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专题强化训练
一、单项选择题
1．[2024·湛江二模]函数在,上的值域为（ ）
A. B. C. D.
2．已知的部分图象如图所示，，，是相邻的两个零点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3．[2024·潍坊二模]将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则（ ）
A. B. C. D.
4．[2024·承德二模]函数的图象的对称轴方程为（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
5．[2024·唐山二模]函数在,上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A. , B. , C. , D. ,
6．[2024·河南模拟]已知函数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7．[2024·梅州二模]若把函数的图象向左平移个单位长度后得到的是一个偶函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
8．[2024·辽宁二模]已知，，是直线与函数的图象的三个交点，如图所示.其中，点，，两点的横坐标分别为,，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
二、多项选择题
9．[2024·海口二模]已知函数其中，，的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象关于点,中心对称
C.
10．已知函数，则（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数是偶函数
C. 的最大值是
D. 在区间,上单调递减
11．[2024·安徽模拟]在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）
A. 为偶函数
B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称
D. 是的一个周期
三、填空题
12．已知函数，若的图象在上有两条对称轴，则 的取值范围是______________________.
13．[2024·浙江二模]将函数的图象上每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则__________.
14．已知函数的图象关于点,对称，若，则的最小值为__.
专题强化训练
一、单项选择题
1．[2024·湛江二模]函数在,上的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选B.因为,，所以,，
所以,，故 在,上的值域为.
2．已知的部分图象如图所示，，，是相邻的两个零点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选A.由题意可得， ，且由题图可得，又因为，可得.
3．[2024·潍坊二模]将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选B.将函数 的图象向右平移 个单位长度，得 的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到图象对应的函数解析式为.
4．[2024·承德二模]函数的图象的对称轴方程为（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】C
【解析】选C.，所以令 ，，解得，.
5．[2024·唐山二模]函数在,上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A. , B. , C. , D. ,
【答案】C
【解析】选C.由,可得 ,，又，则，又 在,上单调递增，所以 解得，即 的取值范围为,.
6．[2024·河南模拟]已知函数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选A.因为，
可知,为 图象的对称中心，
则，
可得,，解得 ,，且，可知当 时，取到最小值 .
7．[2024·梅州二模]若把函数的图象向左平移个单位长度后得到的是一个偶函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选C.把函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为，
又，
则
，
即
，
即，
该方程对任意 恒成立，
则，解得.
8．[2024·辽宁二模]已知，，是直线与函数的图象的三个交点，如图所示.其中，点，，两点的横坐标分别为,，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】选A.由，可得，因为 ，由题图知，点A在 图象的下降部分，所以，故，
因为，所以A,B,C是直线 与 图象的三个连续交点.
由，即，
可得，，
解得，，
所以.
因为，所以，
所以，所以，
则.
二、多项选择题
9．[2024·海口二模]已知函数其中，，的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象关于点,中心对称
C.
D. 在,上的值域为
【答案】AC
【解析】选 选项，设 的最小正周期为，则，故 ，因为，所以，故A正确；
B选项，由题图可知，，则，将,代入 得，故 ,，故 ,，
因为，所以，故，，故 的图象不关于点,中心对称，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，,，则,，故，故D错误.
10．已知函数，则（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数是偶函数
C. 的最大值是
D. 在区间,上单调递减
【答案】BD
【解析】选.由题意得，
.
对于A，设，
因为，故A错误；
对于B，设，则 是偶函数，故B正确；
对于C，由，得最大值为1，故C错误；
对于D，，则，由正弦函数的单调性知，函数 在,上单调递减.故D正确.
11．[2024·安徽模拟]在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）
A. 为偶函数
B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称
D. 是的一个周期
【答案】BC
【解析】选.由题意得，.
对于A，，
，
所以函数 为奇函数，故A错误；
对于B，，
所以 的图象关于点 对称，故B正确；
对于C，，
所以 的图象关于直线 对称，故C正确；
对于D，，
所以 不是 的周期，故D错误.
三、填空题
12．已知函数，若的图象在上有两条对称轴，则 的取值范围是______________________.
【答案】,
【解析】因为
，
当 时，,，
因为 的图象在 上有两条对称轴，
所以，
解得，所以 的取值范围是,.
13．[2024·浙江二模]将函数的图象上每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数与函数图象交于点，其中，则__________.
【答案】
【解析】由题意得，因为函数 与函数 图象交于点，
所以 ，即 ，
整理得，
因为，所以，
又因为，
所以.
14．已知函数的图象关于点,对称，若，则的最小值为__.
