资源简介

长沙市周南中学2025届高三第二次模拟考试针对性训练数学（二）
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：若，则，
若，则或，
解得：或，
故”是““出充分不必要条件，
故选：．
根据充分必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查函数求值问题，是一道基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
与同方向的单位向量为：．
故选：．
可知与同方向的单位向量为，然后即可得解．
本题考查了单位向量的定义，向量坐标的数乘运算，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，函数的值域为，
所以，则，
因为，所以．
则实数的取值范围是
5.【答案】
【解析】解：根据题意，分类讨论．
第一类，去甲活动场地，则，在一起，都去甲活动场地，将剩下人分为组，
安排在乙、丙两个活动场地即可，有种安排方法；
第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地，在剩下人中选出人安排在乙活动场地，
再将剩下人分别安排到甲、丙活动场地，有种安排方法．
根据分类加法计数原理，共有种安排方法．
故选：．
利用分类加法原理，结合组合数计算，可得答案．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，属于中档题；
的定义域为，当时，当时利用导数可得最小值为，即可求解；
【解答】
解：的定义域为，
当时，，
当时，，
，
当时，
当时，．
所以当时，取得最小值，最小值为，
从而
当时，
综上，的取值范围是
故选C．
7.【答案】
【解析】解：因为随机变量，均服从两点分布，且，，
所以，，
所以，
又因为，所以，所以，
故，
所以．
故答案为：．
8.【答案】
【解析】【分析】由已知等式变形为，利用累乘法求出数列的通项公式，即可得出的值．
【详解】因为正项数列的前项和为，，且，
可得，则，
所以，，，，，，
上述等式相乘得，
则，
故当且时，，且满足，
对任意的，，故．
故选：．
9.【答案】ACD
【解析】解：项：，，，
所以，故A正确
项：，故B错误
项：，故C正确
项：
，故D正确．
故选ACD．
10.【答案】
【解析】解：易知焦点，对于，若过点，
可设直线方程为，，，
联立抛物线方程可得，可得，，
所以
，
所以为钝角，即A正确；
对于，由，可得过点，由题意可得，所以，
结合，，可得，可得的斜率为，即B错误；
对于，易知是抛物线的准线与轴的交点，
作与准线垂直，垂足为，如图所示：
由抛物线的定义可得，所以，
又在中，，且，
因此当取得最大值时，满足题意，此时斜率存在且与抛物线相切．
设的方程为，代入抛物线方程可得，
所以，即，解得，此时，
因此点的纵坐标为时，最小，即C正确；
对于，设，直线：，如图：
联立，可得，
因此，，所以，
因为四边形为平行四边形，所以，
即，
所以，，
代入，可得，解得，
即：，显然过定点，即D错误．
故选：．
联立直线与抛物线方程利用向量数量积的符号可判断A正确；
由可得坐标间的关系，联立解方程组可得B错误；
利用抛物线定义以及几何关系可得C正确；
根据四边形为平行四边形并结合韦达定理，利用向量表示解方程可得D正确．
本题考查直线与抛物线的综合应用，属于难题．
11.【答案】
【解析】解：对，当时，点在线段上动，如图所示，
由于，可知即为异面直线与所成角，
连接，设，，
则在中，，，
，
又因为直线与为异面直线，故，故A错误
对于，当，时，点在线段上动，
故将三角形与四边形沿展开到同一个平面上，由图可知，
线段的长度即为的最小值，在中，
，故B错误
对于，当时，点在内部及边界上动，
则线段的长度最小值即为正方体体对角线的，
故线段的长度最小值为，故C正确
对于，当时，记点的轨迹为平面，
故平面截此正方体所得截面面积的最大值为正方体的中截面的面积，如图所示：
当点，，，，，分别为对应棱的中点时，连结，，，，，，
可得平面平行于平面，且为正六边形，
此时该截面是最大截面，由于正方体的棱长为，
所以正六边形的边长为，则面积为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：因为数列为等差数列，
则由题意得，
解得，则．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆离心率的求解，属于中档题．
设，可得出，，利用勾股定理可得出关于与的等式，进而可得出关于、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率．
【解答】
解：设，
由题可得，所以，，
所以，．
，则，
即，解得，
由，即，
所以，则，解得．
因此，该椭圆的离心率为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】利用同构法将题给不等式转化为，构造函数，并利用导数研究其单调性，可得不等式成立，再构造函数，利用导数求得其最大值，进而求得的最大值．
【详解】存在正实数，使得不等式成立，
存在正实数，使得不等式成立，
存在正实数，使得不等式成立，
令，则，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
上述问题存在正实数，使得不等式成立，
因为，结合在单调递增，
易得存在正实数使得成立，
存在正实数，使得不等式成立，
存在正实数，使得不等式成立，
存在正实数，使得不等式成立，
令，则，
当时，，所以单调递增，
当时，，所以单调递减，
所以，所以，即，
所以的最大值为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
15.【答案】没有的把握认为居民满意度与所在社区有关；
的分布列见解析，．
【解析】解：依题意有该列联表如下表所示，
社区 居民意见 合计
满意 不满意
社区
社区
合计
则，
因为，
则没有的把握认为居民满意度与所在社区有关．
依题意有的可能取值有，，，
则，，，
所以的分布列为：


