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江苏省苏北七市(通扬泰徐宿连淮)2025届高三第三次调研测试数学试题(苏北三模)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.复数z满足，则在复平面内，z对应的点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分下：，，，，，，则该组数据的第40百分位数为
A. B. C. D.
4.已知函数，曲线在点处的切线与x轴平行，则
A. B. C. 0 D. 1
5.在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6.已知函数的图象关于直线对称，则
A. B. C. D.
7.设函数的定义域为R，是的极大值点，则
A. 是的极小值点 B. 是的极大值点
C. 是的极小值点 D. 是的极大值点
8.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交C于A，B两点.若，则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，，则
A. B. C. D.
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线交C于A，B两点，则
A. B.
C. 的最小值为 D. 到l的距离的最大值为
11.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在中，，BC边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则
A. B. 面积的最大值为
C. 当时， D. d的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，，则 .
13.已知函数满足，且则方程的实数解的个数为 .
14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知某校有甲、乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成.
先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率;
在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记X为乙队中男生与女生人数之差，求X的分布列与期望.
16.本小题15分
已知数列是等差数列，记其前n项和为，且，
求数列的通项公式;
将数列与的所有项从小到大排列得到数列
①求的前20项和;
②证明：
17.本小题15分
如图，在直三棱柱中，点D在BC上，
证明：平面
若，，二面角的大小为
①求AC与平面所成角的正弦值;
②点E在侧面内，且三棱锥的体积为，求E的轨迹的长度.
18.本小题17分
设O为坐标原点，抛物线与的焦点分别为，，为线段的中点.点，在上在第一象限，点，在上，
求曲线的方程;
设直线的方程为，求直线的斜率;
若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值.
19.本小题17分
记已知函数和的定义域都为D，若存在，，，，使得，当且仅当，，2，，m时等号成立，则称和在D上“m次缠绕”.
判断和在上“几次缠绕”，并说明理由;
设，若和在上“3次缠绕”，求a的取值范围;
记所有定义在区间上的函数组成集合A，证明：给定，对任意，都存在，，使得，且和在上“m次缠绕”.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在数轴上分别标出集合所表示的范围如图所示，
由图可知，
故选：C
2.【答案】A
【解析】解：由 ，得 ，
复数 z在复平面内对应的点的坐标为 ，在第一象限．
故选
3.【答案】C
【解析】解：数据从小到大排列得到：，，，，，，
，这组数据的第40百分位数为第三个数据.
故选
4.【答案】D
【解析】解：由，得，
由条件得：，解得
故选：
5.【答案】A
【解析】解：已知在正项数列中，，
令，则，即常数，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故由条件甲可以推出条件乙；
若是等比数列，
设其公比为q，则，
那么
而，
当时，，所以由条件乙不能推出条件甲.
故甲是乙的充分条件但不是必要条件.
6.【答案】D
【解析】解：，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，，
所以，
所以
故选
7.【答案】C
【解析】解：设，则的图象是由的图象关于y轴对称得到的.
因为是的极大值点，那么在附近，大于其左右两侧附近的函数值，
对于，当时，
由于图象关于y轴对称，在附近的函数值情况与在附近相反，
所以是的极大值点，A选项错误；
设，的图象是由的图象关于x轴对称得到的.
因为是的极大值点，即大于其左右两侧附近的函数值.
对于，当时，
由于图象关于x轴对称，在附近的函数值情况与在附近相反，
所以是的极小值点，那么不是的极大值点，B选项错误；
设，的图象是由的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称得到的.
因为是的极大值点，在附近，大于其左右两侧附近的函数值，
经过两次对称变换后，当时，，
在附近，的函数值情况与在附近相反，
所以是的极小值点，C选项正确；
设，是偶函数，其图象关于y轴对称.
当时，，
已知是的极大值点，
但对于，在处，因为是偶函数，
，且在右侧附近的值小于，
根据偶函数性质，在左侧附近的值与时对称位置的值相等，
所以不是的极大值点，D选项错误.
故选
8.【答案】B
【解析】解：设，，
离心率为，则
由，，
，解得，则，
又
则
，
解得，
9.【答案】ABD
【解析】解：已知，，，所以A正确；
，B正确；
，C错误；
因为，D正确．
故选：
10.【答案】AC
【解析】解：双曲线C：的渐近线方程为，即，
直线l：过原点，
要使直线l与双曲线C交于A、B两点，
应有，即，故A正确；
由对称性可知点A、B关于原点对称，
则四边形为平行四边形，，
则，故B错误；
设，则，
由题可知，，
，，
则，当且仅当时取等号，
即的最小值为，故C正确；
点到l的距离为，
当时，；
当时，，
又，则，
可得；
综上可得，故D错误.
