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专题6.1 反比例函数八大题型（一课一讲）
（内容：反比例函数的定义及其应用）
【浙教版】
题型一：判断是否为反比例函数
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列表达式中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义特点，反比例函数解析式的一般形式为：（其中k是常数，且），找到可整理为（其中k是常数，且）的式子即可．
【详解】解：A．是正比例函数，故不符合题意；
B．整理为是正比例函数，故不符合题意；
C．是一次例函数，故不符合题意；
D．整理为是反比例函数，故符合题意；
故选：D．
【变式训练1-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）在下列函数关系中，表示y与x既不是正比例关系，又不是反比例关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】该题考查了正比例和反比例函数定义，根据定义对每一个选项进行判断即可．
【详解】解：A．，即，y与x是正比例关系，不符合题意；
B．，即，y与x是反比例关系，不符合题意；
C．，即，y与x是正比例关系，不符合题意；
D．，y与x既不是正比例关系，又不是反比例关系，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（ ）
A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如（其中且k为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可．
【详解】解：由得，，故反比例函数有：①③⑥；
故选：B．
【变式训练1-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）下面各式中，表示x和y成反比例的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，根据反比例函数的定义解答即可．
【详解】解：A、∵，∴，不符合的形式，x和y不成反比例，不符合题意；
B、不符合的形式，x和y不成反比例，不符合题意；
C、∵符合的形式，x和y成反比例，符合题意，
D、∵不符合的形式，x和y不成反比例，不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-4】（2025九年级下·全国·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？
①；②；③；④（a为常数且）；
解：其中 是反比例函数，而 不是．
【答案】 ①③④ ②
【分析】本题主要考查了反比例函数的识别．熟练掌握反比例函数定义是解题的关键．x，y相乘为一个常数，或者形如（）的函数为反比例函数，不属于上述两个形式的函数不是反比例函数．
根据反比例函数定义逐一判断即得．
【详解】解：①∵，
∴，是反比例函数；
②不是反比例函数；
③是反比例函数；
④符是反比例函数．
故答案为①③④；②．
【变式训练1-5】（2024九年级上·广西·专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号）
【答案】②⑤
【分析】本题考查了反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
根据反比例函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，故不符合要求；
②是反比例函数，故符合要求；
③不是反比例函数，故不符合要求；
④不是反比例函数，故不符合要求；
⑤是反比例函数，故符合要求；
⑥中，当时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数，故不符合要求；
故答案为：②⑤．
【变式训练1-6】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列函数表达式中的是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（m为常数）；(6)．
【答案】(1)是，，(2)是，，(3)是，，(4)不是
(5)时，不是；时，是，(6)是，，
【分析】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如（为常数，）的函数称为反比例函数．
（1）根据反比例函数的定义求解即可；
（2）根据反比例函数的定义求解即可；
（3）根据反比例函数的定义求解即可；
（4）根据反比例函数的定义求解即可；
（5）根据反比例函数的定义求解即可；
（6）根据反比例函数的定义求解即可．
【详解】（1）解：是，，；
（2）解：是，，；
（3）解：是，，；
（4）解：不是；
（5）解：时，不是；时，是，；
（6）解：是，，．
题型二：列反比例函数关系式
【经典例题2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了列反比例函数解析式，根据等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，可以得到，即可得到函数解析式．正确进行计算是解题关键．
【详解】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，
，
与之间的函数关系式为．
故选：C．
【变式训练2-1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列反比例函数解析式，根据三角形面积公式，即可得到函数解析式．
【详解】解：由三角形面积公式，得：，
所以y与x之间的函数关系式为，
故选A．
【变式训练2-2】（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质．先根据题意得出矩形的面积，求得的面积，然后再根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
矩形的面积为，
的面积为，
，
，即，
．
故选：A．
【变式训练2-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表：
每包的本数/本 10 20 40
包数/包 60 30 15
用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系．
【答案】 反
【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例．
【详解】解：由表格可知：，
，
y与x成反比例关系．
故答案为：，反．
【变式训练2-4】（24-25九年级上·广东佛山·期末）一个菱形的面积为，它的两条对角线长分别为，则与之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】根据菱形面积对角线的积可列出关系式．
【详解】解：由题意得：，可得，
故答案为：．
【变式训练2-5】（24-25八年级下·江苏南京·期末）小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为 （）．
【答案】
【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式．
【详解】解：由录入的时间＝录入总量÷录入速度，
可得t（v＞0）．
故答案为：．
【变式训练2-6】（24-25九年级上·山东济宁·期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水井的阻力和阻力臂分别是90和0.3，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数解析式是 ．
【答案】
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而代入已知数据即可得解．
【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，
∴
∴
故答案为：．
【变式训练2-7】（24-25八年级·全国·课后作业）若一个水池内蓄水40m ，设放完满池水的时间为h，每小时放水量为m ，则与之间的函数关系式是 ；当m 时， .
