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2024-2025学年上海市新川中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.将函数图象上每个点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
3.如图，在中，是的中点，若，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.在平面直角坐标系中，是第 象限角．
6.若向量，，则 ．
7.函数其中为奇函数，则 ；
8.已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 ．
9.函数的定义域为 ．
10.已知向量的夹角为，且，，则 ．
11.若方程的两根为与，则 ．
12.如图是函数图象的一部分，则函数的解析式为：
13.已知，不共线，，，要使，是一组基底，则实数的取值范围是 ．
14.已知函数，当时，则的最大值为 ．
15.已知，，分别为三个内角，，的对边，且则角 ．
16.设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论：
；；
；若是单位向量，则．
以上所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知向量，．
若与的夹角为，求实数的值；
若，求向量在向量上的投影向量坐标．
19.本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角；
若的面积为，求．
20.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数的单调递增区间；
若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值．
21.本小题分
对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”．
求证：，是“函数”；
若函数是“函数”，求的取值范围；
对于定义域为的函数，函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”若，，求的值
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.三
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.【详解】由，则，得，
所以；
．

18.【详解】因为，则，，，
若与的夹角为，则由，
可得：，解的：或，
则实数的取值为或．
，因为，则，
则，可得：，，，
则在方向上的投影向量为：．

19.【详解】因为，
所以由余弦定理得，故，
所以，又，
所以；
由知，又，所以，
所以，所以，，
因为，所以，所以，
所以由余弦定理得，所以．

20.【详解】由题设，
所以，最小正周期；
令，则，，
所以，增区间为，．
由，则，
所以在上有两个不同根，且，，
由，若，则，
所以，故，
所以，
所以，可得，
所以．

21.【详解】证明：取非零常数，
则对任意的，都有，
因为，即成立，
故，是“函数”．
函数是“函数”，，
则，即，
整理得，而，
故，
即的取值范围为；
因为对于任意，对任意的，都有成立，
则在上为单调增函数，
令，，由题意知为奇函数，
因为，，
所以，
所以，则．

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