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平度市2025年高考模拟检测（二）数学答案及评分标准
单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．
1-8 B D D A C C A C
二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．
9．ACD 10． BC 11．ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．； 13．； 14．．
四、解答题：本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（1）由正弦定理得
因为所以
即
因为所以
又故即 …………………………………………6分
由题意得
又，所以
由余弦定理得
解得
所以
所以的面积 ………………13分
16．（本小题满分15分）
解：（1）由得.
要证只要证 .............................................................2分
令，则
当时，则单调递减，
当时，则单调递增， .......................................................6分
所以则即 ...................................................7分
当时，由，得，因此满足题意. ....8分
当时，由，得，则在上单调递增.
①当时，则在上单调递增，
所以满足题意. ..........................................................................10分
②当时，，，则存在唯一的，使得，
且当时，，在上单调递减，
所以不满足题意. ..................................................................................14分
综上： ..........................................................................................................15分
17．（本小题满分15分）
解： （1）取的中点分别为，连接，
因为为边长为3的正三角形，所以也是边长为3的正三角形，
又点是的中点，
从而，因为，所以，
因为四边形为正方形，的中点分别为，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面， ....................................................3分
因为平面，
所以，
又点是的中点，
所以； ....................................................5分
因为在底面内的射影为点O，而平面，
所以，
所以； ....................................................6分
（2）若，则点为三角形的外心，从而三点共线，
过点作交于点，易知，
因为平面，平面，
所以，
从而两两互相垂直，
所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ....................................................8分
由题意，
，从而，
， ........................................9分
，
设平面的法向量为，
则，故可取， .............................11分
所以点到平面的距离为； .................13分
因为平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离即直线和平面的距离；
所以直线和平面的距离为. .....................................15分
18. （本小题满分17分）
(1)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，
由y＝x2得y′＝x，则直线NA的方程为y－y1＝(x－x1)，...............2分
即2(y－y1)＝x1x－4y1，即x1x＝2(y＋y1)，
同理，直线NB的方程为x2x＝2(y＋y2)...................................................4分
又直线NA与直线NB都过N(x0，y0)，
则x1x0＝2(y0＋y1)，x2x0＝2(y0＋y2)，
从而A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线x0x＝2(y0＋y)上，
故直线AB的方程为x0x＝2(y0＋y).又y0＝－2，
故直线AB的方程为2(y－2)＝x0(x－0)，故直线AB过定点(0，2)..........6分
(2)解　联立得x2－2x0x＋4y0＝0，
Δ＝4x－16y0>0，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，
则|AB|＝|x1－x2|＝·
＝＝2，.....................................................................8分
于是，x－4y0＝，
又点N到直线AB的距离d＝＝，...........................10分
所以S△ABN＝·d·|AB|＝··2＝·≤(当x0＝0时取等号).
则△ABN面积的最大值为.........................................................................12分
(3)由题意知直线斜率存在，且F(0,1).设直线方程为
由，得
，
对求导，，所以
..................................................................................14分
直线的方程为，又，
直线的方程为，
同理可得直线的方程为
由，得，所以. .......................................16分
当时，||=||=2，，所以||·||=；
当时，,又
,所以.所以||·||=
综上：||·||= .....................................................................17分
19．（本小题满分17分）
解： （1）因为，所以具有性质；------------------2分
因为，
所以．-------------------------------------------------------------------------------4分
（2）
由性质得，所以，--------------------8分
因为，
所以，
则，，，
所以，
所以，---------------------------------10分
又因为当时，
具有性质，
且，
所以的最大值为1．--------------------------------------------------------------------------12分
（3）由性质可得，
所以①，且②，
在①中不妨设，
在②中不妨设，
由对称性可以设，
所以，--------------------------14分
所以
，即，
因为存在，（其中有个个），
（其中有个，个）具有性质，
并且，
，
，
所以，
综上最大值为．-----------------------------------------------------------------------17分平度市2025年高考模拟检测（二）
数学试题 2025.04
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，集合，则
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则
A. B. C. D.
3. 一个圆台的母线长为，上下底面的半径分别为，则圆台的体积为
A. B. C. D.
4. 若成等差数列；成等比数列，则的值为
A. B. C. D.
5. 已知为锐角，且，则
A . B. C. D.
5件产品中有2件次品，现逐一检查，至能确定所有次品为止，则第四次检测结束的概率为
A. B. C. D.
7.在中，角对的边分别为，若，则边上的高等于，则
A. B. C. D.
8. 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”，已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9．已知一组数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为.现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若删去3，则 B．若删去9，则
C．无论删去哪个数，均有 D．若，则
10．双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是
A．存在使得
B．P到两条渐近线的距离之积为定值
C．当直线运动时，始终有
D．△内切圆的圆心的横坐标为
11．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则（ ）
A．CP长度的最小值为
B．存在点P，使得
C．存在点P，存在点，使得
D．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．记等差数列的前项和为，且，则 ．
13．平面向量满足则的最小值为_________.
14．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定已知且 ，则中所有元素之和为奇数的概率为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分15分）
记的内角所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）若的周长为，求的面积．
16．（本题满分15分）
已知函数
当时，求证：
若对恒成立，求的取值范围.
17.（本题满分15分）
如图，在斜三棱柱中，为边长为3的正三角形，侧面为正方形，在底面内的射影为点.
（1）求证：；
（2）若，求直线和平面的距离．
18.（本题满分17分）
抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点.
(1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点；
(2)若||＝，求面积的最大值;
(3)证明：||·||=.
19.（本题满分17分）
设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值．
(1)当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由；
(2)当时，若具有性质，求的最大值；
(3)给定不小于的奇数，对于集合中任意个具有性质的元素，求的最大值.

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