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专题02 平面向量范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：定义法
题型二：坐标法
题型三：基底法
题型四：几何意义法
【知识点梳理】
平面向量范围与最值问题常用方法：
1、定义法
第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步:得出结论
2、坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
3、基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
3、几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
【典型例题】
题型一：定义法
【例1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为 ．
【变式1-1】（2019·黑龙江哈尔滨·一模）在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为 .
【变式1-2】（24-25高一下·重庆·阶段练习）在 中，点 为边 上一点且满足，若点 为 上一点且满足，则 的最小值为:
【变式1-3】（24-25高一下·江西赣州·期中）若向量，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
题型二：坐标法
【例2】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为 .
【变式2-1】（23-24高一下·上海·期末）已知非零向量，，满足：，则的最大值为 ．
【变式2-2】（24-25高一下·安徽·期中）已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是 .
【变式2-3】（24-25高一下·天津河西·期中）在中，,点是线段上的动点，则的最小值为 ；当取得最小值时, .
题型三：基底法
【例3】（24-25高一下·陕西·期中）在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为 .
【变式3-1】（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，，，为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且，若的最小值为3，则 ．
【变式3-2】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为 ．
【变式3-3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为
题型四：几何意义法
【例4】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是 .
【变式4-1】（24-25高一下·河南周口·期中）若，则的取值范围是 .
【变式4-2】（24-25高一下·广东·阶段练习）已知为坐标原点，向量（点不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是 ．
【变式4-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
【强化训练】
1．（23-24高一下·甘肃·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为3，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为 .
2．（24-25高一下·广东茂名·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，，则的最大值是 .
3．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ．
4．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）已知平面向量，，满足，，，其中，且，则的最大值是 .
5．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）点AB在单位圆O上，、是两个给定夹角为120°的向量，P为单位圆上动点，C为线段OA上靠近A的三等分点，D为线段OB上靠近B的四等分点，设，则的最大值为 .
6．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为 ．
7．（24-25高一下·河南·期中）已知等边三角形的外接圆的周长为，点是 外接圆上的一动点，则的取值范围是 .
8．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的取值范围是 .
9．（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ．
10．（24-25高一下·上海静安·期中）已知菱形ABCD的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围为 ．
11．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是 .
12．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.

(1)若，用，表示，；
(2)求的取值范围.
13．（24-25高一下·广东·阶段练习）如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点．
(1)求的取值范围；
(2)当为的中点时，用表示；
(3)若，求的最大值．
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专题02 平面向量范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：定义法
题型二：坐标法
题型三：基底法
题型四：几何意义法
【知识点梳理】
平面向量范围与最值问题常用方法：
1、定义法
第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步:得出结论
2、坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
3、基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
3、几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
【典型例题】
题型一：定义法
【例1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，取的中点D，如图，
因为O是的外心，所以，
又G是的重心，所以为的中点，则，
则
，
又，所以，即，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，
则的最小值为.
故答案为：.
【变式1-1】（2019·黑龙江哈尔滨·一模）在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为 .
【答案】9
【解析】因为，所以，又三点共线，
所以，所以，
当且仅当即时，等号成立.
故答案为：9.
【变式1-2】（24-25高一下·重庆·阶段练习）在 中，点 为边 上一点且满足，若点 为 上一点且满足，则 的最小值为:
【答案】
【解析】
，
，
，
为 上一点，
，
，
当且仅当，等号成立.
解得 或（舍）　
即等号成立，
的最小值为.
故答案为：.
【变式1-3】（24-25高一下·江西赣州·期中）若向量，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由，所以，
又，所以，解得，
当且仅当，且，方向相反时取等号，所以的最小值为.
故选：C.
题型二：坐标法
【例2】（24-25高一下·江苏常州·期中）已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】以圆心为坐标原点，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设，且，，
则，
则
，
故当时，取得最小值，
由于，则当时，取得最小值，
此时，或，，
故的最小值为.
故答案为：
【变式2-1】（23-24高一下·上海·期末）已知非零向量，，满足：，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】由，可得，所以，
要使取最大值，则取最大值，由于，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，
故答案为：
【变式2-2】（24-25高一下·安徽·期中）已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是 .
【答案】
【解析】因为，是两个互相垂直的单位向量，所以可建立平面直角坐标系，不妨设，. 设，
已知，，可得：，
，所以.
.
根据向量模的计算公式：可得：
因为，所以，则，当且仅当时取等号.
故答案为：.
【变式2-3】（24-25高一下·天津河西·期中）在中，,点是线段上的动点，则的最小值为 ；当取得最小值时, .
【答案】
【解析】以为坐标原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
又中，，从而，
所以，即，
设，
则，
所以时，取得最小值，
此时，则，
，又，
所以，
故答案为：；
题型三：基底法
【例3】（24-25高一下·陕西·期中）在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】
由可知为的中点.
又因为为外接圆的圆心，所以，所以为直角三角形，
所以，即，所以.
又，所以，所以.
又因为为边上的动点，所以，.
所以，
因为，所以，所以，所以的最小值为.
故答案为：.
