资源简介

专题强化训练
一、单项选择题
1．[2024·广东二模]在平行四边形中，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
2．[2024·河南二模]已知向量，,则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. , B. C. D. ,
3． （ ）
A. B. C. D.
4．[2024·南通三模]已知，则（ ）
A. B. C. D.
5．[2024·湖南二模]若锐角 , 满足 ，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6．[2024·济南二模]在中，,, ,,,,交于点，则（ ）
A. B. C. D.
7．[2024·遵义一模]已知向量，，当取得最大值时，（ ）
A. B. C. D.
8．[2024·邯郸二模]对任意两个非零的平面向量和，定义：，.若平面向量,满足，且和都在集合,中，则（ ）
A. 1 B. C. 1或 D. 1或
二、多项选择题
9．[2024·重庆三模]已知，，是平面上的三个非零向量，那么（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与的夹角为
D. 若，则，在上的投影向量相等
10．[2024·河北模拟]已知 ,,,,，则（ ）
A. B.
C. D.
11．[2024·济南二模]如图，在中，,,点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ）
A.
B.
C. 的最大值为
D. 当，，三点共线时，
三、填空题
12．已知平面向量，,,且与的夹角等于与的夹角，则______.
13．已知 , 为三角形的两个内角，,，则________.
14．[2024·天津一模]已知平行四边形的面积为，，且.若为线段上的动点，且，则实数 的值为________；的最小值为______.
专题强化训练（解析版）
一、单项选择题
1．[2024·广东二模]在平行四边形中，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选B.因为四边形 为平行四边形，则有，所以.
2．[2024·河南二模]已知向量，,则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. , B. C. D. ,
【答案】A
【解析】选A.向量 在向量 上的投影向量为,.
3． （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选
.
4．[2024·南通三模]已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选B.将原式展开得，两边同时平方得，即，解得.
5．[2024·湖南二模]若锐角 , 满足 ，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选D..
因为 ,,,
所以,，
于是，当且仅当 时取等号，则 的最小值为.
6．[2024·济南二模]在中，,, ,,,,交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选C.由题建立如图所示的平面直角坐标系，
则,,，
由,，
得,,，
故 所在直线的方程为，
可得,，
所以.
7．[2024·遵义一模]已知向量，，当取得最大值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选，
其中，，
故当 时，取得最大值，
此时.
8．[2024·邯郸二模]对任意两个非零的平面向量和，定义：，.若平面向量,满足，且和都在集合,中，则（ ）
A. 1 B. C. 1或 D. 1或
【答案】D
【解析】选D.因为,,,,，
设向量 和 的夹角为 ，
因为，
所以，
得到
，
又，所以，
即,又 在集合,中，所以，
故,即,
又因为
，
所以 或1，
所以 或.
二、多项选择题
9．[2024·重庆三模]已知，，是平面上的三个非零向量，那么（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与的夹角为
D. 若，则，在上的投影向量相等
【答案】ABD
【解析】选.对于A，若，则，其中，，
若，则，，故；
若 , 有一个为零，易知与已知条件矛盾；
若 , 不为零，则，根据向量共线定理得，，故A正确；
对于B，若，两边平方得，，故B正确；
对于C，利用向量线性运算的平行四边形法则，作平行四边形，如图，
设,，则,，由 知平行四边形 为菱形，为等边三角形，所以 与 的夹角为，故C错误；
对于D，，在 上的投影向量分别是，，又，所以，故D正确.
10．[2024·河北模拟]已知 ,,,,，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.对于A,由 ,,，则，，故A正确；
对于B,由 ,,，
则,，，故B错误；
对于C,
，故C正确；
对于D,由，则，故D正确.
11．[2024·济南二模]如图，在中，,,点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ）
A.
B.
C. 的最大值为
D. 当，，三点共线时，
【答案】ACD
【解析】选.因为，即 为 的中点，所以，故A正确；
如图建立平面直角坐标系，则，，，,，
所以，,，则，故B错误；
又，
所以圆 的方程为，
设 ,，,，
则 ,，
又，
所以 ，
因为,，
所以,，
所以，
所以，故 的最大值为，故C正确；
因为B，，三点共线，所以，
又,， ,，所以，
即 ，所以，
所以，
又，，
且，
即，
所以 解得
所以，故D正确.
三、填空题
12．已知平面向量，,,且与的夹角等于与的夹角，则______.
【答案】2
【解析】，
由题意知，
即，
即，解得.
13．已知 , 为三角形的两个内角，,，则________.
【答案】
【解析】由题意得，，
所以，
所以，
因为， ，
所以 ，
所以,
，
因为， ，所以.
14．[2024·天津一模]已知平行四边形的面积为，，且.若为线段上的动点，且，则实数 的值为________；的最小值为______.