【答案】19
【解析】由 的图象关于点,对称可得，得，
即，
所以
，
且，
所以 的最大值为，最小值为.
如图所示，作出 的大致图象，令 ，，则 图象的对称轴方程为，，则由 可得，
当 最小时，，，
且 是 在 轴右侧连续的最值点，
故 的最小值为.第2讲 小题考法——三角函数的图象与性质
题点一 三角函数的图象
角度1 三角函数的图象识别
［例1］
（1） 已知函数,,的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
（2） [2024·新课标Ⅱ卷]（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A. 与有相同的零点
B. 与有相同的最大值
C. 与有相同的最小正周期
D. 与的图象有相同的对称轴
【答案】（1） C
（2） BC
【解析】
（1） 根据题图可得,，则，即,所以 ，或 ,，又，所以，所以,由，得,则 ，,即,,由题图知，所以，故当 时，符合条件，所以.
（2） 对于A，令，则，，又，故A错误；对于B,与 的最大值都为1，故B正确；对于C，与 的最小正周期都为 ，故C正确；对于D,图象的对称轴方程为 ，，即,，图象的对称轴方程为 ，,即，，故 与 的图象的对称轴不相同，故D错误.
由“图”定“式”找“对应”的方法
由三角函数的图象求解析式中参数的值，关键是厘清函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图.
（1）最值定，根据给定的函数图象确定最值，设最大值为，最小值为，则,，解得,；
（2）定由最小正周期的求解公式,可得；
（3）点坐标定一般运用代入法求解 值，注意在确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，尽量选“峰点”或“谷点”.
［对点训练］
1．（多选）已知函数,,的部分图象如图，则（ ）
A. B.
C. D. 的图象关于点,对称
【答案】BD
【解析】选.由题图可得
解得 错误；
由题图可知，的最小正周期，所以，则，B正确；
由题图可知，直线 是函数 图象的一条对称轴，
所以 ,，所以,.又，所以，C错误；
由上述可得.令,，解得,.当 时，图象的一个对称中心为,，D正确.
2．[2024·贵州一模]已知函数的部分图象如图所示，，且，则______.
【答案】1
【解析】由题图得，函数 的最小正周期 ，所以，即，由，得,，而 ，
于是，即.
由，得，
整理得，
因此 ,或 ,，
即 ,或 ,，又，
于是 ,，
即 ,，
所以.
角度2 三角函数的图象变换及应用
［例2］
（1） [2024·南京二模]为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
（2） [2024·新课标Ⅰ卷]当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】（1） A
（2） C
【解析】
（1） ，则把函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度即可.
（2） 因为函数 的最小正周期，所以函数 在 上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数 与 在 上的图象如图所示，由图可知，这两个图象共有6个交点.
三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强，在解题时容易出现错误，解决此类问题的关键如下：
（1）定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪个函数的图象；
（2）变同名：变换前后函数的名称要一样；
（3）选方法：选择变换方法要注意对于函数的图象，向左平移个单位长度得到的是函数的图象，而不是函数的图象.
［对点训练］．将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，当 取最大值时，在上,的图象与的图象的交点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】选B.,,,由题可知，，，解得,,又,所以当 时， 取得最大值.
此时,.画出 与 在 上的大致图象如图，由图知，在 上，与 的图象只有2个交点.
题点二 三角函数的性质
角度1 三角函数的单调性
［例3］
（1） [2024·湖北二模]已知函数，,，则函数的值域是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
（2） 已知函数,,的大致图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为____________________________________________.
【答案】（1） B
（2） ,（答案不唯一）
【解析】
（1） 由题意可知， ，当,时，,，所以,.
（2） 方法一：由题图可知，得 ，所以，，，所以，由，得,故 ,，即 ，，又，所以，故，由题意，令 ，，得 ，，故函数 的单调递增区间为 ,，，当 时，函数 的一个单调递增区间为,.方法二：由题图可知,得 ,则函数 的一个单调递增区间为,,将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到单调递增区间为,，再将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到单调递增区间为,,即,，所以函数 的一个单调递增区间为,.
（1）求三角函数单调区间的方法
①代换法：求形如(或)， ， 为常数，，的单调区间时，令，得（或），然后由复合函数的单调性求得；
②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间.
（2）求三角函数的最值（值域）的方法
①将问题中所给的函数化为的形式，结合三角函数的图象和性质求解；
②将问题化为关于或的二次函数的形式求解.
［对点训练］．[2024·重庆二模]若函数在,上单调递增，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选B.令，，解得，，
由于 在,上单调递增，
所以，
即，，
因为 ，所以当 时， 的最小值为.