【答案】 20h
【分析】依据放净全池污水所需的时间为h，每小时的放水量为m ，即可得到与之间的函数关系式；将m 函数关系式中，求出T的值即可．
【详解】解：由题可得，与之间的函数关系式为：
，
当m 时，=20h．
故答案为 ； 20h.
题型三：用反比例函数描述数量关系
【经典例题3】（24-25七年级上·陕西榆林·期中）下面每组中的两种量成反比例关系的是（ ）
A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积
C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高
【答案】D
【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断．
两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断．
【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意；
B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意；
C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意；
D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式训练3-1】（24-25八年级上·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（ ）
A．商一定时（不为零），被除数与除数
B．等边三角形的面积与它的边长
C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x
D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b
【答案】C
【分析】本题考查了反比例．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．
【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系,故A错误；
B、等边三角形的面积与它的边长不成反比例关系；故B错误；
C、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故C正确；
D、长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b不成反比例关系；故D错误.
故选：C
【变式训练3-2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　）
A．读一本书，已读的页数与未读的页数
B．长方形的周长一定，长方形的长与宽
C．圆的面积和半径
D．平行四边的面积一定，它的底和高
【答案】D
【分析】本题考查了反比例的意义，掌握“两个相关联的量对应的乘积一定，则这两个量成反比例关系”知识点是解题的关键．根据成反比例的意义，对选项逐一分析判定即可．
【详解】解：读一本书，已读的页数未读的页数总页数（一定），和一定，不满足成反比例的关系，故A选项错误；
长方形的周长一定，则长方形的长与宽之和一定，不满足成反比例的关系，故B选项错误；
圆的面积和半径满足公式，显然不满足成反比例的关系，故C选项错误；
平行四边的面积一定，则它的底和高的乘积一定，满足成反比例的关系，故D选项正确．
故选：D．
【变式训练3-3】（24-25七年级上·北京西城·期中）下列关系中，成反比例关系的是（ ）
A．长方形的周长一定时，相邻两边的长
B．三角形面积一定时，它的底和高
C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间
D．一个人的跑步速度与他的体重
【答案】B
【分析】本题考查了成反比例，理解成反比例关系的前提是两个变量乘积固定是解题的关键
根据成反比例的定义解答即可．
【详解】A、长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故本选项不符合题意；
B、三角形面积一定时，它的底和高成反比例关系，故本选项符合题意；
C、机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间不成反比例关系，故本选项不符合题意；
D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练3-4】（2024七年级上·吉林·专题练习）下面每组中的两种量成反比例的是（ ）
A．长方形的周长一定，它的长和宽
B．利率一定，存款的本金和利息
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．折扣一定，商品的原价和折后价
【答案】C
【分析】本题考查了反比例，熟练掌握反比例的定义是关键．根据两种量成反比例的定义：如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，判断即可．
【详解】解：A、长方形的周长一定，它的长和宽的和是定值，故不符合题意；
B、利率一定，存款的本金和利息成正比例，故不符合题意；
C、因为圆柱的体积底面积高，所以圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，故符合题意；
D、折扣一定，商品的原价和折后价不成反比例，故不符合题意；
故选：C．
【变式训练3-5】（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）
A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系
B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系
C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系
D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案．
【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意；
B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意；
C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意；
D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意；
故选：D
【变式训练3-6】（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（ ）
