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2024-2025学年上海市通河中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数是由 得到的
A. 向右平移 B. 向右平移 C. 向右平移 D. 向左平移
4.对于函数，给出下列结论：
函数的图象关于点对称；
函数的对称轴是；
函数的零点为；
若函数是偶函数，则的最小值为；
其中正确的命题个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合，则 ．
6.已知角的终边经过点，则
7.复数，则 ．
8.已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ．
9.设，，用，表示的结果为 ．
10.已知，，若与共线，则实数的值为 ．
11.向量满足与的夹角为，则 ．
12.已知，则向量在向量的方向上的投影向量为
13.已知，是正实数，且，则的最小值为 ．
14.如图，已知函数的图像与轴的交点为，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和记，则 ．
15.函数有零点，则实数的范围是
16.如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，
求和；
已知，且，求实数的值．
18.本小题分
已知中，内角、、的对边分别为，，；
若，，，求的面积；
若，求角的值．
19.本小题分
已知，求的值；
已知求的值．
20.本小题分
已知函数的表达式为．
若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间；
若，设函数的表达式为，求当时，的值域．
21.本小题分
如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
若，求的模长；
若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
设，若对恒成立，求的最大值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.
16.
17.根据向量模的计算公式，．
已知，，所以．
再根据向量模的计算公式求出．
然后根据向量的夹角公式可得．
因为两向量夹角的范围是，所以．
已知，，，则．
因为，根据向量垂直的性质，所以．
即，解得．
18.由正弦定理，可得，又，
所以，则，
．
由，可得，
由余弦定理得，又，
所以．
19.因为，
又，所以．
因为，
所以，，
则．
20.因为，由题知，解得，则，
由，解得，
所以单调递增区间为；
由，知，
当时，，所以，
所以．
21.因为，则，又，
则．
不正确，理由如下，
因为，则，又，
则，
若，则，则，
所以“”的充要条件是“”，
故“”的充要条件是“”是不正确的．
因为，则，
，
，
，
由，得，
所以，
即对恒成立，
又因为，所以，
解得，
因为，所以满足题意，
所以，
又因为，所以，
所以的最大值为．

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