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《5.2.3角平分线的性质及画法》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
什么叫垂直平分线？有什么性质？
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.（简称”中垂线”）
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
活动1：基础性知识
角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗
如果是，你能找出它的对称轴吗？
如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么
角的对称性：
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
【基础性练习】
例1 如图 5-19，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′连接CD和CD′.
你认为线段CD和CD′之间有什么关系 说说你的理由.
特别地，当CD⊥OA时(如图5-20)，CD′与OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段CD和CD′之间还有（1）中的关系吗 你能得到什么结论？
理由：解：（1）CD=CD′
∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=∠BOP.
∵点D和D′关于OP所在直线对称，
∴OD=OD′.
∵OC=OC,
∴△CDO≌△CD′O（SAS）.
∴CD=CD′.
（2)当CD⊥OA时,CD'⊥OB.
理由：因为点D和点D'关于OP所在直线对称，点O，C都在OP上，
所以△OCD与△OCD'关于OP所在直线对称，
所以∠ODC=∠OD'C,
当CD⊥OA时,∠OD'C=∠ODC=90°，即CD' ⊥OB，
此时CD=CD'，还有(1)中的关系.
活动2：拓展性知识
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用格式：
∵OP是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD=PE
【拓展性练习】
例2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为　2.4　　　.
活动3：挑战性知识
如图,已知∠AOB,如何作出它的平分线？
假设∠AOB 的平分线已作出，那么
(1)这条射线有什么特征
(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢 与同伴进行交流.
解：（1）这条射线到角两边的距离相等.
解：(2)方法不唯一。举例：
(方法一)用量角器量出∠AOB的度数，在角的内部用量角器画出
∠AOC=1/2∠AOB,找射线OC上除点O外的任意一点即可。
(方法二)如图所示，用圆规取OD=OE，连接DE,用三角尺作DE
的中点F,点F就是所求。
【挑战性练习】
例3 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线.你能说明这样作的道理吗？
作法:
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和点E为圆心，以大于1/2DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内相交于点C.
3.作射线OC.
射线OC就是∠AOB的平分线.
理由详解：
如图所示，连接CE，CD，
由作图知OD=OE，CE=CD，
又∵OC=OC，
∴△OCE≌△OCD（SSS），
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB.
过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图的方法有什么共同点？与同伴进行交流.
这两种尺规作图方法都是根据“SSS”判定三角形全等，根据全等三角形的性质得出角相等，过直线上一点作已知直线的垂线可以看成作一个平角的平分线.
回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？
根据轴对称的性质、全等三角形的判定及性质等知识，运用了操作尝试、交流验证、猜测类比、找一找、画一画等方法.
经验：从轴对称的视角探索并感知平面图形轴对称的规律，积累研究平面图形性质的经验.（答案不唯一）
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1.用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示,能说明∠AOC=∠BOC的依据是(　C　)
A.角平分线上的点到角两边的距离相等 B.ASA C.SSS D.AAS
2.如图所示，OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C ,PD⊥OB于点D,则PC与PD 的大小关系是( B )
A. PC>PD B. PC=PD C. PC3.如图，在△ABC中，∠C=90° ，AD平分∠BAC交BC于点D ，DE⊥AB，垂足为E.若BC=8，BE=4，则△BDE 的周长为__12__.
4.如图，OP平分∠MON ，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上一个动点.若PA=3 ，则PQ 的最小值
为( C )
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
（选做题）
5.如图所示,在△ABC中,P是AC上的一点,连接BP,求作一点M,使得点M到AB和AC两边的距离相等,并且到点B和点P的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图,点M即为所求.
6.如图，在纸上画有∠AOB ，将两把相同的直尺按如图所示的方式摆放，直尺边缘的交点P在
∠AOB 的平分线上，则( A )
A. d1与d2一定相等 B. d1与d2一定不相等
C. d1与d2一定相等 D. d1与d2一定不相等
（综合拓展题）
7. 综合与实践感知：
如图1，AD平分∠BAC，∠B=∠C=90^ ，易知：DB=DC .
探究：（1）如图2，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B=45°，∠C=135° ，
试探究DB与DC 的数量关系.
应用：（2）如图3，在四边形ABDC中，AD 平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180° ，
∠ABD<90° ，DB与DC 的上述关系还成立吗？请说明理由.
解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC 的延长线于点F .
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ，∴DE=DF .
∵∠DCA=135^ ，
∴∠DCF=180^ ∠DCA=45^ =∠B .
在△DCF和△DBE中，{∠F=∠DEB,∠DCF=∠B,DF=DE,
∴△DCF≌△DBE(AAS) .∴DC=DB .
（2）成立.理由如下：
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC 的延长线于点N .
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC ，
∴DM=DN .
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠NCD=180° ，
∴∠B=∠NCD .
在△NCD和△MBD中，{∠N=∠BMD,∠NCD=∠B,DN=DM,)
∴△NCD≌△MBD(AAS) .
∴DC=DB .