A．周长为1的矩形的长与宽成正比例
B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例
C．面积为1的矩形的长与宽成反比例
D．等边三角形的面积与它的边长成正比例
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义，属于基础题，关键是掌握反比例函数解析式的一般形式．
根据正比例函数的定义及形式反比例函数的定义及形式可判断各个命题的真假．
【详解】解：A、设长方形的长为x、宽为y，
∴，即，
∴长方形的长和宽不成任何比例关系，故本选项错误；
B、设等腰三角形的腰为a，底边长为b，
∴等腰三角形底边上的高为，
∵等腰三角形的面积为1，
∴，即，
∴面积一定的等腰三角形的腰长和底边长不成任何比例关系，故本选项错误；
C、∵长方形的面积长宽，该长方形的面积是定值1，
∴长与宽的乘积为定值，
∴面积为1的长方形的长与宽成反比例，故本选项正确；
D、设等边三角形的边长为t，面积为S，
∴等边三角形的高为，
∴，
∴等边三角形的面积与边长不成比例关系，故本选项错误．
故选C．
题型四：利用反比例函数的定义求参数
【经典例题4】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知函数是反比例函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的解析式为，其中，因为函数是反比例函数，从而得到，，解方程和不等式求出的值即可．
【详解】解：函数是反比例函数，
，，
由，
可得：，
由，
可得：，
的值为．
故选：A ．
【变式训练4-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）若函数是反比例函数，则m的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数定义．根据题意可知，解出m的值即为本题答案．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，解得：，
∴，
故选：B．
【变式训练4-2】（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）若是反比例函数，那么的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可解答，重点是将一般式转化为的形式．
【详解】解：根据反比例函数的定义，得：
，
∴；
，
，
．
故答案为：．
【变式训练4-3】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若是反比例函数，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可．
【详解】解：由题意得：且，；
解得，又；
．
故答案为：．
【变式训练4-4】（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）若函数是反比例函数，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如（k为常数，）的函数，叫反比例函数．
根据反比例函数的定义得出且，再求出m即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴且，
解得．
故答案为：3．
【变式训练4-5】（23-24九年级上·四川成都·期末）若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】根据反比例函数，列出等式，不等式解答即可．
本题考查了反比例函数的定义，绝对值的应用，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数，且函数是反比例函数，
∴，且，
∴，且或，
∴，
故答案为：3．
题型五：判断点是否在反比例函数上
【经典例题5】（2025·浙江金华·模拟预测）下列各点中，不在反比例函数 的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点，
将点的坐标代入关系式求出结果，再判断即可．
【详解】解：当时，，所以点在反比例函数图象上，则A不符合题意；
当时，，所以点不在反比例函数图象上，则B不符合题意；
当时，，所以点在反比例函数图象上，则C不符合题意；
当时，，所以点在反比例函数图象上，则D不符合题意．
故选：B．
【变式训练5-1】（2025·重庆·一模）已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】双曲线上的点的横、纵坐标之积为定值，据此逐项判断即可．本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为定值．
【详解】解：点在双曲线上，，
A，，不在此双曲线上；
B，，在此双曲线上；
C，，不在此双曲线上；
D，，不在此双曲线上；
故选B．
【变式训练5-2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴；
A.，此反比例函数的图象也一定经过此点，故选项符合题意；
B. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意；
C. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意；
D. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意；
故选：A．
【变式训练5-3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先求出k的值，再根据同一个反比例函数图象上的点，横纵坐标的积都等于k，对所给选项依次进行判断即可，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵点在反比例函数的图象上，
∴，
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练5-4】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出．
由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
A、；
B、；
C、；
D、，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
【变式训练5-5】（23-24九年级下·重庆江津·阶段练习）反比例函数的图象经过点，下列各点在该反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可．