角度2 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
［例4］
（1） [2024·安徽模拟]（多选）已知函数,,的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为 ，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 点,是曲线的一个对称中心
C. 直线为曲线的一条对称轴
D. 函数在区间,上单调递增
（2） 已知偶函数，则________；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则 的取值范围是____________.
【答案】（1） ACD
（2） ；
【解析】
（1） 由题意可知，函数 的最大值为2，即，因为，即，且，可得.设 的最小正周期为，则 ，即 ，故A正确；因为，可得，所以，因为，所以点,不是曲线 的一个对称中心，故B错误；因为 为最小值，所以直线 为曲线 的一条对称轴，故C正确；因为,，则,，且 在,上单调递增，所以函数 在区间,上单调递增，故D正确.
（2） 因为 是偶函数，则,，且 ，所以,，可得.设 的最小正周期为，因为 的图象和 的图象均关于 轴对称，可知圆面在 轴右侧仅覆盖 图象的1个最低点，对于，令，解得（不妨只考虑 轴右侧）；可得 解得，且，联立，解得，所以 的取值范围是.
（1）正弦、余弦、正切函数图象的对称轴与对称中心
函数
函数的奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
图象的对称轴 直线 直线 无
图象的对称中心 点 点， 点，
（2）求三角函数周期的常用结论
和的最小正周期均为，的最小正周期为.
［对点训练］．（多选）已知函数,在,上单调，且有，则（ ）
A. 直线是图象的一条对称轴
B. 的最小正周期为
C. 点,是图象的一个对称中心
D.
【答案】ABD
【解析】选.因为函数,在,上单调，所以 的最小正周期.因为，且函数 在,上单调，所以函数 的图象关于点,，即点,对称，由，且,知 的图象关于直线 对称，故A正确；
因为，所以 的最小正周期 ，故B正确；
从而，因为函数 图象的一条对称轴为直线，所以 ,，解得 ,，又，所以，
所以，所以，故C错误；
，故D正确.(共37张PPT)
第2讲 小题考法——三角函数的
图象与性质
题点一 三角函数的图象
角度1 三角函数的图象识别
［例1］ （1）已知函数
,,的部分图象如图所示，则 的解析式为( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 根据题图可得, ，
则，即 ,
所以 ，或 ,，又 ，所以
，
所以 ,
由，得 ,
则 ，,即, ,
由题图知，所以 ，
故当时， 符合条件，
所以 .
（2）（多选）（2024·新课标Ⅱ卷）对于函数 和
，下列说法中正确的有( )
BC
A.与 有相同的零点
B.与 有相同的最大值
C.与 有相同的最小正周期
D.与 的图象有相同的对称轴
【解析】 对于A，令，则， ，
又 ，故A错误；
对于B,与 的最大值都为1，故B正确；
对于C，与的最小正周期都为 ，故C正确；
对于D,图象的对称轴方程为 ，，即 ,
，图象的对称轴方程为 ， ,即
，，故与 的图象的对称轴不相同，故D错误.
由“图”定“式”找“对应”的方法
由三角函数的图象求解析式中
参数的值，关键是厘清函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依
据就是“五点法”作图.
（1）最值定，根据给定的函数图象确定最值，设最大值为，最小
值为，则,，解得,；
（2）定由最小正周期的求解公式,可得 ；
（3）点坐标定一般运用代入法求解 值，注意在确定 值时，往往
以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，
尽量选“峰点”或“谷点”.
1.（多选）已知函数
,, 的部分图象如图，则( )
BD
A.
B.
C.
D.的图象关于点, 对称
［对点训练］
【解析】 选 .由题图可得解得 错误；
由题图可知，的最小正周期，所以，则 ，
B正确；
由题图可知，直线是函数 图象的一条对称轴，
所以 ,，所以,.又 ，所以
，C错误；
由上述可得.令, ，解得
,.当时，图象的一个对称中心为, ，D正确.
2.（2024·贵州一模）已知函数
的部分图象如图所示，
，且，则 ___.
1
解析：由题图得，函数的最小正周期 ，所
以，即，由 ，得
,，而 ，
于是，即 .
由，得 ，
整理得 ，
因此 , 或
, ，
即 ,或 ,，又 ，
于是 , ，
即 , ，
所以 .
角度2 三角函数的图象变换及应用
［例2］ （1）（2024·南京二模）为了得到函数 的图象，
只要把函数 图象上所有的点( )
A
A.向左平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
【解析】 ，
则把函数图象上所有的点向左平移 个单位长度即可.