【变式3-1】（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，，，为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且，若的最小值为3，则 ．
【答案】
【解析】取中点，则，
又的最小值为3，故，易知最小时且，
所以，，则，
所以.
故答案为：
【变式3-2】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为 ．
【答案】16
【解析】取的中点，作，垂足为，
则，
因为该梯形的面积为，且，，
则，即，
可得，
所以的最小值为16.
故答案为：16.
【变式3-3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为
【答案】 / /
【解析】易知，
所以有.
所以，，
当且仅当同向时，等号成立，
此时取最大值3，取最大值为；
所以，，
当且仅当反向时，等号成立，
此时取最小值1，取最小值为.
故答案为：；.
题型四：几何意义法
【例4】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已知圆的半径为为圆的弦，弦长为圆上任意一动点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】取的中点，连接、，
则
，
又，
所以，，
即，
所以，．
故的取值范围为．
故答案为：
【变式4-1】（24-25高一下·河南周口·期中）若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】，
当同向共线时，；
当反向共线时，；
当不共线时，由，可得.
综上可得.
故答案为：.
【变式4-2】（24-25高一下·广东·阶段练习）已知为坐标原点，向量（点不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以三点在以为圆心，1为半径的圆上，
又，所以，所以为圆的直径.
所以.
又，则点在以为圆心，2为半径的圆上.所以.
因为
设，则
.
因为，所以.
所以
故答案为：
【变式4-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【解析】因为，即为的中点，又，所以为的中点，
又正三角形的边长为，所以，
依题意，，
所以，
所以当时取得最小值，
如图，此时点在的位置，连接，则，
又，，所以，
所以，
所以.
故选：D
【强化训练】
1．（23-24高一下·甘肃·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为3，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为 .
【答案】
【解析】如图所示建立平面直角坐标系，
因为正八边形的每个内角为，则，.
又因为，则.
由题意知，在以为圆心，为半径的圆上，且，关于原点对称，
设，则，
可得
，
其中，
所以当时，取得最大值为.
故答案为：.
2．（24-25高一下·广东茂名·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，，则的最大值是 .
【答案】2
【解析】解法1：以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，
设，则，其中．
因为，所以，即，
所以．
所以当时，取得最大值2，此时点为的中点
解法2：因为，且，
所以，
又，所以，
当时，，整理得，
当且仅当时等号成立.
当或时，.
综上，的最大值为2.
故答案为：2
3．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】因为，所以，记，
当，则，
此时，，当且仅当共线同向时取等号；
当，则，
此时，，当且仅当共线同向时取等号；
当，则，
此时，，当且仅当共线同向时取等号；
所以的最大值为.
故答案为：.
4．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）已知平面向量，，满足，，，其中，且，则的最大值是 .
【答案】/
【解析】由，得，
两边平方得，
因为，，，
所以，
当时，取得最大值.
故答案为：.
5．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）点AB在单位圆O上，、是两个给定夹角为120°的向量，P为单位圆上动点，C为线段OA上靠近A的三等分点，D为线段OB上靠近B的四等分点，设，则的最大值为 .
【答案】4
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，即，
设，则，
因为，
即，
所以，所以，
所以，
因为，所以 ，
所以当时，有最大值2，
所以有最大值4.
故答案为：4
6．（24-25高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因，，，则有，
又因是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，
则得，
因，，
则
，
由图知，当与同方向时，取得最大值1，
当与反方向时，取得最小值，
故.
故答案为：．
7．（24-25高一下·河南·期中）已知等边三角形的外接圆的周长为，点是 外接圆上的一动点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】设等边三角形的外接圆半径为，圆心为，
因为外接圆的周长为，可得，解得，且，
所以
，
设的中点为，则，且，
再设与的夹角为，
则.
又由，可得，所以的取值范围为.
故答案为：.
8．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可得，则，，
由，，则，，
可得，解得，当且仅当时，等号成立，
由图易知，所以.
故答案为：.
9．（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点，
则，，
由Q是BC的中点，得，又，则，
所以取值范围为；
故答案为：
10．（24-25高一下·上海静安·期中）已知菱形ABCD的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意，
设，则，
，
由二次函数的性质可知，当，取得最小值，
由得，得，
向量在方向上数量投影为，
故向量在方向上数量投影的取值范围为，
故答案为：
11．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，，，得，
又，即,.即，
即
故答案为：.
12．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，.

(1)若，用，表示，；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形.
所以，
因为，，所以，
所以，
.
（2）因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，
所以，
设，则，.
所以，
，
所以
，
因为，
所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为.
所以的取值范围.
13．（24-25高一下·广东·阶段练习）如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点．
(1)求的取值范围；
(2)当为的中点时，用表示；
(3)若，求的最大值．
【解析】（1）如图，设，连接，
而，
因为，故，
所以的取值范围为．
（2）因为为的中点，所以，
由平面向量加法法则得，
则在方向上的投影向量为，
在方向上的投影向量为，
得到，
故，
将代入，得．
（3）因为，，
所以，
又由（2）知，
故，则，
因为，所以当且仅当时，取得最大值1，
故的最大值为．
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