【详解】解：设反比例函数表达式为，把代入
∴，
A、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
C、∵，
∴点在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：B．
题型六：根据反比例函数求值
【经典例题6】（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ．
【答案】0
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，将点和代入之中得，，由此可得的值．
【详解】解：∵函数的图象经过点和，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：0．
【变式训练6-1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于轴对称，则a的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于轴、轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出的值．根据题意，设出点和点的坐标，再根据点与点关于轴对称，即可求得的值．
【详解】解：设点的坐标，点的坐标为，
点与点关于轴对称，
，
解得，
故答案为：3．
【变式训练6-2】（24-25九年级上·广东惠州·期末）若函数的图象经过点和，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．先将代入，求得该函数的解析式，再求得时，的值即可得到答案．
【详解】解：的图象经过点和，
，
该函数的解析式为，
当时，，即
故答案为：2．
【变式训练6-3】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，P为x轴上的动点，值最小时，点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称最短问题，一次函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求出A，B两点坐标，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小，求出直线的解析式，即可得出点P的坐标．
【详解】解：∵在函数上，在函数上，
∴，，
∴，，
作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小，
设直线的解析式为，则有，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点．
故答案为：．
【变式训练6-4】（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为 ．
【答案】5
【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出，将其代入代数式中即可得出结论．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，即，
∴．
故答案为：5．
【变式训练6-5】（2023·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点且平行轴的直线交双曲线于点，则 ．
【答案】/0.5
【分析】根据题意可得，根据点在双曲线上可求出点的坐标，从而即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：，
点在双曲线上，
，
，
点的坐标为，
，
故答案为：．
【变式训练6-6】（2023·河北唐山·一模）如图，已知点，（），点P为线段上的一个动点，反比例函数（k为常数，）的图象经过点P．
（1）当点P与点M重合时， ；
（2）若点P与点N重合时，，此时点到直线的距离为 ．
【答案】 2 11
【分析】（1）把代入计算即可；
（2）求出N点坐标，可得轴，即可求出点Q到直线的距离．
【详解】（1）当点P与点M重合时，P点坐标为，代入得：
解得；
（2）当点P与点N重合时，，
∴N点坐标为，
∵，
∴轴
∴点到直线MN的距离为：，
故答案为：2，11．
题型七：求反比例函数的解析式
【经典例题7】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数．
(1)若其图象经过第一、三象限，求的取值范围；
(2)若该反比例函数的图象经过点，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据反比例函数的图象经过第一、三象限得到，即可得到答案；
（2）把点代入，即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过第一、三象限，
，
解得，
的取值范围是；
（2）解：该反比例函数的图象经过点，
把点代入，得，
解得．
【变式训练7-1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）一次函数和一个正比例函数的图象交于点，与x轴交于点Q，O为坐标原点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)一次函数解析式为；正比例函数解析式为(2)4
【分析】本题考查一次函数与正比例函数解析式的求解以及三角形面积的计算，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，以及确定三角形的底和高．
（1）将点坐标代入一次函数和正比例函数，利用待定系数法求出值，进而得到函数解析式；
（2）先求出点坐标，再根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得，
一次函数解析式为；
设正比例函数解析式为，
把代入得，
解得，
正比例函数解析式为；
（2）当时，，
解得，
则，
的面积．
【变式训练7-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．先求出y与x之间的函数表达式，再求时y的值．
【答案】，8
【分析】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式．设，得出，根据当时，；当时，，得出方程组，求出方程组的解即可求出函数解析式，最后把代入函数解析式，即可得出答案．
【详解】解：设，
则，
把当时，；当时，代入则得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式是；
把代入得： ．