11.【答案】ABD
【解析】解：设A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由已知，的面积为，即，
又由余弦定理可知，
故，即，即，故A正确；
的面积为，
又，即，当且仅当时取等，
故的面积，故B正确；
当时，BC边上的高为，且其等于，
故，即，又，故，
故为以B为直角顶点的等腰直角三角形，
取BC中点F，AC中点E，设上任一点P，上任一点Q，
则，
，
即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HG重合时取等，；
根据对称性可知若点P在上，点Q在上时结论同上；
若点P在上，点Q在上时，同理可得
综上所述，当时，，故C错误；
设P，Q分别为、上任意一点，，
，
即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时取等，
同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，
因此三个半圆围成的平面区域W的“直径”为的周长的一半，即
由A知，，
则，
当且仅当时取等，
故d的最大值为，故D正确.
12.【答案】
【解析】解：因为随机变量X∽，
所以正态分布图象关于对称，
那么
又因为，
在连续型随机变量中，
所以
由正态分布图象关于对称可知
，
设，则，
所以，移项可得，即，解得
因为，，
所以
13.【答案】5
【解析】解：由函数满足，可知周期为4，
由，可得图象如图，
方程的解，即为与的交点横坐标，
由图可知两图象交点个数为5，故答案为
14.【答案】
【解析】解：作出圆锥的轴截面SAB，圆锥的底面圆心为点O，如图：
小球与圆锥的侧面相切，小球、均同时与圆锥的底面和侧面相切，
可知，，，
则，，
根据对称性可知，
则，，
作于点P，于点Q，
则，，
则小球能接触到的圆锥容器内壁最大面积为上下底面半径分别为、，母线长为的圆台侧面积加上半径为的圆的面积，
可得小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为
故答案为：
15.【答案】解：设“选取一队是甲队”为事件A，“选取一队是乙队”为事件 B，
“随机选取一名志愿者是男生”为事件C，则，其中事件AC与BC互斥，
所以
因为，，
所以
所以该志愿者是男生的概率为
的可能取值为1，3，5，
因为，
，
，
所以X的分布列为：
所以X的期望
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：设等差数列的公差为d，
由，得，即，
由，取，得，即，
解得，，所以；
①解：由知，，所以，
因为，所以，所以；
②证明：因为，所以，
所以当时，；
当时，
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：在直三棱柱中，平面ABC，
因为平面ABC，所以
又因为，，，平面，
所以平面
①在直三棱柱中，平面ABC，，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，，
设平面的法向量，由得取，得，，
所以平面的一个法向量
又平面的法向量，所以，解得
所以，，所以，
设AC与平面所成角为，则
②因为，，，所以
因为三棱锥的体积为，所以E到平面的距离为，
因为E在侧面上，可设，
E到平面的距离为，
所以E在侧面上的运动轨迹是线段，所以 E的轨迹长度为
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：由题意，，由为线段的中点得，所以曲线的方程为；
设，，，，
联立消x，得，，，
则，因为，则
因为，，则，所以，
所以，，即，直线的斜率为；
因为，，，，
所以，，
因为，所以
因为，，，，
所以，①
由代入①得，
由得，
因为，，所以，所以，同理，
所以，因为，所以，
所以，得，即，
设，联立消去x，得，
所以，所以过定点，
则，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以四边形面积的最小值为
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：函数，和，“2次缠绕”，
理由如下：因为对任意，，
当且仅当和时，等号成立，
所以由“m次缠绕”定义可知和在上“2次缠绕”；
设，
因为和在上“3次缠绕”，
所以存在互异的三个正数，，，
使得，
当且仅当，，2，3时等号成立，
所以，，是的三个零点.
注意到，所以1是的一个零点.
，
①当时，，
在上递增，1是的唯一零点，不合题意，
②当时，，在上递减，1是的唯一零点，不合题意，
③当时，令，，
存在两根，
当时，，递减;
当时，，递增，
当时，，递减，
所以，
因为，
设，，
因为，
所以在上递减，所以，即，
所以存在，又，，
所以存在，，
所以恒成立，
即时，和在上“3次缠绕”，
综上，a的取值范围是
取，
设，
令，，，
显然，且，
当且仅当，，2，，m时，等号成立.
所以对任意，
存在，，，
其中，
使得，且和在上“m次缠绕”.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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