（2）（2024·新课标Ⅰ卷）当时，曲线 与
的交点个数为( )
C
A.3 B.4 C.6 D.8
【解析】 因为函数 的最小正
周期，所以函数 在
上的图象恰好是三个周期的图象，所以
由图可知，这两个图象共有6个交点.
作出函数与在 上的图象如图所示，
三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强，在解题
时容易出现错误，解决此类问题的关键如下：
（1）定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪个函数的图象；
（2）变同名：变换前后函数的名称要一样；
（3）选方法：选择变换方法要注意对于函数 的图象，
向左平移个单位长度得到的是函数 的图象，
而不是函数 的图象.
［对点训练］ 将函数的图象向右平移 个单位
长度后与函数的图象重合，当 取最大值时，在 上,
的图象与 的图象的交点个数为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 选B. ,
,,由题可知， ，
，解得,,又,所以当时， 取得最大
值 .
此时 ,
.画出与在
上的大致图象如图，由图知，在上， 与
的图象只有2个交点.
题点二 三角函数的性质
角度1 三角函数的单调性
［例3］ （1）（2024·湖北二模）已知函数
，,，则函数 的值域是( )
B
A., B., C., D.,
【解析】 由题意可知，
，
当,时，, ，
所以, .
（2）已知函数,, 的大致图
象如图所示，将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵
坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数
的一个单调递增区间为_________________________.
,（答案不唯一）
解析：方法一：由题图可知 ，
得 ，所以，， ，
所以 ，
由 ，
得 ,
故 , ，
即 ， ，
又，所以 ，
故 ，
由题意 ，
令 ， ，得
， ，故函数 的单调递增区间为
,，，当时，函数 的一个单调递增
区间为, .
方法二：由题图可知,得 ,则函数 的一个单调递增
区间为,,将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，
得到单调递增区间为,，再将函数的图象向左平移 个单位长度，
得到单调递增区间为,,即,，所以函数 的一个单
调递增区间为, .
（1）求三角函数单调区间的方法
①代换法：求形如(或)， ，
为常数，，的单调区间时，令，得
（或 ），然后由复合函数的单调性求得；
②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间.
（2）求三角函数的最值（值域）的方法
①将问题中所给的函数化为 的形式，结合三角函数
的图象和性质求解；
②将问题化为关于或 的二次函数的形式求解.
［对点训练］ （2024·重庆二模）若函数
在,上单调递增，则 的最小值为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 选B.令， ，解得
， ，
由于在, 上单调递增，
所以 ，
即， ，
因为 ，所以当时， 的最小值为 .
角度2 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
［例4］ （1）（多选）（2024·安徽模拟）已知函数
,, 的部分图象如图所示，且阴影
部分的面积为 ，则( )
ACD
A.函数的最小正周期为
B.点,是曲线 的一个对称中心
C.直线为曲线 的一条对称轴
D.函数在区间, 上单调递增
【解析】 由题意可知，函数的最大值为2，即 ，因为
，即，且，可得.设 的最
小正周期为，则 ，即 ，故A正确；
因为，可得，所以 ，因为
，所以点, 不是曲
线 的一个对称中心，故B错误；
因为为最小值，所以直线 为曲
线 的一条对称轴，故C正确；
因为,，则,，且在, 上单调递增，
所以函数在区间, 上单调递增，故D正确.
（2）已知偶函数，则 __；若
圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则 的取值
范围是______.
解析：因为是偶函数，则, ，
且 ，所以, ，可得
.设 的最小正
对于，令，解得（不妨只考虑 轴右侧）；
可得解得 ，
周期为，因为的图象和的图象均关于 轴对称，可知圆
面在轴右侧仅覆盖 图象的1个最低点，
且，联立，解得 ，所以 的取值范围是 .
（1）正弦、余弦、正切函数图象的对称轴与对称中心
函数
函数的奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
图象的对称轴 直线 直线 无
图象的对称中心 点 点， 点，
（2）求三角函数周期的常用结论
和的最小正周期均为 ，
的最小正周期为 .
［对点训练］ （多选）已知函数, 在
,上单调，且有 ，则( )
ABD
A.直线是 图象的一条对称轴
B.的最小正周期为
C.点,是 图象的一个对称中心
D.
【解析】 选.因为函数,在,
上单调，所以的最小正周期 .因为
，且函数在,上单调，所以函数 的图象关于
点,，即点,对称，由，且 ,知
的图象关于直线 对称，故A正确；
因为，所以的最小正周期 ，故B正确；
从而，因为函数图象的一条对称轴为直线 ，所以
,，解得 ,，又 ，所以
，
所以，所以 ，
故C错误；
，故D正确.(共27张PPT)
专题一
第2讲
专题强化训练
一、单项选择题
1.（2024·湛江二模）函数在, 上的值域为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 选B.因为,，所以, ，
所以,，故在, 上的值域为
.