【变式训练7-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知点在一次函数的图像上，也在反比例函数的图像上．求该反比例函数的表达式．
【答案】
【分析】此题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把点代入一次函数求出a，再代入反比例函数解析式求出k即可．
【详解】解：把代入一次函数得，
∴该点的坐标为，
把代入得：
解得：，
∴反比例函数的表达式为．
【变式训练7-4】（24-25八年级上·上海·期末）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式．
【答案】
【分析】根据与成正比例，与成反比例，不妨设，，结合
得，根据题意，构造方程组解答即可．
本题考查了成正比，成反比的意义，解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：∵与成正比例，与成反比例，
不妨设，，
∵，
∴，
∵当时，；当时，．
∴，
解得，
故关于的函数解析式．
【变式训练7-5】（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数（为常数，）的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握反比例函数的图象及其性质以及用待定系数法求函数图象．
（1）用待定系数法求出的值即可；
（2）分别求出对应的值，从而得出的取值范围．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴这个函数的解析式为：，
（2）解：∵当时，，
当时，，
∴当时，则的取值范围是．
【变式训练7-6】（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
(1)求关于的函数解析式：
(2)求时的函数值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数，函数值的计算，掌握正比例、反比例函数的计算是解题的关键．
（1）设，则，把时，；当时，，代入计算即可求解；
（2）把代入（1）中函数解析式计算即可．
【详解】（1）解：∵与成正比例，与成反比例，
∴设，
∴，
∵当时，；当时，，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：当时，．
【变式训练7-7】（2025·广东·一模）在反比例函数中存在四个点，点与点关于原点中心对称．
(1)填空： ；点的坐标是 ；
(2)连接，求证：四边形是平行四边形；
(3)连接，记与交点为点，求点坐标．
【答案】(1)；(2)见解析(3)
【分析】（1）把把代入，可得，结合点与点关于原点中心对称，可得的坐标；
（2）利用勾股定理证明，，从而可得结论；
（3）依题可知点为平行四边形两条对角线交点，则点为线段的中点，结合中点坐标公式可得答案；
【详解】（1）解：把代入，
∴，
∵点与点关于原点中心对称，
∴；
（2）
解：∵，
∴，，
∴，
同理可知，，
∴，
∵且
∴四边形是平行四边形
（3）解：依题可知点为平行四边形两条对角线交点，
则点为线段的中点，
由中点坐标公式知，
即点坐标为；
题型八：反比例函数中定义新运算
【经典例题8】（23-24九年级上·山东东营·期中）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．则反比例函数的图象上关于点的k级变换点是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据“级变换点”定义求解即可．
【详解】解：函数的图象上存在点的“级变换点”
根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为，
把点代入中，
得，解得．
∴点的“级变换点”为或，
故答案为：或．
【变式训练8-1】（2024·山东济南·二模）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、线为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”，即．
(1)【尝试初探】：
点______ “美好点”（填“是”或“不是”）；
(2)【深入探究】：
若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值；
(3)【拓展延伸】：
在（2）的条件下，在双曲线上，求的值．
【答案】(1)不是(2)(3)
【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积等知识点，理解“美好点”的含义是解题的关键．
（1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等即可；
（2）根据美好点求出，再将点代入双曲线方程求解即可；
（3）根据反比例函数式子求出，再用待定系数法求解析式，求出它与轴的交点，利用三角形的面积公式运算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点不是“美好点”，
（2）解：①∵是“美好点”，
∴，
解得：，
∴，
将代入双曲线（，且为常数），得；
（3）解：∵，
∴双曲线的解析式是：．
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令直线与轴交于点，
当时，，
解得：，
∴，
画出图如图所示：
∴．
【变式训练8-2】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）对于一个函数给出如下定义：对于函数，当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属函数”．例如：正比例函数，当，，则，求得：，所以函数为“3属函数”．
(1)已知一次函数 为“属函数”，则的值为 ；
(2)反比例函数 为“属函数”，求的值；
(3)反比例函数 ， 且 是“属函数”，且，请求的值．
【答案】(1)2(2)(3)2020
【分析】本主要考查了的新定义的理解和应用，反比例函数的性质，一次函数的性质，理解新定义意义是解本题的关键．
（1）利用“k属函数”的定义即可得出结论；
（2）先判断出函数的增减性，利用“k属函数”的定义得出k的值即可得出结论；
（3）利用“k属函数”的定义即可得出结论；
【详解】（1）解：∵，
∵，
∵为“k属函数”，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）解：∵反比例函数中，，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵反比例函数，
