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参考答案及解析
数学（一）
一、选择题
选A
1.C【解折】因为x=1-2i,所以兰-1=21-2_
6.D【解析】因为f(x一1)的图象关于直线x=1对
称，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶
-2-i所以=4中=5，赦选C
函数，又f(x)在（一o,0)上单调递减，所以
f(x)在(0，十0)上单调递增.由题得c=
2.D【解析】由题得A={2,3},因为AUB=A,所以
B二A.当a=0时，B=,满足B三A,当a≠0时，
f(g寸)=f-lg9)=fg9》又0B={侣}，因为BEA,所以名=2政名=8，解得a=
>ln31,所以f(lg9)f(n3)a.故遗D.
1或a=号综上a的取值构成的集合为{01，号}
7.B【解析】设弦AB的中点为M,抛物线C的淮线为
L,焦点为F,如图，过点A作AE⊥L于点E,过点M
故选D.
作MHL&于点H,过点B作BG⊥1于点G,
3.A【解析】因为al=1,|b=w3,12a+b=w1,
4
所以4a2十4a·b+2=11,解得a·b=1,所以a在b
上的授影向量为6=吉故选A
4.D【解桥】因为g(x)=
2x2-4x+3=
斗所以了()=片其定义城为R,
且1(-)7-h-)所以
f(x)为偶函数，故排除BC,又f1)=2异=号，
则|MH=+专=号(AE+BG),差接
AF,BF,由抛物线的定义可得|AE十IBG=
f2)=8=号，所以f1)>f(2),敢排除A故
4
|AF|十|BF|≥|AB引=5p,当直线AB过点F时
选D.
取等号，所以十号≥碧则w≥2，所以弦AB的
5.A【解析】法一：记事件E表示甲被派驻到A村，事
中点到y轴距高的最小值为2中，故选B.
件F表示甲，乙被派驻到同一个村，则P()=子
8.C【解析】如图，取楼BD的中点O,连接PO,CO,易
由题意可知将甲、乙，丙，丁四人分为3组，再将这3
得PO⊥BD,CO⊥BD,PO=CO=w2,又PO∩C)=
组分配给A,B,C三个村，则基本事件的总数为
O,PO,COC平面POC,所以BD上平面POC.在
n()=C号Ag=36,若$件E,F同时发生，则甲、乙均
△POC中，PC=w5,则由余弦定理得co3∠POC=
被派驻到A村，派驻方法有A=2种，所以
P(E)=器=条=成所以P(E)-
2
PG+G0-PC-&+25=-÷,所以∠PoC
2PO·C)
2Xv2Xv2
器=×=日敬滤A
为钝角，且sin∠POC=压，过点P作PN⊥C0交
4
CO的延长线于点N,则PN LBD,又BD∩CO=O,
法二：记事件E表示甲被派驻到A村，事件F表示
BD,COC平面BCD,所以PN⊥平面BCD,连接
甲、乙被派驻到同一个村，由题意可知甲被派驻到A
MN,又MWC平面BCD,所以PN⊥MN.在
村有两种情况，①被派驻到A村的只有甲一人，派驻
Rt△PWO中，PN=POsin∠PON=POsin∠POC=
方法有CA=6种，此时甲，乙不在同一个村：②被
派驻到A村的有两人，其中一人是甲，派驻方法有
EX年=便，在R△PN中，PM=3,则
4
CA经=6种，其中甲、乙在同一个村的派驻方法有
A成=2种所以P(P1E)=器=写千6=吉枚
MN=√Pf-PN=3y区，所以点M的轨迹是以N
4
1姓 名
准考证号
2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学(一)
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=1-2i,则
A. B.2 C. D.5
2.已知集合若A∪B=A，则a的取值构成的集合为
A.{0} B.{0,1} D.
