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天津市第四十七中学2024—2025第二学期高一年级
期中考试数学试卷
第Ⅰ卷（共三部分；满分150分）
一、单选题（每题5分，共45分）
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，角的对边分别是，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
3．已知一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中，，，．以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
6．已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ）
①若，则定为等腰三角形
②若，则一定是锐角三角形
③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的
④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
⑤若则点是的内心
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，为线段上的动点不包括端点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共30分）
10．已知，为虚数单位，若为实数，则______．
11．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量的坐标是______．
12．在三棱锥中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______．
13．在中，内角的对边分别为，若满足，的三角形有两解，则b的取值范围为______．
14．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，若四点都在表面积为的球的球面上，则三棱锥的体积为______．
15．在中，角所对的边分别为，已知，．则的值为_____；若，则周长的最大值为______．
三、解答题（共75分）
16．（14分）．（1）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的表面积．
（2）在中，，，．在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于），求图中阴影部分绕直线旋转一周所得的几何体体积．
17．（15分）．已知向量，，设．
（1），求当取最小值时实数的值；
（2）若
①求；
②当向量与向量的夹角为，求出实数的值．
18．（15分）．在中，角所对的边分别为，已知的面积为，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
19．（15分）．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥体积．
20．（16分）．的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，，求内切圆的半径；
（3）若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值．
《数学》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D C D B D B A C B
10． 11． 12．
13． 14． 15．3；9．
16．（1）84； （2）．
（1）正四棱锥中，底面正方形的面积，
在等腰中，，，则边上的高，
因此该正四棱锥的侧面积，
所以，该正四棱锥的侧面积．
（2）几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，
是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内切球，
所以圆锥的底面半径是1，高为，
球的半径为，，，
所以圆锥的体积：，
球的体积：，
阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：．
17．（1）
（2）①；②或
（1）当时，，
所以
所以，所以当时．
（2）①因为，则，
又，，所以，，
所以；
②依题意，
因为，所以，
又，
则有，且，整理得，解得或，
所以存在或满足条件．
18．（1） （2） （3）
（1）中，由，得，
由面积为，有，整理得，
又，解得，（负值舍去）
在中由余弦定理，可得．
（2）在中由正弦定理，得．
（3）因，，
则．
19．（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）．
（1）在三棱柱中，底面，所以，
又因为，所以平面，因为平面，所以平面平面．
（2）取中点，连结，，
因为分别是、的中点，所以，且，
因为，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（3）因为，，，所以，
所以三棱锥的体积为：．
20．（1）；（2）；（3）．
（1）因为，
所以．
由正弦定理得，所以，
因为，所以．
（2）由（1）知，代入数据得．
因为的面积，
所以内切圆的半径．
（3）如图，设，，则，且．
因为，所以．
由正弦定理得，所以，
所以，其中，
故的最大值为．

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