∵，
∴y随x的增大而减小，
当且是“k属函数”，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式训练8-3】（23-24八年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若则称点为点的同伴点，例如：点的同伴点为．
(1)若点的同伴点在双曲线（）上，则的值为 ；
(2)已知点在直线上，点是点的同伴点，求的值；
(3)已知点在直线上，点的同伴点也在一条直线上，求点 所在直线对应的函数表达式．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，利用待定系数法求解反比例函数解析式，一次函数的解析式，理解题意是解题的关键；
（1）利用新定义的含义先求解点的坐标为：，从而可得答案；
（2）利用一次函数的性质可得，再利用新定义的含义建立方程组求解即可；
（3）利用一次函数的性质可得，再利用新定义的含义建立方程组求解即可；
【详解】（1）解：∵点的同伴点的坐标为：，
∴；
（2）∵点在直线上，
∴，
∴，
∵点是点的同伴点，
∴，
解得：；
（3）∵点在直线上，
∴，
∴，
∴点的同伴点的坐标为：，
∴，
∴，
∴；
【变式训练8-4】（24-25九年级下·四川自贡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．
(1)点的限变点的坐标是 ；
(2)判断点中，哪一个点是函数图象上某一个点的限变点？并说明理由；
(3)若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)点B是函数图象上某一个点的限变点，理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据限变点的定义进行求解即可；
（2）先分别假设A、B是函数图象上某一个点的限变点，进而求出函数图象上对应点的坐标，看该点是否在函数图象上即可；
（3）根据题意可得图象上的点P的关联点必在函数的图象上，然后结合函数图象求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点的限变点的坐标是，
故答案为：
（2）解：点B是函数图象上某一个点的限变点，理由如下：
∵，
∴若点A是函数图象上某一个点的限变点，则这个点的坐标为，
又∵不在函数图象上，
∴点A不是函数图象上某一个点的限变点；
∵，
∴若点B是函数图象上某一个点的限变点，则这个点的坐标为，
又∵在函数图象上，
∴点B是函数图象上某一个点的限变点；
（3）解：由题意得，图象上的点P的关联点必在函数的图象上，
∵，
∴或．

【变式训练8-5】（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读理解
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．
例如，求函数的图象的“等值点”P的坐标．
解：在中，令，得，
所以，函数的图象的“等值点”P的坐标为．
(1)函数的图象的“等值点”的坐标是______；
(2)函数的图象的“等值点”的坐标是______；
(3)是否存在这样的函数：函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”．若存在，请举出一个这样的函数（写出函数表达式即可）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)，(3)存在，例如
【分析】本题考查了新定义下一次函数、反比例函数点坐标的特征，解一元一次方程，解一元二次方程．
（1）令，求解方程即可；
（2）令，求解方程即可；
（3）根据“等值点”的定义列举即可．
【详解】（1）解：令，
解得：，
故答案为：；
（2）解：令，即，
解得：，
故答案为：，；
（3）解：存在，
，
不管x取任何值，都有，
函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”．
【变式训练8-6】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点
根据定义，解答下列问题：
(1)点的“可控变点”为点________．
(2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________．
(3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)点M的坐标为或．
【分析】（1）依据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点；
（2）依据变化规律可得每四次变化出现一次循环，即可得到当点的坐标为，则点的坐标为；
（3）由题意知，点M在上，设，当时，的“可控变点”坐标为：，当时，的“可控变点”坐标为：，再结合反比例函数的特点解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴根据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点，
（2）当时，点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，…，
故每四次变化出现一次循环；
当时，
点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，
点的“可控变点”为点，…，
故每四次变化出现一次循环；
∵，
∴当点的坐标为，则点的坐标为．
（3）由题意知，点M在上，设，
当时，的“可控变点”坐标为：，
∵点是函数图象上点的“可控变点”，
∴，则，
∴，
当时，的“可控变点”坐标为：，
∵点是函数图象上点的“可控变点”，
∴，则，
此时，
∴
综上所述，点M的坐标为或．中小学教育资源及组卷应用平台
专题6.1 反比例函数八大题型（一课一讲）
（内容：反比例函数的定义及其应用）
【浙教版】
题型一：判断是否为反比例函数
【经典例题1】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列表达式中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）在下列函数关系中，表示y与x既不是正比例关系，又不是反比例关系的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（ ）
A．②③⑥ B．①③⑥ C．①③⑤ D．④⑤⑥
