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章末检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　　)
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
【答案】　A
【解析】　因为a，b∈R，(a＋b)＋2ai＝2i，所以a＋b＝0,2a＝2，解得a＝1，b＝－1.
2．设复数z＝，则z在复平面内对应的点的坐标为(　　)
A．(1,1) B．(－1,1)
C．(1，－1) D．(－1，－1)
【答案】　B
【解析】　z＝＝＝＝－1＋i，则z在复平面内对应的点的坐标为(－1,1)．故选B.
3．已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为(　　)
A．2 B．1
C．－2 D．i
【答案】　B
【解析】　由题意，化简得z＝＝＝＝2＋i，所以复数z的虚部为1.故选B.
4．若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　　)
A．4 B．4
C．2 D．2
【答案】　D
【解析】　因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以|iz＋3|＝|2－2i|＝＝2.故选D.
5．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是纯虚数，则复数z2＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
【答案】　A
【解析】　由z1＝2＋i，得1＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，可设z2＝1＋bi(b∈R)，则1·z2＝(2－i)(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.由1·z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i.
6．定义运算＝ad－bc，则符合条件))＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
【答案】　A
【解析】　＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝＝＝＝3－i.
7．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)
A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
【答案】　D
【解析】　z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.
8．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，z1－z2＝，则z1·z2＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
【答案】　A
【解析】　z1－z2＝＝＝－2i，由|z1|＝|z2|＝1，设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，∴cos α＝cos β，sin α－sin β＝－2，∴cos α＝cos β＝0，sin α＝－1，sin β＝1，∴z1＝－i，z2＝i，∴z1·z2＝－i·i＝1.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分)
9．下面关于复数z＝的四个说法中，正确的有(　　)
A．|z|＝2
B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－1
【答案】　BD
【解析】　∵z＝＝＝－1－i，∴|z|＝，A不正确；z2＝(－1－i)2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C不正确；z的虚部为－1，D正确．
10．设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z11＝z22
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
【答案】　ABC
【解析】　A项，|z1－z2|＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 1＝2，真命题；B项，z1＝2 1＝z2，真命题；C项，|z1|＝|z2| |z1|2＝|z2|2 z11＝z22，真命题；D项，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．
11．已知复数z0＝1＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，z0的共轭复数在复平面内对应的点为P0′，复数z在复平面内对应的点为P，且复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是(　　)
A．P0′的坐标为(－1,1)
B．点P在一条直线上
C．P0在点P的轨迹上
D．|P0′P|的最小值为
【答案】　BC
【解析】　复数z0＝1＋i在复平面内对应的点为P0(1,1)，∴z0的共轭复数在复平面内对应的点为P0′(1，－1)，A错误；设点A(1,0)，B(0,1)，由复数z满足|z－1|＝|z－i|，结合复数的几何意义，可知复数z到点(1,0)与点(0,1)的距离相等，则复数z对应的点P在线段AB的垂直平分线y＝x上，B正确；P0(1,1)在y＝x上，C正确；易知|P0′P|的最小值即为O、P0′的距离|OP0′|，而|OP0′|＝，D错误．故选BC．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
12．i是虚数单位，复数＝________.
【答案】　4－i
【解析】　＝＝
＝＝4－i.
13．已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i(a∈R)对应的复平面内的点分别为Z1和Z2，且⊥，则a＝________.
【答案】　
【解析】　依题意可知＝(－3,4)，＝(2a,1)．因为⊥，所以·＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝.
14．已知2－i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，则b－a＝________.
【答案】　9
【解析】　由题意可知，关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的两个虚根分别为2＋i,2－i，由根与系数的关系可得解得a＝－4，b＝5，因此，b－a＝9.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1z2；
(2).
【解析】　z2＝＝＝＝＝1－3i.
(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＝＋i.
16．(本小题满分15分)已知复数z＝m2＋m－2＋(m－1)i(m∈R)，其中i为虚数单位．
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若m＝2，设＝a＋bi(a，b∈R)，试求a＋b的值．
【解析】　(1)由题意可得：m2＋m－2＝0，且m－1≠0，∴m＝－2.
(2)若m＝2，则z＝4＋i，∴＝＝＝＝＝a＋bi，∴a＝，b＝，∴a＋b＝.
17．(本小题满分15分)设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)(m∈R)对应的向量为.
(1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||；
(2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．
【解析】　(1)因为的终点Z在虚轴上，所以复数z的实部为0，
则有log2(m2－3m－3)＝0，所以m2－3m－3＝1，所以m＝4或m＝－1.
因为m－2＞0，所以m＝4，此时z＝i，＝(0,1)，||＝1.
(2)因为的终点Z在第二象限内，则有
解得＜m＜4，
所以m的取值范围为.
18．(本小题满分17分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|＜|z1|，求a的取值范围．
【解析】　由题意，得z1＝＝2＋3i，
z2＝a－2－i，2＝a－2＋i，
所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|＝，|z1|＝，
又因为|z1－2|＜|z1|，所以＜，
所以a2－8a＋7＜0，解得1＜a＜7.
所以a的取值范围是(1,7)．
19．(本小题满分17分)已知复数z1是一元二次方程x2－2x＋7＝0的根．
(1)求z1；
(2)若复数z1的虚部大于零，复数z2的虚部为1，z1·z2是纯虚数，求|z2|.
【解析】　(1)由x2－2x＋7＝0，得(x－1)2＝－6＝6i2，解得x＝1±i，所以z1＝1＋i或1－i.
(2)因为复数z1的虚部大于零，所以z1＝1＋i，又复数z2的虚部为1，可设z2＝a＋i，a∈R，
则z1·z2＝(1＋i)(a＋i)＝a－＋(a＋1)i，因为z1·z2是纯虚数，
所以解得a＝，所以z2＝＋i，
所以|z2|＝＝.
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第七章　复数
章末复习与总结
知识体系构建
核心考点培优
A．4 B．3
C．2 D．1
(2)i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)满足z2＋z＝1－3i，则|z|＝(　　)
考点一
复数的概念
A．0 B．－1
C．1 D．－2
【答案】　(1)C　(2)C　(3)A
考点二
复数的四则运算
A．a＝1，b＝－2
B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2
D．a＝－1，b＝－2
【答案】　(1)D　(2)C　(3)A
考点三
复数的几何意义
2门世2有
3厚
复数与复数的分类
复数相等的充要条件
复数的概
念及几何意义
共轭复数
复数的模
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
复数的加法法则
复数加法的运算律及几何意义
复数集上
解方程
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
复数的咸法法则
复数减法的几何意义
复数方程
复数
复数的代数运算
复平面上两点、之间的距离d=|2,乙2
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
复数集
复数的乘法法则
上方程的
复数乘法的运算律
有关问题
复数的除法法则
a+bi ac+bd,bc-ad
c+di
c2+de c2+de
i(c+di≠0)
复数的三角表示式
复数乘法运算的三角表示式
法则
米复数的三角表示
几何意义
法则
复数除法运算的三角表示
几何意义

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