【答案】；
【解析】作 交 于点，以 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，连接.
因为,,
所以
，
由，，共线，得，解得.
设 且，则，而平行四边形 的面积为，则，
故,，,,,,
则，,，
所以,，
则，当且仅当，即 时取等号，所以 的最小值为.专题一 三角函数与平面向量
脉络梳理 要点整合
第1讲 小题考法——平面向量与三角恒等变换
题点一 平面向量的运算
角度1 平面向量的基本运算
［例1］
（1） [2024·湖南模拟]已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. 1 C. D.
（2） [2024·北京模拟]如图，在梯形中，，，，，，若，则________.
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 由题得，又，所以，解得.
（2） 因为，，所以，所以.
（1）平面向量线性运算问题的求解方法
①进行平面向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平行四边形法则或三角形法则求解；
②应用平面几何知识，如三角形的中位线、相似三角形的性质等，可以简化运算；
③在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化.
（2）求向量数量积的三种方法
①定义法；②坐标法；③利用向量数量积的几何意义.
［对点训练］
1．[2024·河南模拟]在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选D.如图，
因为，所以，
又，
所以，
所以.
2．[2024·宁德三模]已知,是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为________.
【答案】
【解析】由题意可得，
即，
，
则,，又两向量夹角的范围是，
故 与 的夹角为.
角度2 向量中的最值（范围）问题
［例2］
（1） [2024·江西二模]在中，角，，所对的边分别为,，，，,,是外接圆上一点，则的最大值是（ ）
A. 4 B. C. 3 D.
（2） 已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，，则的最小值为______.
【答案】（1） A
（2）
【解析】
（1） 如图，设 的外心为，则点 是 的中点，则，因为，故,故,，故，当且仅当 与 同向时取等号.
（2） 因为，，，，所以，所以当 时，的最小值为.
平面向量的最值（范围）问题的解题方法
（1）形化:利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断;
（2）数化:利用平面向量的基本运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
［对点训练］
1．[2024·石家庄二模]在平行四边形中，若，，则的取值范围是（ ）
A. , B. , C. , D. ,
【答案】A
【解析】选A.设与 同方向的单位向量，与 同方向的单位向量，与 同方向的单位向量，由题意，得，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以，
所以,，
即,.
2．[2024·天津卷]在边长为1的正方形中，为线段的三等分点，,，则________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为__________.
【答案】；
【解析】以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，，所以，，，，因为，所以，,所以,,所以.由，，可得 所在直线的方程为,设,则,,所以,,,所以，所以当 时，取得最小值，最小值为.
题点二 三角恒等变换
角度1 给值求值
［例3］
（1） 已知 为第一象限角， 为第二象限角，且，，则__________.
（2） [2024·新课标Ⅱ卷]已知 为第一象限角， 为第三象限角，，，则__________.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1） 因为 为第一象限角，，则，所以，所以.由于 为第二象限角，，则，所以.
（2） 由题知，即，又，可得.由,,,,得 ,.又，所以 是第四象限角，故.
给值求值问题的解题策略
给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示出来，如 ,,等，要善于观察各个角之间的关系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.
［对点训练］
1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选A.由 得.①由 得，②由①②得 所以.
2．[2024·河南二模]已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选B.由，可得，
即，
所以
.
3．已知 ， 是方程的两个实数根，则__________.
【答案】
【解析】由题意得
则，
所以
.
角度2 给值求角
［例4］ 若，，且,， ,，则________.
【答案】
【解析】因为,，所以,，
且，所以，，
则，且,.
由 ,，得,，
又，所以，，
则，
所以
,
又,，所以.
给值求角的原则
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，，选正弦较好.
［对点训练］．[2024·江西二模]已知 ,，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选A.因为，，
所以
解得
所以，
又 ,,，
所以，所以.
角度3 向量与三角函数的交汇
［例5］ [2024·江苏二模]已知非零向量 ,，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，又因为，为非零向量，所以
即.
由①可得，
即 ，
即 ，
又,
即,故，
所以两边同除以 ，
可得，解得 或（舍去）,所以.
向量与三角函数的交汇问题的解题策略
解决向量与三角函数交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，构建关于三角函数的等量关系，借助三角恒等变换、正、余弦定理解决问题.
［对点训练］．已知的内角，，的对边分别为,,，,，若,则的取值范围为 ____________________.
【答案】,
【解析】由 得,
即,
所以,又,故,
所以
，
由于,
所以,,
故,.(共36张PPT)
专题一 三角函数与平面向量
第1讲 小题考法——平面向量
与三角恒等变换
题点一 平面向量的运算
角度1 平面向量的基本运算
［例1］ （1）（2024·湖南模拟）已知向量， ，若
，则实数 ( )
A
A. B.1 C. D.
【解析】 由题得，又 ，所以
，解得 .