【变式训练1-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）下面各式中，表示x和y成反比例的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】（2025九年级下·全国·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？
①；②；③；④（a为常数且）；
解：其中 是反比例函数，而 不是．
【变式训练1-5】（2024九年级上·广西·专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号）
【变式训练1-6】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列函数表达式中的是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（m为常数）；(6)．
题型二：列反比例函数关系式
【经典例题2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表：
每包的本数/本 10 20 40
包数/包 60 30 15
用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系．
【变式训练2-4】（24-25九年级上·广东佛山·期末）一个菱形的面积为，它的两条对角线长分别为，则与之间的函数关系式为 ．
【变式训练2-5】（24-25八年级下·江苏南京·期末）小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为 （）．
【变式训练2-6】（24-25九年级上·山东济宁·期末）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水井的阻力和阻力臂分别是90和0.3，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数解析式是 ．
【变式训练2-7】（24-25八年级·全国·课后作业）若一个水池内蓄水40m ，设放完满池水的时间为h，每小时放水量为m ，则与之间的函数关系式是 ；当m 时， .
题型三：用反比例函数描述数量关系
【经典例题3】（24-25七年级上·陕西榆林·期中）下面每组中的两种量成反比例关系的是（ ）
A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积
C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高
【变式训练3-1】（24-25八年级上·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（ ）
A．商一定时（不为零），被除数与除数
B．等边三角形的面积与它的边长
C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x
D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b
【变式训练3-2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　）
A．读一本书，已读的页数与未读的页数
B．长方形的周长一定，长方形的长与宽
C．圆的面积和半径
D．平行四边的面积一定，它的底和高
【变式训练3-3】（24-25七年级上·北京西城·期中）下列关系中，成反比例关系的是（ ）
A．长方形的周长一定时，相邻两边的长
B．三角形面积一定时，它的底和高
C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间
D．一个人的跑步速度与他的体重
【变式训练3-4】（2024七年级上·吉林·专题练习）下面每组中的两种量成反比例的是（ ）
A．长方形的周长一定，它的长和宽
B．利率一定，存款的本金和利息
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．折扣一定，商品的原价和折后价
【变式训练3-5】（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）
A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系
B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系
C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系
D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系
【变式训练3-6】（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（ ）
A．周长为1的矩形的长与宽成正比例
B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例
C．面积为1的矩形的长与宽成反比例
D．等边三角形的面积与它的边长成正比例
题型四：利用反比例函数的定义求参数
【经典例题4】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知函数是反比例函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）若函数是反比例函数，则m的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式训练4-2】（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）若是反比例函数，那么的值是 ．
【变式训练4-3】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若是反比例函数，则a的值为 ．
【变式训练4-4】（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）若函数是反比例函数，则 ．
【变式训练4-5】（23-24九年级上·四川成都·期末）若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为 ．
题型五：判断点是否在反比例函数上
【经典例题5】（2025·浙江金华·模拟预测）下列各点中，不在反比例函数 的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】（2025·重庆·一模）已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练5-5】（23-24九年级下·重庆江津·阶段练习）反比例函数的图象经过点，下列各点在该反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
