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2025八年级数学下册
第十六章
——二次根式单元复习
知识结构
分母
能开得尽方
达标训练
一、选择题（每题6分，共36分）
1.[2024 天津南开区期末] 下列的取值中，可以使 有意义的是
( )
D
A.13 B.10 C.7 D.4
2.[2024 南京秦淮区期末] 下列二次根式中，是最简二次根式的是
( )
B
A. B. C. D.
3.[2024 上海浦东新区月考] 下列各组二次根式中，能合并的是( )
C
A.和 B.和 C.和 D.和
4.下列运算正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
5.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简 的
结果是( )
C
A. B. C. D.
6.[2024 廊坊月考] 在中的“ ”内填入实数，使其结果
为有理数.小英说：“可以填入.”小明说：“可以填入 .”对于小英、小
明的说法判断正确的是( )
C
A.小英的说法对，小明的说法不对 B.小英的说法不对，小明的说法对
C.小英和小明的说法都对 D.小英和小明的说法都不对
二、填空题（每题6分，共18分）
7.计算： ______.
8.已知，化简： _________.
9.已知，，则代数式 的值是____.
三、解答题（共46分）
10.（10分）计算： .
解：原式
.
11.（15分）若，是实数，且 ，求
的值.
解：由题意可知，，, ,
原式
.
12.（21分）有一块长方形木板，木工师傅采用如
图所示的方式，在木板上裁出面积分别为 、
和 的三块正方形木板.
（1）裁出的三块正方形木板的边长分别为____
，_____和_____ .
（2）求长方形木板的面积.（结果保留根号）
解：根据题意，得长方形的宽为，长为 ,
长方形木板的面积为
.
（3）如果木工师傅想从剩余的木板中裁出长为、宽为 的
长方形木板，最多能裁出多少块这样的木板？
解：根据题意，得剩余的木板的长为 ，宽为
，
， ，
最多能裁出2块这样的木板.
素养发展
13. 任意一个二次根式（ 为正整数），都可以进行
这样的分解：，都是正整数，且，在 的所有
这种分解中，若最小，我们就称是 的最佳分解，并
记为：.例如可以分解成，或 ，
显然是的最佳分解，此时.若正整数， 满足
，，且，则 的值为___________.
或
[解析] 点拨： ,
可设，其中为正整数，则 .
, .
, 为一个正整数的平方.
, ，
, 或4.
当时，；当时， .
14. 阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些
含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，
善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中，，， 均为整数），则有
，.这样小明就找到了一种把类似 的式
子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当，，，均为正整数时，若 ，用含
，的式子分别表示，，得__________， ______；
（2）试着把 化成一个完全平方式；
解： .
（3）化简： .
解： .

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