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2024-2025学年四川省广安友谊中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则( )
A. 该几何体为圆台
B. 该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体
C. 该几何体为圆柱
D. 该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体
3.下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象是( )
A. B.
C. D.
6.在中，点在线段上，且，是线段的中点，则( )
A. B. C. D.
7.已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 若，，则
B. 命题“，”的否定为“，”
C. 将函数的图象向左平移个单位后，所得图像的解析式为
D. 若，则
10.命运交响曲是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数的图象上，且图象过最高点，相邻最大值点与最小值点之间的水平距离为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 当时，的值域为
C. 在区间上单调递增
D. 将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
11.如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，
为线段上的一个动点，则( )
A.
B. 向量与共线
C.
D. 若，则最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的最小值为 ．
13.的值为 ．
14.正割及余割这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入．这两个符号是荷兰数学家基拉德在三角学中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，是不共线的两个非零向量．
若，，，求证：，，三点共线；
若与共线，求实数的值，并指出与反向共线时的取值．
16.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，．
求；
若的面积为，且，
(ⅰ)求的周长；
(ⅱ)若，求．
17.本小题分
已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
求的解析式；
求函数单调递增区间和对称轴方程；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点在弧上，且线段平行于线段
若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
当弧长为多少时，矩形的面积最大？最大值为多少？
19.本小题分
若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对“共零函数”．
判断与是否为“共零函数”，并说明理由；
已知与是一对“共零函数”，求的值；
已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对“共零函数”，求的值．
参考答案
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15.解：由，，，
得，
，
则，且有公共点，所以，，三点共线．
由与共线，则存在实数，使得，
即，又，是不共线的两个非零向量，
因此，解得或
所以实数的值是，当时，与反向共线．

16.解：解法：因为，由正弦定理得，
即，
因为，则，故；
解法：因为，由余弦定理得，
整理得，可得，
由余弦定理可得．
因为，且，则，
，所以，
因为由余弦定理得，
于是，
因为，则，所以，
因此，于是的周长．
(ⅱ)若，则，则，
由上述分析得，，
所以
．

17.解：，
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以．
令，
则，
所以的单调递增区间为
令，解得，
即的对称轴方程为．
由知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，
所以，
因为在上只有一个解，

由的图象可得，或，
所以的取值范围是

18.解：如图，作于点，交线段于点，连接、，
，
，
设则
，
，
，即时，，
此时，弧长为．
答：当弧长为时，矩形的面积最大，

19.解：由指数函数的单调性知，在上单调递增，且存在唯一零点，
由余弦函数的性质知，的零点为，
所以与不是“共零函数”．
由，则，即，
由，则，即，
又与是一对“共零函数”，则，，
所以，即，；
由，则，
又与是一对“共零函数”，则，
所以，
由，则，
由与也是一对“共零函数”，则，
所以，即，
由在上单调递增，故，则．

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