所以．
直接由独立性检验的方法进行判断即可；
确定随机变量的可能取值，再由超几何分布求概率分布即可．
本题考查了独立性检验及随机变量的概率分布，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ由右焦点为，离心率，
可得，，解得，，
则双曲线的方程为；
Ⅱ证明：设直线的方程，与双曲线的方程联立，
可得，
设，，
由题意可得，，，
又由双曲线的方程可得，，
可得
，
即为定值．
【解析】Ⅰ由双曲线的焦点坐标和离心率，结合，，的关系，求得，，可得双曲线的方程；
Ⅱ设直线的方程，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，可得定值．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为平分，所以，
又，所以，
因为，且，所以．
所以．
由，
得，
又，，整理得，
因为，所以
由余弦定理得，
因为，所以，又，
则，
故BC，
记，
则，
所以其中
故当时，取得最小值，
此时，
又由知，
而，则，
故，即当时，最短．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】证明：在上找中点，连接，，如图：
和分别为和的中点，
，且，
又底面是直角梯形，，，
且即四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
解：因为平面，，平面，
所以，，又，
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，，
由为棱上一点，设，
，，
设平面的法向量为，
由，可得，解得，
令，则，则，
取平面的法向量为，
则二面角的平面角满足：，
解得：，解得：或舍去，
故存在满足条件的点，此时．
【解析】作出辅助线，得到四边形为平行四边形，从而证明，线面平行；
建立空间直角坐标系，设，利用二面角大小列出方程，求出，得到答案．
本题考查线面平行的判定，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，属难题．
19.【答案】．
；
．
【解析】解：易知函数的定义域为．
当时，，，
，
所以在点处的切线斜率，
又，即点坐标为，
所以点处的切线方程为．
因为，，
所以，
当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减，
故函数在区间上的最大值为．
当时，令，，
则在上单调递增，
且当时，，当时，，
所以在上有唯一的一个零点．
令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得：
单调递减 单调递增
所以函数在区间上的最大值为，
由，，有：
当时，；
当时，．
故．
由可知，当时，在上单调递减，
故此时函数至多有一个零点，不符合题意．
当时，在时，单调递减，在时，单调递增，
且，所以，
又时，，当时，，
为了满足有两个零点，则有，
对两边取对数可得，
将代入可得，解得，
所以，即实数的取值范围为．
借助导数的几何意义计算即可得；
求导后，分及讨论函数的单调性，结合函数的单调性即可得函数的最大值，即可得解；
由函数的单调性，可设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，已知函数零点个数求参数范围问题，考查运算求解能力，属于难题．长沙市周南中学2025届高三第二次模拟考试针对性训练数学试卷（二）
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知函数，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，，则与同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
4.已知，函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.年天津国际清洁能源大会将于月日至日在国家会展中心举行现安排名志愿者去甲、乙、丙个活动场地配合工作，每个活动场地去名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知函数，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量，均服从两点分布，若，，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知正项数列的前项和为，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，是上异于顶点的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若过点，则为钝角
B. 若，则的斜率为
C. 若，则点的纵坐标为时，最小
D. 若四边形为平行四边形，则过定点
11.已知正方体的棱长为，点满足，其中，，，下列正确的是( )
A. 当时，则异面直线与所成角的正切值范围是
B. 当，时，则的最小值为
C. 当时，线段的长度最小值为
D. 当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等差数列的前项和，若，，则 ．
13.设、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ．
14.若存在正实数，使得不等式成立是自然对数的底数，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从，两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如表所示：
社区 居民意见 合计
满意 不满意
社区
社区
合计
完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？
现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取位居民进行深入调研，用表示抽取的“不满意”的居民来自社区的人数，求随机变量的分布列及数学期望．
附：参考公式：，其中．
16.本小题分
已知双曲线的右焦点为，离心率．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ若直线过点且与的右支交于，两点，记的左、右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，证明为定值．
17.本小题分
如图所示，在中，，平分，且．
若，求的长度
求的取值范围
若，求为何值时，最短．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，点为棱的中点，．
证明：平面；
在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若，求函数在点处的切线方程；
求函数在区间上的最大值的表达式；
若函数有两个零点，求实数的取值范围．

展开更多......

收起↑