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第6章　微专题　三角形解的个数问题
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A组·基础巩固
1．在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝4，则AC＝(　　)
A．1 B．2
C．2 D．2
【答案】　C
【解析】　由题意可得B＝180°－A－C＝30°，由正弦定理＝，因此，AC＝＝2.故选C．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝4，c＝6，C＝60°，则cos B＝(　　)
A． B．
C．± D．±
【答案】　A
【解析】　由正弦定理得＝，代入数据可得，sin B＝，又∵b＜c，∴B＜C，∴cos B＞0，∴cos B＝.故选A．
3．在△ABC中，若＝，则C＝(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】　B
【解析】　由正弦定理，知＝，∴＝，∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，又∵0°＜C＜180°，∴C＝45°.
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝，bcsin A＝8sin B，a＝2，则b＝(　　)
A．4 B．2
C．2 D．2
【答案】　B
【解析】　因为bcsin A＝8sin B，所以abc＝8b，即ac＝8.又a＝2，所以c＝4，由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，从而b＝＝2，故选B.
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝(k为非零实数)，则下列结论正确的是(　　)
A．当k＝5时，△ABC是直角三角形
B．当k＝3时，△ABC是锐角三角形
C．当k＝2时，△ABC是钝角三角形
D．当k＝1时，△ABC是钝角三角形
【答案】　ABC
【解析】　对于A，当k＝5时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝5，b＝3，c＝4，a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形；对于B，当k＝3时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝3，b＝3，c＝4，显然△ABC是等腰三角形，且C为最大角，a2＋b2－c2＝9＋9－16＝2＞0，说明C为锐角，故△ABC是锐角三角形；对于C，当k＝2时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝2，b＝3，c＝4，可得a2＋b2－c2＝4＋9－16＝－3＜0，说明C为钝角，故△ABC是钝角三角形；对于D，当k＝1时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝1，b＝3，c＝4，此时a＋b＝c，不能构成三角形，故结论错误．故选ABC．
6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列说法正确的有(　　)
A．A∶B∶C＝a∶b∶c
B.＝
C．若A＞B，则a＞b
D．若A＞B，则sin A＞sin B
【答案】　BCD
【解析】　由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，所以A选项错误；设＝＝＝k，则＝＝k＝，B选项正确；在三角形中，大角对大边，所以C选项正确；若A＞B，则a＞b，由正弦定理＝，得sin A＞sin B，D选项正确．故选BCD.
7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足a－2b＋c＝0,3a＋b－2c＝0，则sin A∶sin B∶sin C＝________.
【答案】　3∶5∶7
【解析】　由a－2b＋c＝0,3a＋b－2c＝0，得a＝c，b＝c，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝c∶c∶c＝3∶5∶7.
8．在△ABC中，若a＝，b＝，B＝，则A＝________.
【答案】　或
【解析】　由正弦定理，得sin A＝＝＝，又A∈(0，π)，a＞b，∴A＞B，∴A＝或.
9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
【答案】　1
【解析】　在△ABC中，∵sin B＝，0＜B＜π，∴B＝或B＝π.又∵B＋C＜π，C＝，∴B＝，∴A＝π－－＝π.∵＝，∴b＝＝1.
10．在△ABC中，根据下列条件解三角形：
(1)A＝30°，C＝105°，a＝2；
(2)b＝3，c＝3，B＝30°.
【解析】　(1)∵A＝30°，C＝105°，∴B＝180°－(A＋C)＝45°.
∵＝＝，
∴b＝＝＝2，
c＝＝＝＋.
∴B＝45°，b＝2，c＝＋.
(2)由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝.
∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°.
①当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝＝6.
②当C＝120°时，A＝180°－(B＋C)＝30°＝B，∴a＝b＝3.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
B组·综合运用
11．△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　)
A．45° B．60°
C．75° D．90°
【答案】　C
【解析】　设C为最大角，则A为最小角，∴A＋C＝120°，∴＝＝＝＝×＋＝＋，∴＝1.∴tan A＝1.又∵A为锐角，∴A＝45°，C＝75°.
12．在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈，则的取值范围为(　　)
A．(，) B．(，2)
C．(0,2) D．(，2)
【答案】　A
【解析】　由正弦定理得＝＝＝2cos B．又＜B＜，余弦函数在此范围内单调递减，故＜cos B＜，∴∈(，)．
13．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B.则下列三个不等式中成立的是________.(填序号)
①sin A＞sin B；
②cos A＜cos B；
③sin A＋sin B＞cos A＋cos B．
【答案】　①②③
【解析】　A＞B a＞b sin A＞sin B，故①成立．函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，∵A＞B，∴cos A＜cos B，故②成立．在锐角三角形中，∵A＋B＞，∴0＜－B＜A＜，又函数y＝sin x在区间上单调递增，则sin A＞sin，即sin A＞cos B，同理sin B＞cos A，故③成立．
14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A－C＝90°，a＋c＝b，求C．
【解析】　由A－C＝90°，得A为钝角，且A－90°＝C，
∴sin A＝cos C，
由a＋c＝b及正弦定理，得sin A＋sin C＝sin B，
∴sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin(C＋45°)＝sin B，
又角A，B，C是△ABC的内角，∴C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，
∴A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，∴C＝15°.
C组·拓展提升
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BPC＝90°，AB＝，BC＝1，∠APC＝120°，则tan∠BCP＝________.
【答案】　
【解析】　由题得AC＝＝2，∠ACB＝60°.设∠BCP＝α，∴∠ACP＝60°－α，∠CAP＝180°－120°－(60°－α)＝α，在Rt△PBC中，PC＝1×cos α＝cos α.在△ACP中，由正弦定理得＝，∴tan α＝.
16．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明：＝.
【证明】　如图，设∠BAD＝α，∠BDA＝β，则∠CAD＝α，∠CDA＝180°－β.
在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，得＝，＝.
又因为sin(180°－β)＝sin β，所以＝，
即＝.
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第六章　平面向量及其应用
微专题　三角形解的个数问题
1．已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．
2．已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．怎样判断解的个数呢？
(2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表：
不解三角形，判断下列三角形解的个数：
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.
１
(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．a＝30，b＝50，A＝36°
B．a＝50，b＝30，A＝36°
C．a＝30，b＝60，A＝30°
D．a＝30，B＝20°，A＝136°
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
(3)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是(　　)
【答案】　(1)A　(2)C　(3)C
【解析】　(1)A选项，bsin A＝50sin 36°＜a，又a＜b，所以三角形有两个解；B选项，bsin A＝30sin 36°＜a，又a＞b，所以三角形有一个解；C选项，bsin A＝60sin 30°＝30＝a，所以三角形有一个解；D选项，可得C＝24°，所以三角形有一个解，故选A．

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