭圆，右焦点F，
当直线l的斜率存在时，设l：，，
与椭圆联立得，
，
此时过M，N时的切线方程分别为，
联立求得的坐标为，
，
所以在直线上；
当直线l的斜率不存在时，其方程为，，代入椭圆方程解得，
所以此时，，
联立解得，也在直线上，
所以点A在定直线上；
②当直线l的斜率存在时，
由①得，所以，
此时，
到直线l的距离，
所以
，
显然当增大时，和都为正，且都在变小，所以也在变小，
当趋近于正无穷大时，趋近于，
当趋近于0时，趋近于正无穷大，
由①知，当直线l的斜率不存在时，，
所以取值范围为.长沙市周南中学2025届高三第二次模拟考试仿真训练
数学试卷（一）
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
4．如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（ ）
A．32种 B．24种 C．18种 D．12种
6．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．的图象关于直线对称
C．的值域为 D．为周期函数
8．已知，是双曲线C：的焦点，过C上一点P作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，记，的面积分别为，，若的最小值为，则C的离心率为（ ）.
A． B． C． D．2
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
10．设抛物线的焦点为，过的直线交轴的负半轴于点，交抛物线于两点，，，过作抛物线的切线交轴于点，则（ ）
A． B．直线的斜率为
C． D．的面积为
11．给定数列，满足三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过次传球，球仍回到甲手中的不同的传球方式有种，球不回到甲手中的传球方式有种，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知随机变量的概率分布密度函数，若.则 .
13．已知，则的值为 ．
14．已知棱长为的正四面体，且 ，为侧面内的一动点，若，则点的轨迹长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为，且，求的面积．
16．2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.
(1)若只取1块，求它是由B队所采的概率；
(2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望；
(3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？
17．已知函数.
(1)当时，求的解集；
(2)若有极值，求实数的取值范围；
(3)设，若，求的最大值.
18．如图，，，都是等边三角形，点D，E分别在平面的上方和下方，点为中点.
(1)求证：A，D，O，E四点共面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
19．某数学兴趣研究小组发现鸡蛋的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面.在空间直角坐标系下，椭球面的方程为（，，），研究小组通过祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”得到对应的椭球体的体积为.该研究小组通过测量得到某鸡蛋对应的椭球面的方程为.
(1)求椭球面C对应的椭球体的体积；
(2)已知椭球面C与坐标面的截痕是椭圆E，过椭圆E的右焦点F作直线l与椭圆E相交于M，N两点，过点M，N分别作椭圆E的切线，两切线交于点A.
①证明：点A在定直线上；
②求面积的取值范围.

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