题型六：根据反比例函数求值
【经典例题6】（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ．
【变式训练6-1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于轴对称，则a的值是 ．
【变式训练6-2】（24-25九年级上·广东惠州·期末）若函数的图象经过点和，则的值为 ．
【变式训练6-3】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，P为x轴上的动点，值最小时，点P的坐标为 ．
【变式训练6-4】（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为 ．
【变式训练6-5】（2023·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点且平行轴的直线交双曲线于点，则 ．
【变式训练6-6】（2023·河北唐山·一模）如图，已知点，（），点P为线段上的一个动点，反比例函数（k为常数，）的图象经过点P．
（1）当点P与点M重合时， ；
（2）若点P与点N重合时，，此时点到直线的距离为 ．
题型七：求反比例函数的解析式
【经典例题7】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数．
(1)若其图象经过第一、三象限，求的取值范围；
(2)若该反比例函数的图象经过点，求的值．
【变式训练7-1】（24-25七年级上·山东淄博·期末）一次函数和一个正比例函数的图象交于点，与x轴交于点Q，O为坐标原点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求的面积．
【变式训练7-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．先求出y与x之间的函数表达式，再求时y的值．
【变式训练7-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知点在一次函数的图像上，也在反比例函数的图像上．求该反比例函数的表达式．
【变式训练7-4】（24-25八年级上·上海·期末）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式．
【变式训练7-5】（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数（为常数，）的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
【变式训练7-6】（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
(1)求关于的函数解析式：
(2)求时的函数值．
【变式训练7-7】（2025·广东·一模）在反比例函数中存在四个点，点与点关于原点中心对称．
(1)填空： ；点的坐标是 ；
(2)连接，求证：四边形是平行四边形；
(3)连接，记与交点为点，求点坐标．
题型八：反比例函数中定义新运算
【经典例题8】（23-24九年级上·山东东营·期中）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．则反比例函数的图象上关于点的k级变换点是 ．
【变式训练8-1】（2024·山东济南·二模）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、线为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”，即．
(1)【尝试初探】：
点______ “美好点”（填“是”或“不是”）；
(2)【深入探究】：
若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值；
(3)【拓展延伸】：
在（2）的条件下，在双曲线上，求的值．
【变式训练8-2】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）对于一个函数给出如下定义：对于函数，当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属函数”．例如：正比例函数，当，，则，求得：，所以函数为“3属函数”．
(1)已知一次函数 为“属函数”，则的值为 ；
(2)反比例函数 为“属函数”，求的值；
(3)反比例函数 ， 且 是“属函数”，且，请求的值．
【变式训练8-3】（23-24八年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若则称点为点的同伴点，例如：点的同伴点为．
(1)若点的同伴点在双曲线（）上，则的值为 ；
(2)已知点在直线上，点是点的同伴点，求的值；
(3)已知点在直线上，点的同伴点也在一条直线上，求点 所在直线对应的函数表达式．
【变式训练8-4】（24-25九年级下·四川自贡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．
(1)点的限变点的坐标是 ；
(2)判断点中，哪一个点是函数图象上某一个点的限变点？并说明理由；
(3)若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围．
【变式训练8-5】（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）阅读理解
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．
例如，求函数的图象的“等值点”P的坐标．
解：在中，令，得，
所以，函数的图象的“等值点”P的坐标为．
(1)函数的图象的“等值点”的坐标是______；
(2)函数的图象的“等值点”的坐标是______；
(3)是否存在这样的函数：函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”．若存在，请举出一个这样的函数（写出函数表达式即可）；若不存在，请说明理由．
【变式训练8-6】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点
根据定义，解答下列问题：
(1)点的“可控变点”为点________．
(2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________．
(3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标．

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