2.已知 的部分图象如图所示，
，，是 相邻的两个零点，且
，则 的值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 选A.由题意可得， ，且由题图可得 ，又因为
，可得 .
3.（2024·潍坊二模）将函数的图象向右平移 个单位长度，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到
的图象，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 选B.将函数的图象向右平移 个单位长度，得
的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来
的2倍，纵坐标不变，得到图象对应的函数解析式为 .
4.（2024·承德二模）函数 的图象的
对称轴方程为( )
C
A., B.,
C., D.,
【解析】 选C.
，所以令 ，，解得， .
5.（2024·唐山二模）函数在, 上单调递
增，则 的取值范围为( )
C
A., B., C., D.,
【解析】 选C.由,可得 ,，又 ，则
，又在,上单调递增，所以 解得
，即 的取值范围为, .
6.（2024·河南模拟）已知函数 满足
，则 的最小值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 选A.因为 ，
可知,为 图象的对称中心，
则 ，
可得,，解得 ,，且 ，可知当
时，取到最小值 .
7.（2024·梅州二模）若把函数的图象向左平移 个
单位长度后得到的是一个偶函数的图象，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 选C.把函数的图象向左平移 个单位长度
后得到的图象对应的函数解析式为 ，
又 ，
则
，
即
，
即 ，
该方程对任意 恒成立，
则，解得 .
8.（2024·辽宁二模）已知，，是直线 与函数
的图象的三个交点，如图所示.其
中，点，，两点的横坐标分别为,，若 ，则
( )
A
A. B. C. D.2
【解析】 选A.由，可得，因为 ，
由题图知，点A在图象的下降部分，所以 ，故
，
因为，所以A,B,C是直线与 图象的三个连续交点.
由，即 ，
可得， ，
解得， ，
所以 .
因为，所以 ，
所以，所以 ，
则 .
二、多项选择题
9.（2024·海口二模）已知函数其中 ，
， 的部分图象如图所示，则( )
AC
A.
B.的图象关于点, 中心对称
C.
D.在,上的值域为
【解析】 选选项，设的最小正周期为，则 ，
故 ，因为，所以 ，故A正确；
B选项，由题图可知，，则，将, 代入
得，故 , ，故
, ，
因为，所以，故 ，
，故的图象不关于点, 中心对称，故B错误；
C选项， ，故C
正确；
D选项，,，则, ，故
，故D错误.
10.已知函数 ，则( )
BD
A.函数是奇函数 B.函数 是偶函数
C.的最大值是 D.在区间, 上单调递减
【解析】 选 .由题意得，
.
对于A，设 ，
因为 ，故A错误；
对于B，设 ，
则 是偶函数，故B正确；
对于C，由 ，得最大值为1，故C错误；
对于D，，则 ，由正弦函数的单调性知，函数
在, 上单调递减.故D正确.
11.（2024·安徽模拟）在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号
处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数 的图象可以近
似模拟某种信号的波形，则( )
BC
A.为偶函数 B.的图象关于点 对称
C.的图象关于直线对称 D. 是 的一个周期
【解析】 选.由题意得， .
对于A， ，
，
所以函数 为奇函数，故A错误；
对于B，
，
所以的图象关于点 对称，故B正确；
对于C， ，
所以的图象关于直线 对称，故C正确；
对于D， ，
所以 不是 的周期，故D错误.
三、填空题
12.已知函数，若 的图
象在上有两条对称轴，则 的取值范围是_____.
,
解析：因为
，
当时，, ，
因为的图象在 上有两条对称轴，
所以 ，
解得，所以 的取值范围是, .
13.（2024·浙江二模）将函数 的图象上每个点的横坐标不
变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移 个单位长度得到函
数的图象，若函数与函数 图象交于点
，其中，则 _ _____.
解析：由题意得，因为函数 与
函数图象交于点 ，
所以 ，即
，
整理得 ，
因为，所以 ，
又因为 ，
所以 .
14.已知函数的图象关于点, 对称，若
，则 的最小值为____.
19
解析：由的图象关于点,对称可得，得 ，
即 ，
所以
，
且 ，
所以的最大值为，最小值为 .
如图所示，作出的大致图象，令 ，
，则图象的对称轴方程为， ，
则由 可得，
当最小时， ，
，
且是在 轴右侧连续的最值点，
故 的最小值为
.

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