（2）（2024·北京模拟）如图，在梯形中，， ，
，，，若，则 _ _.
解析：因为 ，
，
所以，所以 .
（1）平面向量线性运算问题的求解方法
①进行平面向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边
形或三角形中，利用平行四边形法则或三角形法则求解；
②应用平面几何知识，如三角形的中位线、相似三角形的性质等，可以简
化运算；
③在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，
变形要有方向，不能盲目转化.
（2）求向量数量积的三种方法
①定义法；②坐标法；③利用向量数量积的几何意义.
1.（2024·河南模拟）在中，，，则
( )
D
A. B. C. D.
［对点训练］
【解析】 选D.如图，
因为 ，所以
，
又 ，所以 ，
所以 .
2.（2024·宁德三模）已知,是两个单位向量，若在 上的投影向量
为，则与 的夹角为__.
解析：由题意可得 ，
即，
，
则, ，又两向量夹角的
范围是 ，
故与的夹角为 .
角度2 向量中的最值（范围）问题
［例2］ （1）（2024·江西二模）在中，角，， 所对的边
分别为,，，，,,是 外接圆上一点，则
的最大值是( )
A
A.4 B. C.3 D.
【解析】 如图，设的外心为，则点是 的中点，
则 ，
因为，故 ,
故,，故，当且仅当
与 同向时取等号.
（2）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足 ，且
，，则 的最小值为____.
解析：因为，，， ，
所以 ，
所以当时，的最小值为 .
平面向量的最值（范围）问题的解题方法
（1）形化:利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范
围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断;
（2）数化:利用平面向量的基本运算，把问题转化为代数中的函数最值与
值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有
关知识来解决.
1.（2024·石家庄二模）在平行四边形中，若 ，
，则 的取值范围是( )
A
A., B., C., D.,
［对点训练］
【解析】 选A.设与同方向的单位向量，与 同方向的单位向
量，与同方向的单位向量 ，由题意，得
，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
因为，所以 ，
所以, ，即, .
2.（2024·天津卷）在边长为1的正方形中，为线段 的三等分
点，,，则__；为线段 上的动点，
为中点，则 的最小值为_ ____.
解析：以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，，所以， ，
，，因为，所以 ，
,所以,,所以.由，
，可得所在直线的方程为 ,设
,则,,所以,, ,
所以，所以当时，取得最小值，最小值为 .
题点二 三角恒等变换
角度1 给值求值
［例3］ （1）已知 为第一象限角， 为第二象限角，且
，，则 _ _____.
解析：因为 为第一象限角， ，则
，
所以 ，
所以 .
由于 为第二象限角， ，
则 ，
所以 .
（2）（2024·新课标Ⅱ卷）已知 为第一象限角， 为第三象限角，
，，则 _ _____.
解析：由题知 ，
即 ，
又 ，
可得.由, ,
, ,
得 , .
又，所以 是第四象限角，故 .
给值求值问题的解题策略
给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表
示出来，如 ,,
等，要善于观察各个角之间的关系，发现题目所给条件与恒等变换公式的
联系.
［对点训练］
1.（2024·新课标Ⅰ卷）已知, ，则
( )
A
A. B. C. D.
【解析】 选A.由得 .①由
得，②由①②得 所以
.
2.（2024·河南二模）已知，则
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 选B.由 ，可得
，
即 ，
所以
.
3.已知 ， 是方程 的两个实数根，则
___.
解析：由题意得
则 ，
所以
.
角度2 给值求角
［例4］ 若，，且,， , ，则
___.
解析：因为,，所以, ，
且，所以， ，
则，且, .
由 ,，得, ，
又，所以， ，
则 ，
所以
,
又,，所以 .
给值求角的原则
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，，选
正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，，
选正弦较好.
［对点训练］ （2024·江西二模）已知 ,，， ，
，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 选A.因为， ，
所以
解得
所以 ，
又 ,, ，
所以，所以 .
角度3 向量与三角函数的交汇
［例5］ （2024·江苏二模）已知非零向量 , ，
，，若，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 因为，所以，又因为， 为非零向
量，所以
即 .
由①可得 ，
即 ，
即 ，
又 ,
即,故 ，
所以两边同除以 ，
可得，解得或 （舍去）,所
以 .
向量与三角函数的交汇问题的解题策略
解决向量与三角函数交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简
已知条件，构建关于三角函数的等量关系，借助三角恒等变换、正、余弦
定理解决问题.
［对点训练］ 已知的内角，，的对边分别为,, ，
,，若,则 的取值范围
为 _ _______.
,
解析：由得 ,
即 ,
所以,又,故 ,
所以
，
由于 ,
所以, ,故, .

展开更多......

收起↑