3.已知平面向量a，b满足 则a在b上的投影向量为
A. b C. b D.2b
4.函数的图象可看作是由函数 的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为
5.甲、乙、丙、丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲、乙被派驻到同一个村的概率为
A. B. C. D.
6.已知定义在 R上的函数 的图象关于直线对称，且在(-∞,0)上单调递减.设 ),则
7.已知不过原点的直线l与抛物线C:交于A,B两点,且|AB|=5p，则弦AB的中点到y 轴距离的最小值为
A. p B.2p C. D.3p
8.将边长为2 的正方形 ABCD沿着对角线BD 折起，使点 A 到达点 P 的位置,得到三棱锥 P--BCD,点 M∈平面 BCD,且 若 则点 M 的轨迹长度为
B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.如图是我国2023年第四季度至2024年第四季度的折叠屏手机出货量、同比(与上一年同期相比)增长率统计图，则关于这5个季度的数据说法正确的是
A.折叠屏手机季度出货量的极差不超过92万台
B.折叠屏手机季度出货量的中位数为250.5万台
C.与2023年第二季度相比，2024年第三季度折叠屏手机的出货量增加13.7%
D.2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数
10.已知函数 则
A. 的图象关于直线 对称
B. 图象的对称中心为
C. 在区间 上的值域为[-1,1]
D. 在区间 上恰有3个极值点
11.若函数在其图象上两个不同点A，B处的切线完全重合，则称直线AB为曲线的“自公切线”,为“自公切线函数”,则
A.函数 是“自公切线函数”
B.函数. 是“自公切线函数”
C.曲线. 的“自公切线”方程为y=1
D.曲线 的“自公切线”方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记等差数列{an}的前n项和为 Sn,若 则
13.若α∈(0,π),且,则
14.过原点的直线与双曲线 交于A，B两点，且点A在第二象限，过点 A 作AB 的垂线AD 与C 交于点D，过点 A 作x轴的垂线与C交于点G，与直线BD交于点E，若 则C的离心率为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为,已知b=6, sin A=2 sin C.
(1)若,求 cos B;
(2)当 cos C取最小值时,求.
16.(本小题满分15分)
电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程、非接触式诈骗的犯罪行为.为打击电信诈骗犯罪活动，我国各地积极开展各类“反诈”知识宣传，并取得了显著的效果.某社区为调查该社区市民对“反诈”知识的熟悉情况，进行了一次抽样调查.调查结果如列联表所示.
性别 是否熟悉“反诈”知识 合计
不熟悉 熟悉
男 24 16 40
女 12 48 60
合计 36 64 100
(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关
(2)为了增强市民的防范意识，该社区举办了一次“反诈”知识竞赛.已知参加本次知识竞赛的市民的竞赛成绩 X 近似服从正态分布N(86，9)，若有15.865%的参赛市民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩；
(3)为了进一步增强市民的“反诈”意识，参加了知识竞赛的市民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知参加了知识竞赛的市民小王答对每道题的概率均为 ，且每道题答对与否相互独立，记小王获得话费为Y元，求Y的期望E(Y)和方差D(Y).
参考公式
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考数据:若随机变量X~N(μ,σ ),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
17.(本小题满分15分)
已知椭圆 的右焦点为 F(1,0),A为C 上一点,|AF|的最小值为1.
(1)求C的方程;
(2)设点 M(4,0),斜率不为0的直线 AM与C交于另一点B.
(i)若弦 AB 中点的纵坐标为 求直线 AB的斜率；
(ii)若D为C上一点,且点 D与点A 关于x轴对称,证明:B,D,F三点共线.
18.(本小题满分17分)
已知函数
(1)若b=1,讨论 的单调性;
(2)若a=2，且关于x的方程恰有两个不等实根，求b的取值范围；
(3)若,数列{an}的前n项和为 Sn,且 证明：
19.(本小题满分17分)
如图,在斜三棱柱ABC-A B C 中,平面ABC⊥平面 ABB A ,M,N分别为棱AB,AA 的中点,BC=AC=3.
(1)若四边形 ABB A 为菱形,证明:AB ⊥平面CMN;
(2)若
(j)求平面 ACC A 与平面 BCC B 夹角的余弦值；
(ii)若斜三棱柱ABC-A B C 内存在两个体积相等且相切的球，且每个球都与该三棱柱的一个底面及三个侧面相切，求点 A 到平面ABC的距离.

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