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.如图，OC平分∠AOB，P是射线OC 上一点，PM⊥OB于点M，N是射线OA 上的一个动点.若PM=5，则PN 的长度不可能是( D )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 4
2.下列说法中不正确的是( B )
A. 角是轴对称图形
B. 角平分线是角的对称轴
C. 将∠AOB对折,边OA与边OB重合,折痕所在的直线是∠AOB 的对称轴
D. 角可以看作是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形
3.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90° ，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10 ，CD=3，则△ABD 的面积为( C )
A. 60 B. 30 C. 15 D. 10
拓展性作业（必做题）
4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90° .以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在△ABC 的内部相交于点P，作射线AP交边BC于点D .若CD=，△ABD的面积为，则线段AB 的长为_5__.
5.如图,在直线CD上求作一点P,使点P到射线OA,OB 的距离相等. （不写作法，保留作图痕迹）
解：如图所示，点P 即为所求.
挑战性作业（选做题）
6.如图，在△ABC中,点O为∠ABC,∠ACB 的平分线的交点,OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,垂足分别为D,E,F .
（1）OD与OE 是否相等 请说明理由.
（2）若△ABC的周长是30,且OF=3,求△ABC 的面积.
解:（1）相等.理由如下:
∵BO平分∠ABC,OD⊥AB,OF⊥BC,∴OD=OF .
∵CO平分∠ACB,OE⊥AC,OF⊥BC ,
∴OE=OF.∴OD=OE .
（2）连接OA.由（1），得OD=OE=OF=3 .
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB OD+BC OF+AC OE=(AB+BC+AC) OF=×30×3=45 .
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
什么叫垂直平分线？有什么性质？
.
活动1：基础性知识
角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗
如果是，你能找出它的对称轴吗？
如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么
角的对称性：
角是 图形， 是它的对称轴.
【基础性练习】
例1 如图 5-19，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′连接CD和CD′.
你认为线段CD和CD′之间有什么关系 说说你的理由.
特别地，当CD⊥OA时(如图5-20)，CD′与OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段CD和CD′之间还有（1）中的关系吗 你能得到什么结论？
活动2：拓展性知识
角平分线的性质
.
符号语言：
.
【拓展性练习】
例2 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为　　　.
活动3：挑战性知识
如图,已知∠AOB,如何作出它的平分线？
假设∠AOB 的平分线已作出，那么
(1)这条射线有什么特征
(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢 与同伴进行交流.
【挑战性练习】
例3 如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线.你能说明这样作的道理吗？
过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图的方法有什么共同点？与同伴进行交流.
回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1.用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示,能说明∠AOC=∠BOC的依据是(　　)
A.角平分线上的点到角两边的距离相等
B.ASA
C.SSS
D.AAS
2.如图所示，OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C ,PD⊥OB于点D,则PC与PD 的大小关系是( )
A. PC>PD B. PC=PD
C. PC3.如图，在△ABC中，∠C=90^ ，AD平分∠BAC交BC于点D ，DE⊥AB，垂足为E.若BC=8，BE=4，则△BDE 的周长为____.
4.如图，OP平分∠MON ，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上一个动点.若PA=3 ，则PQ 的最小值
为( )
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
（选做题）
5.如图所示,在△ABC中,P是AC上的一点,连接BP,求作一点M,使得点M到AB和AC两边的距离相等,并且到点B和点P的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹)
6.如图，在纸上画有∠AOB ，将两把相同的直尺按如图所示的方式摆放，直尺边缘的交点P在
∠AOB 的平分线上，则( )
A. d1与d2一定相等 B. d1与d2一定不相等
C. d1与d2一定相等 D. d1与d2一定不相等
（综合拓展题）
7. 综合与实践感知：
如图1，AD平分∠BAC，∠B=∠C=90° ，易知：DB=DC .
探究：（1）如图2，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B=45° ，∠C=135° ，试探究DB与DC 的数量关系.
应用：（2）如图3，在四边形ABDC中，AD 平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180° ，∠ABD<90° ，DB与DC 的上述关系还成立吗？请说明理由.
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.如图，OC平分∠AOB，P是射线OC 上一点，PM⊥OB于点M，N是射线OA 上的一个动点.若PM=5，则PN 的长度不可能是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 4
2.下列说法中不正确的是( )
A. 角是轴对称图形
B. 角平分线是角的对称轴
C. 将∠AOB对折,边OA与边OB重合,折痕所在的直线是∠AOB 的对称轴
D. 角可以看作是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形
3.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90° ，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10 ，CD=3，则△ABD 的面积为( )
A. 60 B. 30 C. 15 D. 10
拓展性作业（必做题）
4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90° .以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在△ABC 的内部相交于点P，作射线AP交边BC于点D .若CD=，△ABD的面积为，则线段AB 的长为___.
5.如图,在直线CD上求作一点P,使点P到射线OA,OB 的距离相等. （不写作法，保留作图痕迹）
挑战性作业（选做题）
6.如图，在△ABC中,点O为∠ABC,∠ACB 的平分线的交点,OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,垂足分别为D,E,F .
（1）OD与OE 是否相等 请说明理由.
（2）若△ABC的周长是30,且OF=3,求△ABC 的面积.
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