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2024-2025学年上海市长征中学高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是等式成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为 ．
A. B. C. D.
3.已知关于的不等式在区间内有个整数解，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知菱形的边长为，点分别在边上，，若，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.终边在轴上的角的集合是 ．
6.半径为，圆心角等于的扇形的面积是 ．
7.中，且，则外接圆的半径是 ．
8.函数的最小正周期是 ．
9.函数的单调增区间是 ．
10.已知向量，，若，则 ．
11.若，则 ．
12.在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，，则 ．
13.已知向量，，则在方向上的投影向量为 ．
14.已知锐角，满足及，则 ．
15.已知向量，满足，，，则的值为 ．
16.函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，．
若，求实数的值；
若，求向量与的夹角．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，．
求的值；
若四边形是平行四边形，求点的坐标．
19.本小题分
若是关于的方程的两根．
求；
求的值．
20.本小题分
如右图，某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为，在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为，货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在北偏东，求：

处与处的距离；
灯塔与处的距离．
21.本小题分
设常数，已知函数，其中．
当时，求在上的取值范围；
若为偶函数，求的值；
若，求方程在区间上的解．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.，．
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.，
17.【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，
设向量与的夹角为，
则，
又，
所以．
所以向量与的夹角为．

18.【详解】由点，点在单位圆上，，
则，
则；
四边形是平行四边形，
则，则，
即，
所以点的坐标为；

19.【详解】，或．
由题意
又，
所以，解得或舍去，
所以．
由
．

20.【详解】在中，由已知得，
由正弦定理得

在中，由余弦定理得，解得．
所以处与处之间的距离为，灯塔与处之间的距离为．

21.【详解】因为，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以在上的取值范围为，
因为，
所以，
因为为偶函数，所以，
所以，
所以，
所以；
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，，或，，
所以，，或，，
因为，
所以或或或．

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